【正文】 85。f(D)，有x206。 [x2]．但R上不是嚴(yán)格增的，若取x1=0,x2=12，則有[x1]=[x2]=0，即定義中所要求的嚴(yán)格不等式不成立．此函數(shù)的圖象如圖1—3所示．嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x軸的直 線至多有一個(gè)交點(diǎn)，這一特性保證了它必定具有反 函數(shù)．定理1．2設(shè)y=f(x),x206。R,當(dāng)x1x2時(shí)總有x2x1=(x2x1)[(x2+x12)+234x1]0，即x1例4 函數(shù)y=[x]在R上是增的．因?yàn)閷?duì)任何x1x2206。(ii)f(x1)179。D,當(dāng)x1x2時(shí)，總 有（i）f(x1)163。1|x|163。1|x|163。1|x|163。D(ii)可類似地證明(略)．注例2中的兩個(gè)不等式，其嚴(yán)格的不等號(hào)有可能成立．例如，設(shè)f(x)=x,g(x)=x,x206。Dx206。Dinff(x)+infg(x)163。d上式表明，數(shù)inff(x)+infg(x)是函數(shù)f+g在D上的一個(gè)下界，從而x206。Dx206。f(x)+g(x)．x206。g(x)222。D有inff(x)163。Dx206。supf(x)+supg(x)．x206。Dx206。inf{f(x)+g(x)} ；x206。DD上的上確界．類似地，若f在其定義域D上有下界，則f在D上的下確界記為inff(x)．x206。D，使得f(x0)M，則稱f為D上的無上界函數(shù)．167。1和cosx163。M，(1)則稱f為D上的有界函數(shù)．根據(jù)定義，f在D上有界，意味著值域f(D)是一個(gè)有界集．又按定義不難驗(yàn)證： f在D上有界的充要條件是f在D上既有上界又有下界．(1)式的幾何意義是：若f為D上的有界函數(shù)，則f的圖象完全落在直線y=M與y=M之間．例如，正弦函數(shù)sinx和余弦函數(shù)cosx為R上的有界函數(shù)，因?yàn)閷?duì)每一個(gè)x206。L)，則稱f為D上的有上(下)界函數(shù)，M(L)稱為f在D上的一個(gè)上(下)界．根據(jù)定義，f在D上有上(下)界，意味著值域f(D)是一個(gè)有上(下)界的數(shù)集．又若M(L)為f在D上的上(下)界，則任何大于(小于)M(L)的數(shù)也是f在D上的上(下)界．定義2 設(shè)f為定義在D上的函數(shù)．若存在正數(shù)M，使得對(duì)每一個(gè)x206。D有f(x)163。167。學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)體現(xiàn)在他們是否能夠自信地接近目標(biāo)，樂于探索，具有意志力和興趣，以及能否有反映他們自己思維的傾向性等幾方面。它包括數(shù)學(xué)素養(yǎng)，把數(shù)學(xué)看做一種強(qiáng)有力的審視情境的方式。第三，要通過數(shù)學(xué)教育，促進(jìn)學(xué)生的一般發(fā)展。P3P15都論及小學(xué)數(shù)學(xué)所應(yīng)當(dāng)具有的特點(diǎn)是，“第一，小學(xué)數(shù)學(xué)具有現(xiàn)實(shí)性質(zhì)，數(shù)學(xué)來自于現(xiàn)實(shí)生活，再運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中去。”P33，在解決街頭數(shù)學(xué)問題中，兒童用的是自己的口頭語言甚至是直覺的方式，而學(xué)校所教授的是書面和符號(hào)方法?！盤27在新教材中，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)編排按照“問題情境－建立模型－解釋、應(yīng)用與拓展”的結(jié)構(gòu)。，P13“本次義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程改革，強(qiáng)調(diào)從以獲取知識(shí)為數(shù)學(xué)教育首要目標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)槭紫汝P(guān)注人的情感、態(tài)度、價(jià)值觀和一般能力的培養(yǎng)，同時(shí)使學(xué)生獲得作為一個(gè)公民適應(yīng)現(xiàn)代生活所必需的基本數(shù)學(xué)知識(shí)和技能。這次數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)該讓喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生多起來。隨錄如下“近年來國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的特點(diǎn)”，所歸納的數(shù)學(xué)覺得完備而合乎我現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)，內(nèi)容如下，一是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性；二是重視以學(xué)生為主體的活動(dòng)；三是與信息技術(shù)的結(jié)合；四是重視教育過程的個(gè)性化與差別化；五是關(guān)注與其他學(xué)科的綜合。而作為教育的數(shù)學(xué)，其對(duì)象則是含有經(jīng)驗(yàn)、直觀的和幾乎是封閉的邏輯結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。