【正文】 ， GM(1,1)模型主要反映的是人口發(fā)展的短期趨勢 。但是，它也存在如下的問題，對于個(gè)別參數(shù)計(jì)算過程會(huì)出現(xiàn)“病態(tài)”矩陣，將影響計(jì)算精度。 時(shí)間序列 AR(p) 模型 結(jié)果分析 AR 模型的估計(jì)與實(shí)際數(shù)據(jù) 比較 接近 ,模型能很好地描述人口總體的波動(dòng)情況 ，并且可以平穩(wěn)預(yù)測，這一優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)得十分明顯 。不考慮年齡因素，就不能很好地把握人口的發(fā)展動(dòng) 態(tài)。 但 是， Logistic 回歸 模型有著根本上的缺點(diǎn)：它將群體中的每一個(gè)個(gè)體都視為同等 20 地位來對待，沒有考慮到個(gè)體之間存在著差異，以及年齡因素的影響。 同時(shí)預(yù)測出 60 歲與 65 歲人口數(shù)（見附錄四）， 繪制出老齡人口數(shù)量走勢圖： 0123451 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 4360歲 以上人口數(shù)（億）65歲 以上人口數(shù)（億） 圖 6 老齡 人口數(shù)量走勢圖 從圖中可以看出未來我國的老齡化進(jìn)程加速，并將持續(xù)很 長一段時(shí)間。 程序預(yù)測的是未來 N 年的 ()i tx ，利用公式 9065 ()() ii xtyt ??? 可求出第 t 年全國總?cè)丝诼?； 利用公式 9060 ()() ii xtyt ??? 可求出第 t 年大于 60 歲的人口比率 ； 利用公式 9065 ()() ii xtyt ??? 可求出第 t 年大于 65 歲的人口比率。 )(tki 為 第 t 年 i 歲 人口的女性比（占全部 i 歲人口數(shù)） 由此可知：第 t 年出生的人數(shù)為： 21ri i iirf ( t ) b ( t ) k ( t ) x ( t )?? ? （ 5） 記第 t 年嬰兒的死亡率為 )(00td ，則 )())(1()( 000 tftdtx ?? 16 （ 6） 設(shè)21iii riirb ( t ) b ( t )h ( t )( t )b ( t )????? ，它表示 i 歲女性總生育率，則 )()()( thttb ii ?? ， 如果假設(shè) t 年后女性出生率保持不變，則 )(. ..)()()( 211 1 tbtbtbt iii ???? ?? )(. ..)1()( 121211 iitbtbtb iii ??????? ? 得出差分方程 2121211 0 0 0 00i0 00 i i iiii0 00 i i iiii/iiiix ( t 1 ) ( 1 d ( t ) ) x ( t ) ( 1 d ( t ) ) ( 1 d ( t ) ) f ( t )( 1 d ( t ) ) ( 1 d ( t ) ) b ( t ) k ( t ) x ( t )( 1 d ( t ) ) ( 1 d ( t ) ) ( t ) h ( t ) k ( t ) x ( t )( t ) b ( t ) x ( t )???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????? )())(1()1( 122 txtdtx ??? …… )())(1()1( 11 txtdtx mmm ????? 為了全面系統(tǒng)地反映一個(gè)時(shí)期內(nèi)人口數(shù)量的狀況， 令 /0 1 2( ) [ ( ) , ( ) , ( ) , .. ., ( ) ]mx t x t x t x t x t? 0110 0 0 .. . 0 01 ( ) 0 0 .. . 0 0( ) 0 1 ( ) 0 .. . 0 0.. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .0 0 .. . 1 ( ) 0m mmdtA t d tdt? ?????????? ??? 120 0 ( ) .. . ( ) .. . 00 0 0. .. 0. .. 0() 0 0 0. .. 