【正文】 軸l為x=﹣1．（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動(dòng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸l上．①當(dāng)PA⊥NA，且PA=NA時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)四邊形PABC的面積最大時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）①點(diǎn)P（﹣﹣1，2）；②P（﹣ ，）【解析】試題分析：（1）將B、C的坐標(biāo)代入已知的拋物線的解析式，由對(duì)稱軸為即可得到拋物線的解析式；（2）①首先求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)已知條件得到PD=OA，從而得到方程求得x的值即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；②，表示出來得到二次函數(shù)，求得最值即可．試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其對(duì)稱軸l為，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為=，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）令，解得或，∴點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x軸于點(diǎn)D，∵點(diǎn)P在上，∴設(shè)點(diǎn)P（x，），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即，解得x=（舍去）或x=，∴點(diǎn)P（，2）；②設(shè)P(x，y)，則，∵=OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD=====，∴當(dāng)x=時(shí)，=，當(dāng)x=時(shí)，=，此時(shí)P（，）．考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．二次函數(shù)的最值；3．最值問題；4．壓軸題．7．如圖1，二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn).（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)。∴DO=AO=1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，a）．依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．當(dāng)AD=PA時(shí)，4=12+a2，方程無解．當(dāng)AD=DP時(shí)，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．當(dāng)AP=DP時(shí)，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣4）．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，﹣4）．（3）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：，解得：m=，∴直線AC的解析式為．設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0），∴AN==．將與y=kx+1聯(lián)立解得：x=，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG=．∵∠MAG=60176。然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1，則可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，a）．依據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；（3）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點(diǎn)M和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，于是可得到AN的長，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長，最后將AM和AN的長代入化簡即可．試題解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），B（，0），∴拋物線的對(duì)稱軸為x=．（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60176。（5，﹣5），∴S△OA′B′=（2+5）9﹣24﹣55=15．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、圖形面積的求法等知識(shí)．熟練掌握待定系數(shù)法、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解方法、不規(guī)則圖形的面積的求解方法等是解題的關(guān)鍵.3．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（﹣2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使△ANM的周長最?。舸嬖?，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)和△ANM周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）當(dāng)x＝﹣時(shí)，△APC的面積取最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）；（3）在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M（﹣1，2），使△ANM的周長最小，△ANM周長的最小值為3．【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）過點(diǎn)P作PE∥y軸交x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CQ∥y軸交x軸于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，﹣x+1），進(jìn)而可得出PF的值，由點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出AQ的值，利用三角形的面積公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題；（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用配方法可找出拋物線的對(duì)稱軸，由點(diǎn)C，N的坐標(biāo)可得出點(diǎn)C，N關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，令直線AC與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M，則此時(shí)△ANM周長取最小值，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，以及利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合三角形的周長公式求出△ANM周長的最小值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2﹣2x+3；設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝mx+n（m≠0），將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+1．（2）過點(diǎn)P作PE∥y軸交x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CQ∥y軸交x軸于點(diǎn)Q，如圖1所示．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，3），∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ?PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ．∵﹣＜0，∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，△APC的面積取最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣， ）．（3）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，3），∴點(diǎn)C，N關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．令直線AC與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M，如圖2所示．∵點(diǎn)C，N關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此時(shí)△ANM周長取最小值．