而作為教育的數(shù)學(xué)，則是一類專門的人（可以稱之為“學(xué)生”的那些人）在某些專門的人（可以稱之為“教師”的那些人）的引導(dǎo)和幫助下的一個(gè)模仿探索、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的活動(dòng)過程。從知識(shí)體系看作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，是一個(gè)完整的、獨(dú)立于任何人的任何知識(shí)結(jié)構(gòu)而存在的、特定的知識(shí)和思想體系。作為學(xué)科的數(shù)學(xué)，它自然是源于數(shù)學(xué)科學(xué)，但作為一種教育活動(dòng)的對(duì)象，其又有一定的獨(dú)特性。“學(xué)科”是一個(gè)教育學(xué)的概念，專指學(xué)校課程內(nèi)容中的一定科學(xué)領(lǐng)域的總稱。注重效果全面原則是指課堂教學(xué)評(píng)價(jià)不僅要關(guān)注學(xué)生是否掌握了知識(shí)，形成技能，還要關(guān)注學(xué)生是否積極參與了學(xué)習(xí)活動(dòng)，是否進(jìn)行了多項(xiàng)的交流和合作，是否獲得了數(shù)學(xué)體驗(yàn)，是否經(jīng)歷了探究過程，是否發(fā)展了數(shù)學(xué)能力，等等。注重行為表現(xiàn)原則 主要包含兩層含義：第一層含義是指教師的行為表現(xiàn)，包括教師的教學(xué)組織策略、教學(xué)方法以及教師所創(chuàng)設(shè)的教學(xué)環(huán)境等。試述小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)價(jià)的基本原則。加強(qiáng)數(shù)學(xué)交流①表述和交流自己的發(fā)現(xiàn)；②解釋和說明自己的觀點(diǎn)；③質(zhì)疑和反駁他人的想法。舉例說明如何在教學(xué)中構(gòu)建兒童的數(shù)學(xué)概念能力構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的能力：需要學(xué)生具備一定的生活經(jīng)驗(yàn)及數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，一定的數(shù)學(xué)思維能力和語言理解、記憶、表述能力。學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)。理解數(shù)學(xué)。任務(wù)提出。前期組織準(zhǔn)備。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)的環(huán)節(jié)是由兩個(gè)最基本的要素所構(gòu)成，即學(xué)生的“學(xué)”與教師的“教”。4）主體地位不同：傳統(tǒng)教學(xué)強(qiáng)調(diào)教師為主宰，嘗試教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生為主體。傳統(tǒng)教學(xué)是先由教師講解，把什么都講清楚了，學(xué)生都聽懂了，然后學(xué)生再做練習(xí)，鞏固消化教師講解的內(nèi)容。嘗試教學(xué)模式是嘗試式教學(xué)，傳統(tǒng)教學(xué)模式是灌輸式教學(xué)。嘗試教學(xué)模式的特征：先試后導(dǎo)、先練后講、先學(xué)后教。五、論述題嘗試教學(xué)模式與傳統(tǒng)教學(xué)模式的不同1）、特征不同。（是指在問題解決得過程中，受某種情境的啟發(fā)而突發(fā)靈感，發(fā)現(xiàn)問題解決得方法。（是指在嘗試問題解決過程中，不斷糾正錯(cuò)誤的方法，直到發(fā)現(xiàn)正確的方法。③當(dāng)數(shù)學(xué)概念較為抽象時(shí)，往往難以擺脫相近的經(jīng)驗(yàn)作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的空間幾何，與作為數(shù)學(xué)學(xué)科的空間幾何的區(qū)別：首先，表現(xiàn)在作為數(shù)學(xué)科學(xué)的空間幾何是一個(gè)完整的知識(shí)體系，而作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的空間幾何知識(shí)是幾何學(xué)中最基礎(chǔ)的部分；其次，表現(xiàn)在作為數(shù)學(xué)科學(xué)的空間幾何是一種論證幾何，或稱之為證明幾何，而作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的空間幾何是一種直觀幾何，或稱之為經(jīng)驗(yàn)幾何、實(shí)驗(yàn)幾何；再者，表現(xiàn)在作為數(shù)學(xué)科學(xué)的空間幾何存在于嚴(yán)密的公理體系之中，而作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的空間幾何則存在于不太嚴(yán)密的局部組織之中。（2）經(jīng)驗(yàn)對(duì)概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生消極的阻礙作用（負(fù)效應(yīng)）①當(dāng)數(shù)學(xué)概念與日常生活經(jīng)驗(yàn)在語義上不一致時(shí)，經(jīng)驗(yàn)會(huì)阻礙概念的學(xué)習(xí)。但在數(shù)學(xué)科學(xué)的概念體系中，往往較多的是以數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)表達(dá)式為主，以命題（定義）的形式予以呈現(xiàn)的。