0. .. 00 0 0. .. 0. .. 00 0 0. .. 0. .. 0 ??????????rrmmb t b tBt 則此向量 )(tx 滿足方程： )()()()()()1( txtBttxtAtx ???? 即： x (t+ 1) = (A( t) + b(t) B( t)) x (t) （ ） 17 這是一階差分方程其中 )(t? 是可控變量，在穩(wěn)定的社會(huì)環(huán)境下，死亡率 、生育模式、女性比例、嬰兒存活率是可以假設(shè)為不變的，故 BtBAtA ?? )(,)( 為常數(shù)矩陣。 0 , 1 , 2 , .. .. ..ix t i m t??， （ 3） 設(shè)第 t 年為 i 歲的人口平均死亡率為 )(tdi ，即這一年中 i 歲人口中死亡數(shù)與基數(shù)之比：)( )1()()( 1tx txtxtd i iii ??? ? 即： 1 ( 1 ) ( 1 ( ) ) ( ) , 0 , 1 , 2 , .. ., 1 。 長期趨勢預(yù)測 模型 的 求解 用解析方法求出該模型的解比較復(fù)雜，一般情況下，先將數(shù)據(jù)離散化， 化為差分方程 再用計(jì)算機(jī) 循環(huán)迭代 求出數(shù)值解。 15 它反映了人口變化的基本因素 ； (, )hrt 表示 一個(gè)女性在 r 歲時(shí)的生育概率 。 實(shí)際上， 若要通過解析解進(jìn)行預(yù)測是不易實(shí)現(xiàn) 的，所以可以選擇采用數(shù)值解法 。 設(shè) (, )Prt 為 人口年齡分布密度函數(shù) ， ( , ) FP r t r?? ? ， 該函數(shù)表示在 t 時(shí)刻，年齡為 r 的人數(shù) 。 該模型通過詳細(xì)的 數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到一個(gè)偏微分方程，通過 此 方程可以綜合考慮各因素對人口增長的影響。 表 九 2020 年 — 2020 年 的 男女出生比例預(yù)測表 年份 市 男女出生比例 鎮(zhèn) 男女出生比例 鄉(xiāng) 男女出生比例 全國 男女出生比例 2020 2020 2020 2020 2020 從 表 九 可以看出，鎮(zhèn)和鄉(xiāng)的男女出生比例高于城市，各項(xiàng)目的男女出生比例均有微小增長趨勢。))(()()1()()()1()()( 經(jīng)變換后得到 )()( )1()0( kazbkx ?? （ ） GM(1,1)模型 的 求解 在 （ ） 兩端同時(shí)乘以 ake 得， ( 0 ) ( 1 )( ) ( )ak ak ake x k e az k e b?? 即 (1 ) ( ) ( )a k a k tz k e be d C???? ()ak akbe e Ca??? ak bCe a??? 將代入上式 中，可得 12 0(1) bCx a?? 于是得出時(shí)間函數(shù) (1)( 1)xk? 的估計(jì)值 ( 1 ) 0? ( 1 ) [ (1 ) ] akbbx k x eaa?? ? ? ? （ ） 我們把上式 （ ） 作為預(yù)測方程。 1．令 )0(x 為 GM（ 1， 1）建模序列，表示灰導(dǎo)數(shù) )),() , .. .,2(),1(( )0()0()0()0( nxxxx ? 其中 )()()0( kxkx ? ， ...3,2,1?k 2．令 )1(x 為 )0(x 的 AGO 序列， 11 )),() , .. . ,2(),1(( )1()1()1()1( nxxxx ? )。 灰色系統(tǒng) GM(1,1)預(yù)測模型 GM(1,1)模型的建立 由于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) 偏 少，信息不完整，故用曲線擬合法、多元回歸模型等皆不能得到令人 十分 滿意的結(jié)果，所以 我們考慮 用對信息質(zhì)量要求不高的灰色系統(tǒng)分析法 進(jìn)行 預(yù)測，建立 GM(1,1)模型。 