5-內(nèi)積空間與希爾伯特空間(講稿)-資料下載頁(yè)
2025-11-08 02:35本頁(yè)面
【正文】 收斂于x的充要條件是成立巴塞弗(Parseval)等式：,證 由定理8知,若?x?X, 取xn=e1+…+en,則xxn?xn,且,第二十九頁(yè)，共三十五頁(yè)。,問(wèn)題：對(duì)于n維歐氏空間而言，如果基向量的個(gè)數(shù)小于n,則空間中的一些向量就無(wú)法用這些基向量線性表示。這時(shí)可以認(rèn)為基向量沒(méi)有選“完全”。此時(shí)不能保證Parseval等式成立，而只有Bessel不等式成立。只有基向量的個(gè)數(shù)等于n時(shí)，才能認(rèn)為基向量是“完全”的。,對(duì)于一般的無(wú)限維內(nèi)積空間，也只有當(dāng)基選完全時(shí)，才能保證Parseval等式成立，從而使得空間中的任何元素都能由這組完全的基線性表示，其傅立葉級(jí)數(shù)才能收斂于自身，或者說(shuō)，H中的任何元素都可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)。那么，如何確認(rèn)其基向量是完全的呢？為此引入下面的定義：,第三十頁(yè)，共三十五頁(yè)。,定義9 (完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系) 設(shè)H是內(nèi)積空間，{en} (n=1,2,…)是H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，如果在H中不再存在于所有en(n=1,2,…) 都正交的非零元素，即如果x?H, x?en(n=1,2,…), 必有x=?, 則稱(chēng){en}是H中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。,是L2[?, ?]中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。,（2）勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式表示的正交系,例如，（1）三角函數(shù)系,是L2[1,1]中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。,第三十一頁(yè)，共三十五頁(yè)。,(4) ?x?H, Parseval等式成立。,定理12 (正交系完全的充要條件) 設(shè){en}是希爾伯特空間H的標(biāo)準(zhǔn)正交系, 則下列四個(gè)命題是等價(jià)的：,(3) ?x?H, x關(guān)于{en}的Fourier級(jí)數(shù)收斂于x,即x可以展開(kāi)成關(guān)于{en}的Fourier級(jí)數(shù):,(1) {en}是H中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系；,第三十二頁(yè)，共三十五頁(yè)。,五、可分希爾伯特空間,根據(jù)前面的討論，L2[?, ?]上的確存在至多可列的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論與可分的希爾伯特空間也是成立的。,定理15 (H可分的充要條件—完全標(biāo)準(zhǔn)正交系的存在性) H是可分的希爾伯特空間?H有至多可列的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系{en}.,定理16 (可分希爾伯特空間的同構(gòu)性) (1) 任意有限維可分的希爾伯特空間必與Rn同構(gòu)； (2) 任意無(wú)限維可分的希爾伯特空間必與l 2同構(gòu)。,證 H是可分?存在H的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系{e1,e2,…en}或{e1,e2,…en,…}.,作映像? : H?Rn（或l 2）,? (x)=(,…,)（或? (x)=(,…,…) ）,?? 是一一映像且保持線性運(yùn)算和內(nèi)積不變，即H與Rn(或l 2）同構(gòu),第三十三頁(yè)，共三十五頁(yè)。,注: (1)歐式空間Rn任可以看作是有限維可分的希爾伯特空間的模型； (2) l 2空間可以看作是無(wú)限維可分的希爾伯特空間的模型。 (3) 對(duì)可分的希爾伯特空間的研究可以轉(zhuǎn)化為對(duì)Rn或l 2的研究，要研究某可分的希爾伯特空間中的函數(shù)，只要研究該函數(shù)的傅立葉系數(shù)就夠了。,第三十四頁(yè)，共三十五頁(yè)。,內(nèi)容總結(jié),第五章 內(nèi)積空間與希爾伯特空間。定義2 (1) 范數(shù)。4 希爾伯特空間。例3 L2[a,b]空間按照內(nèi)積。例4 C[a,b]按照范數(shù)。x = x0+x1 （1）。設(shè) 是x在M上的兩個(gè)正交投影，則。是l 2 中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。+?nen, ej = 0,第三十五頁(yè)，共三十五頁(yè)。
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