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往都是通過大量的直觀材料，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行充分的操作、觀察、分類等感知活動(dòng)的基礎(chǔ)上來構(gòu)建兒童的數(shù)學(xué)概念。它是由數(shù)學(xué)自身的自然結(jié)構(gòu)的精確性所決定的。其次，針對(duì)兒童的認(rèn)知與情感特征，小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)概念常常經(jīng)過了某種改造，以適應(yīng)兒童學(xué)習(xí)、掌握與運(yùn)用的需要。分類不能越級(jí)進(jìn)行。每次分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。分類所得各個(gè)屬概念應(yīng)相互排斥。2概念分類的規(guī)則分類必須是相稱的。2學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的了解數(shù)學(xué)知識(shí)及意義的建構(gòu)數(shù)學(xué)技能的形成數(shù)學(xué)問題解決能力水平數(shù)學(xué)思想與方法的獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和情感數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心2課堂教學(xué)評(píng)價(jià)的基本方法（一）臨床觀察法（1）“結(jié)構(gòu)型”的觀測(cè)方法（2）“無結(jié)構(gòu)型”的觀測(cè)方法：（二）交流訪談法（1）預(yù)設(shè)型（2）非預(yù)設(shè)型（三）隨堂測(cè)驗(yàn)法（四）研討解析法2內(nèi)涵與外延的關(guān)系概念的內(nèi)涵是概念的“質(zhì)”的反映，概念的外延是概念的“量”的反映，二者相互依存，構(gòu)成概念統(tǒng)一而不可分割的兩個(gè)方面。教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)目的的具體化，是一種策略性的、可觀察、可測(cè)量、可評(píng)價(jià)的學(xué)習(xí)結(jié)果的陳述。在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，借鑒參考資料的作用①可以幫助教師了解教材是怎樣體現(xiàn)和落實(shí)數(shù)學(xué)課程的理念和改革要點(diǎn)；②可以知道編者對(duì)教材的特色是怎樣陳述的；③可以了解各部分教學(xué)內(nèi)容編排的理由；④可以了解各知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)要求；⑤可以了解每一道例題、習(xí)題的編寫意圖；⑥有助于教師通曉教材體系，熟悉課本內(nèi)容；⑦可以幫助教師獲得一些組織教學(xué)內(nèi)容、選擇教學(xué)方法的建議。（4）教學(xué)設(shè)計(jì)是教師教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的結(jié)晶，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)含有很深的科學(xué)性和藝術(shù)性。第二，不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容所依賴的教學(xué)手段是有差異的，針對(duì)不同教學(xué)內(nèi)容應(yīng)采取不同的教學(xué)手段。1構(gòu)建教學(xué)策略的依據(jù)對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教育價(jià)值追求的基本認(rèn)識(shí)；對(duì)兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程的認(rèn)識(shí)和理解；對(duì)課堂學(xué)習(xí)的理解和詮釋；1有效教學(xué)策略的標(biāo)準(zhǔn)能促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)；能強(qiáng)化學(xué)生在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)；能激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和主動(dòng)探索；能鼓勵(lì)學(xué)生的合作交流。（3）行為參與的方式是反映認(rèn)知參與的主要因素。1學(xué)生行為參與、情感參與和認(rèn)知參與的關(guān)系（1）在課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生的行為參與、情感參與和認(rèn)知參與是同時(shí)存在的，但它們的參與度和參與方式是不同的。使學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)間極其有限的學(xué)校教育中通過全新的教學(xué)方式能舉一反三、觸類旁通，始終處于一種不斷受教育和受培養(yǎng)的狀態(tài)中。瓦根舍因認(rèn)為，范例教學(xué)法的基本思想：反對(duì)龐雜臃腫傳統(tǒng)課程內(nèi)容和注入式的死記硬背的教學(xué)方法。兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知學(xué)習(xí)的基本特點(diǎn)：兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知的起點(diǎn)是他們生活常識(shí)兒童的數(shù)學(xué)認(rèn)知是一個(gè)主體性的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程兒童的數(shù)學(xué)認(rèn)知思維具有明顯的直觀化特征兒童的數(shù)學(xué)認(rèn)知是一個(gè)數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”與“再創(chuàng)造”的過程1布魯納發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的核心思想：是讓學(xué)生體驗(yàn)科學(xué)家從發(fā)現(xiàn)過程中所獲得的情感，從而激起學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)的動(dòng)機(jī)，而且學(xué)生可以通過“發(fā)現(xiàn)”的過程了解科學(xué)的性質(zhì)，形成科學(xué)的知識(shí)。傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)課程的特征：課程開發(fā)——學(xué)術(shù)中心課程組織——學(xué)科取向課程結(jié)構(gòu)——螺旋式課堂教學(xué)——記憶為主課程評(píng)價(jià)——筆紙考試為主國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的特點(diǎn)：1）、關(guān)注人的發(fā)展，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高； 2）、面向全體學(xué)生，從精英轉(zhuǎn)向大眾； 3）、關(guān)注學(xué)生的個(gè)別差異，而不是統(tǒng)一的模式； 4）、注重聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活與社會(huì)?！靶聰?shù)運(yùn)動(dòng)”失敗原因：：（1）不重視計(jì)算技巧而偏重抽象概念、符號(hào)以及過早引入“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”等，（2）不注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)。（3）數(shù)學(xué)性質(zhì)具有客觀存在的確定性。數(shù)學(xué)的性質(zhì)：（1）數(shù)學(xué)的對(duì)象是由人類發(fā)明和創(chuàng)造的。（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程有差異。1數(shù)學(xué)問題：是指人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中所面臨的、不能用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和方法解決的一種情境狀態(tài)。它是一種絕對(duì)評(píng)價(jià)，反映每個(gè)個(gè)體與預(yù)設(shè)目標(biāo)之間的距離，而不顯示個(gè)體在群體中的位置。它是制定課程內(nèi)容和確定教學(xué)方法的重要依據(jù)，是教育教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)的要求。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)：就是依據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，運(yùn)用教學(xué)設(shè)計(jì)的基本原理和方法，制定課堂教學(xué)方案的過程。教學(xué)原則：就是在總結(jié)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上根據(jù)一定的教育目的和對(duì)教學(xué)過程規(guī)律的認(rèn)識(shí)而制定的指導(dǎo)教學(xué)工作的基本準(zhǔn)則。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略：是指教師在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中所選擇的一種教學(xué)指導(dǎo)方式與方法或創(chuàng)設(shè)的方略。它不僅包含學(xué)習(xí)方法，還包含學(xué)習(xí)情緒與態(tài)度以及對(duì)學(xué)習(xí)環(huán)境和內(nèi)容的偏愛，也包括學(xué)習(xí)的姿勢(shì)等。能力：通常就是指構(gòu)成個(gè)體的個(gè)性心理特征的一個(gè)主要的組成部分，是指?jìng)€(gè)體能勝任某種活動(dòng)所具有的心理特征。教學(xué)大綱：原指教師為講授某一門學(xué)科而編寫的教材綱目，即教材和教學(xué)提綱。2教學(xué)實(shí)踐的目標(biāo)，按照具體化程度可分為三個(gè)層次：第一層次是培養(yǎng)目標(biāo)，第二層次是課程目標(biāo)，第三層次是教學(xué)目標(biāo)。2在教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生分析的內(nèi)容主要包括：起點(diǎn)能力分析、一般特點(diǎn)分析和學(xué)習(xí)風(fēng)格