表 六 2020 年 — 2020 年 的 65 歲以上人口比率預(yù)測表 10 年份 65 歲以上市人口比率 65 歲以上鎮(zhèn)人口比率 65 歲以上鄉(xiāng)人口比率 2020 2020 2020 2020 2020 表 七 2020 年 — 2020 年 的 60 歲以上人口比率預(yù)測表 年份 60 歲以上市人口比率 （ %） 60 歲以上鎮(zhèn)人口比率 （ %） 60歲以上鄉(xiāng)人口比率 （ %） 2020 2020 2020 2020 2020 有 表 六 、 七 可知 ，市和鎮(zhèn)的老齡化現(xiàn)象不及鄉(xiāng)村，且鄉(xiāng)村的老齡化現(xiàn)象還有增加趨勢，說明鄉(xiāng)村生活環(huán)境 的 改善與醫(yī)療衛(wèi)生水平的提高。從全國范圍看，不存在嚴(yán)重的政治軍事等外部環(huán)境對死亡率有顯著影響 。這與近 20 年來國家實(shí)施 的 計(jì)劃生育政策密不可分。 AR(p)模型的求解 為了 使數(shù)據(jù)更適合 AR(P)模型， 需 對數(shù)據(jù)要進(jìn)行一階差分，以使數(shù)據(jù)零均值。 AR(3)模型 ： 1 1 2 2 3 3t t t t tY c Y Y Y? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? （ ） 用來預(yù)測市男女出生比率。 通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析， 以下項(xiàng)目在 5 年中的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)較明顯的波動(dòng)性，與前階段時(shí)間有較大關(guān)系，所以采用時(shí)間序列自回歸模型。由于事先無法判斷模型的階次，因此在建模過程中 ，首 先給定模型的階次，然后再按上面所述的最小二乘法估 計(jì)出 AR 模型的參數(shù)，得到各階模型。 AIC 準(zhǔn)則的計(jì)算公式定義為： 2( ) ln 2nC k N k??? （ ） 其中 2n SNk? ? ? ， 21 1 2 21 ()Nl l l k l klkS x a x a x a x? ? ???? ? ? ? ??? ?? 這里， C 是 AIC(k)準(zhǔn)則， k 是模型的階次， N 為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù) ， 2n? 為殘差方差， S 為殘差平方和 ，要求 AIC(k)越小越好。 計(jì)算中從低到高估計(jì)模型參數(shù)，采用 AIC 準(zhǔn)則判斷最優(yōu)階次。 ( ) 0p L? ?稱為模型的特征方程。在這個(gè)模型中，時(shí)間序列的現(xiàn)在值是用該序列過去數(shù)值的線性組合加上一個(gè)白噪聲擾動(dòng)項(xiàng)來表示。人口老齡化現(xiàn)象越來越嚴(yán)重，這與現(xiàn)在醫(yī)療水平 的提 高相對應(yīng)。從比率變化的速度來看，市增加較慢，鎮(zhèn)增加較快，這說明鄉(xiāng)村人口首先向鎮(zhèn) 轉(zhuǎn)移 ，且 轉(zhuǎn)移 速度較快，符合實(shí)際情況。 市人口比率模型： 11 3 .1 6 5 0 .9 6 6 ty ? ?? （ ） 鎮(zhèn)人口比率模型： 11 7 .6 6 1 0 .9 1 5 ty ? ?? （ ） 鄉(xiāng)人口比率模型： 7 11 0 .5 4 8 1 .0 7 7 ty ? ?? （ ） 65 歲以上人口比率模型： 10 .0 3 3 0 .1 0 6 0 .9 4 0 ty ? ?? （ ） 60 歲以上人口比率模型： 10 .0 2 0 .0 7 4 0 .9 5 3 ty ? ?? （ ） 全國人口增長率模型： 11 0 .6 8 6 1 .2 2 2 ty ? ?? （ ） 回歸 預(yù)測模型 的求解 根據(jù)以上模型對以上項(xiàng)目進(jìn)行 之后五年的 預(yù)測，結(jié)果如下表 1： 表 二 2020 年 — 2020 年 的預(yù)測數(shù)據(jù)表 年份 市人口比率 鎮(zhèn) 人口 比率 鄉(xiāng) 人口比率 65 歲以上 人口比率 60 歲以上 人口比率 全國人口增 長率 2020 2020