5-內(nèi)積空間與希爾伯特空間(講稿)-文庫(kù)吧資料
2024-11-17 02:35本頁(yè)面
【正文】 en,… }?H是標(biāo)準(zhǔn)正交系,則{e1,e2,…,en,…}是線性獨(dú)立系，即{e1,e2,en,… }中的任何有限組是線性無(wú)關(guān)的。,(3) e1=(1,0,…,0,0,0,…), e2=(0,1,…,0,0,0,…),…,en=(0,0,…,0,1,0,…),定理4 (勾股定理的推廣)設(shè)H是內(nèi)積空間，若{x1,x2,xn}?H是正交系，則,||x1+x2+…+xn||2=||x1||2+ ||x2||2+…||xn||2,(2),是l 2 中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。,2 正交的性質(zhì),例如 (1) i, j, k 是R3中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。,(2) 設(shè){en}?H, 若,則稱{en}是H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。這是解析幾何的基礎(chǔ)。,?,第二十頁(yè)，共三十五頁(yè)。,2 正交投影的應(yīng)用——最佳逼近問(wèn)題,(1)最佳逼近問(wèn)題的一般提法:設(shè)H是Hilbert空間,x, x1, x2, …, xn?H, 要求尋找出n個(gè)數(shù)?1,?2,…,?n, 使得,(2)最佳逼近問(wèn)題的幾何解釋：記M=span{x1, x2, …, xn}?H,則,表示x到M上某點(diǎn)的距離,表示x到M的最短距離,表示x在M上的正交投影,最佳逼近問(wèn)題實(shí)際上就是求正交投影的問(wèn)題,第十八頁(yè)，共三十五頁(yè)。,3) 證明x0 是x在M中的正交投影,記x1=xx0, ?z?M, z??, ???C ?x0+?z?M,特取,4) 證明x0 是唯一的，從而上述正交分解式也是唯一的,設(shè) 是x在M上的兩個(gè)正交投影，則,第十六頁(yè)，共三十五頁(yè)。,2 正交分解與正交投影,定理14 (投影定理) 設(shè)M是希爾伯特空間H的閉線性子空間,則對(duì) ?x?H在M中存在唯一的正交投影x0, 使得 x =x0+x1 (其中x1?M?).,??{yn}?M, 使得||ynx||?d (n??) (下確界定義),證 ?x?H, 令x到M的距離,第十四頁(yè)，共三十五頁(yè)。,注：正交補(bǔ)的性質(zhì)：,是H的閉線性子空間，即H的,完備子空間.,事實(shí)上，?x, y?M?及?z?M,有=0,=0 ? =? +? =0 ? ?M??M?為H線性子空間 ?{xn}?L?, xn?x, ?z?M ? =lim =0 ?x?M? ?M?為H的閉子空間,第十三頁(yè)，共三十五頁(yè)。 事實(shí)上， ||x+y||2=||x||2+||y||2+2Re(x,y),2）在實(shí)內(nèi)積空間中，x?y?||x+y||2=||x||2+||y||2，即勾股定理成立,第十二頁(yè)，共三十五頁(yè)。 (2) x?M ??y?M, 都有 =0。,第十一頁(yè)，共三十五頁(yè)。這是內(nèi)積看所特有的性質(zhì)，這個(gè)定理在一般的巴拿赫空間中并不成立（因?yàn)榘湍煤湛臻g中沒有正交性的概念）。,下面將把正交分解和正交投影的概念與推廣到一般的內(nèi)積空間中。且有x=x0+x1, 其中x1?該坐標(biāo)平面。,第十頁(yè)，共三十五頁(yè)。,6 內(nèi)積空間的完備化,定義5 (內(nèi)積空間的同構(gòu)) 設(shè)X,Y是同一數(shù)域K上的內(nèi)積空間，若存在映射T: X?Y,保持線性運(yùn)算和內(nèi)積不變,即?x,y?X, ??, ??K,有 (1) T(?x+?y)=?Tx+?Ty, (2) = 則稱內(nèi)積空間X與Y同構(gòu),而稱T為內(nèi)積空間X到Y(jié)的同構(gòu)映射。,?C[a,b]中范數(shù)不滿足平行四邊形公式，,但C[a,b]不是內(nèi)積空間.,證 取x =1, y =(ta)/(ba)?C[a
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