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20xx-20xx哈爾濱中考數(shù)學(xué)——二次函數(shù)的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)-展示頁

2025-03-30 22:24本頁面
  

【正文】 小,把代入直線得,∴.即當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小時的坐標(biāo)為.(注:本題只求坐標(biāo)沒說要求證明為何此時的值最小,所以答案未證明的值最小的原因).(3)設(shè),又,∴,①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn),則,即:解得:,②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn),則,即:解得:,③若點(diǎn)為直角頂點(diǎn),則,即:解得:,.綜上所述的坐標(biāo)為或或或.點(diǎn)睛:本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)(二次函數(shù)和一次函數(shù))的解析式、利用軸對稱性質(zhì)確定線段的最小長度、難度不是很大,是一道不錯的中考壓軸題.2.(10分)(2015?佛山)如圖,一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出,球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫.(1)請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)小球的落點(diǎn)是A,求點(diǎn)A的坐標(biāo);(3)連接拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得△POA,求△POA的面積;(4)在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M(M與P不重合),△MOA的面積等于△POA的面積.請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】(1)(2,4);(2)(,);(3);(4)(,).【解析】試題分析:(1)利用配方法拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式,即可求出二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)聯(lián)立兩解析式,可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo);(3)作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,AB⊥x軸于點(diǎn)B.根據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA,代入數(shù)值計(jì)算即可求解;(4)過P作OA的平行線,交拋物線于點(diǎn)M,連結(jié)OM、AM,由于兩平行線之間的距離相等,根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等,可得△MOA的面積等于△POA的面積.設(shè)直線PM的解析式為y=x+b,將P(2,4)代入,求出直線PM的解析式為y=x+3.再與拋物線的解析式聯(lián)立,得到方程組,解方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).試題解析:(1)由題意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,故二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4);(2)聯(lián)立兩解析式可得:,解得:,或.故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,);(3)如圖,作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,AB⊥x軸于點(diǎn)B.S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=24+(+4)(﹣2)﹣=4+﹣=;(4)過P作OA的平行線,交拋物線于點(diǎn)M,連結(jié)OM、AM,則△MOA的面積等于△POA的面積.設(shè)直線PM的解析式為y=x+b,∵P的坐標(biāo)為(2,4),∴4=2+b,解得b=3,∴直線PM的解析式為y=x+3.由,解得,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,).考點(diǎn):二次函數(shù)的綜合題3.已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個公共點(diǎn)M(1,0),且a<b.(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示);(2)直線與拋物線的另外一個交點(diǎn)記為N,求△DMN的面積與a的關(guān)系式;(3)a=﹣1時,直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G,點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點(diǎn),試求t的取值范圍.【答案】(1)b=﹣2a,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣,﹣);(2);(3) 2≤t<.【解析】【分析】(1)把M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到b與a的關(guān)系,可用a表示出拋物線解析式,化為頂點(diǎn)式可求得其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)把點(diǎn)M(1,0)代入直線解析式可先求得m的值,聯(lián)立直線與拋物線解析式,消去y,可得到關(guān)于x的一元二次方程,可求得另一交點(diǎn)N的坐標(biāo),根據(jù)a<b,判斷a<0,確定D、M、N的位置,畫圖1,根據(jù)面積和可得△DMN的面積即可;(3)先根據(jù)a的值確定拋物線的解析式,畫出圖2,先聯(lián)立方程組可求得當(dāng)GH與拋物線只有一個公共點(diǎn)時,t的值,再確定當(dāng)線段一個端點(diǎn)在拋物線上時,t的值,可得:線段GH與拋物線有兩個不同的公共點(diǎn)時t的取值范圍.【詳解】解:(1)∵拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點(diǎn)M(1,0),∴a+a+b=0,即b=2a,∴y=ax2+ax+b=ax2+ax2a=a(x+)2,∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,);(2)∵直線y=2x+m經(jīng)過點(diǎn)M(1,0),∴0=21+m,解得m=2,∴y=2x2,則,得ax2+(a2)x2a+2=0,∴(x1)(ax+2a2)=0,解得x=1或x=2,∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6),∵a<b,即a<2a,∴a<0,如圖1,設(shè)拋物線對稱軸交直線于點(diǎn)E,∵拋物線對稱軸為,∴E(,3),∵M(jìn)(1,0),N(2,6),設(shè)△DMN的面積為S,∴S=S△DEN+S△DEM=|( 2)1|?|(3)|=??a,(3)當(dāng)a=1時,拋物線的解析式為:y=x2x+2=(x+)2+,由,x2x+2=2x,解得:x1=2,x2=1,∴G(1,2),∵點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對稱,∴H(1,2),設(shè)直線GH平移后的解析式為:y=2x+t,x2x+2=2x+t,x2x2+t=0,△=14(t2)=0,t=,當(dāng)點(diǎn)H平移后落在拋物線上時,坐標(biāo)為(1,0),把(1,0)代入y=2x+t,t=2,∴當(dāng)線段GH與拋物線有兩個不同的公共點(diǎn),t的取值范圍是2≤t<.【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、根的判別式、三角形的面積等知識.在(1)中由M的坐標(biāo)得到b與a的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,在(2)中聯(lián)立兩函數(shù)解析式,得到關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵,在(3)中求得GH與拋物線一個交點(diǎn)和兩個交點(diǎn)的分界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵,本題考查知識點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng),難度較大.4.新春佳節(jié),電子鞭炮因其安全、無污染開始走俏.某商店經(jīng)銷一種電子鞭炮,已知這種電子鞭炮的成本價為每盒80元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該種電子鞭炮每天的銷售量y(盒)與銷售單價x(元)有如下關(guān)系:y=﹣2x+320(80≤x≤160).設(shè)這種電子鞭炮每天的銷售利潤為w元.(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)該種電子鞭炮銷售單價定為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?(3)該商店銷售這種電子鞭炮要想每天獲得2400元的銷售利潤,又想賣得快.那么銷售單價應(yīng)定為多少元?【答案】(1)w=﹣2x2+480x﹣25600;(2)銷售單價定為120元時,每天銷售利潤最大,最大銷售利潤3200元(3)銷售單價應(yīng)定為100元【解析】【分析】(1)用每件的利潤乘以銷售量即可得到每天的銷售利潤,即 然后化為一般式即可;(2)把(1)中的解析式進(jìn)行配方得到頂點(diǎn)式然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解;(3)求所對應(yīng)的自變量的值,即解方程然后檢驗(yàn)即可.【詳解】(1) w與x的函數(shù)關(guān)系式為: (2) ∴當(dāng)時,w有最大值.w最大值為3200.答:銷售單價定為120元時,每天銷售利潤最大,最大銷售利潤3200元.(3)當(dāng)時, 解得: ∵想賣得快,不符合題意,應(yīng)舍去.答:銷售單價應(yīng)定為100元.5.如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(1,0)、C(﹣2,3)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為D.(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的
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