數(shù)列極限和函數(shù)極限最終版-文庫(kù)吧資料
2024-11-15 04:49本頁(yè)面
【正文】 ))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． ：+x21x(1)lim(2)lim x174。(6)o(g(x))177。+(3)+x1=o(1)(x→0)。(2)習(xí)題1． 證明下列各式(1)2x－x2=O(x)(x→0)。254。253。252。236。238。0n174。233。3x1x::(1)limnsinn174。(6)lim(1+)bx(a,b為給定實(shí)數(shù))n174。+165。248。x174。1+x246。(4)lim231。0xx(3)lim(1+tanx)x174。165。(2)lim(1+ax)x(a為給定實(shí)數(shù))。0x174。xcosx2(9)lim。(4)limx174。x174。x174。0xxsin2xsin2a1(7)limxsin。3x174。cosxxptanxsinxarctanxlim(5)lim。0x174。習(xí)題sin2xsinx3(1)lim。x0:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0x174。u(x0)0x206。165。165?！?(x0):若對(duì)任何數(shù)列{xn}204。n174。(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin 174。n174。[a,+165。)上的增(減): lim= f(x)存在的充要條件是f在n174。+165。+165。0x174。09．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?x174。0x174。165。0x174。0x1+xx1+xx+x2+L+xnn(3)lim。(2)。x0(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x) g(x)，問是否必有A B ? 為什么？（2）證明：若AB,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x) g(x).（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim x174。0(x)=A, limg(x)=174。x0x174。+165。x0（3）limx174。x0（2）lim[f(x)g(x)]=AB。B。x0（1）lim[f(x)177。0xx4x174。xcosxxsinx。x5x1902． 利用斂性求極限：(1)limx174。(8)limx174。41（7）limx174。0x2+2x3xn1(5)limm(n,m 為正整數(shù))；（6）limx174。(4)x174。22x21(x1)+(13x)。px174。x0習(xí)題1． 求下列極限：x21（1）lim2（sinx－cosx－x）。x174。x=+x2,x limf(x)= A,證明limf(x174。x(3)f(x)=237。(2)f(x)= [x]236。x0x174。x0h174。(x)≠ 174。2(5)limcos x = cos x0 x174。+165。2xx25=1。(2)lim(x26x+10)=2。+165。3x3x2x6證明： e0，要使5=x3e，只需取d=e，則當(dāng)0x3d時(shí)，x3x2x6x2x6==x3e成立,所以limx174。x0174。limg(x)x174。x0A(x)179。x0(x)=A185。x0，,但d的值不唯一，(x)在某點(diǎn)x0極限存在，(x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值必存在且等于該點(diǎn)極限值(x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值必存在,但不一定等于該點(diǎn)極限值(x)(x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值存在，必等于該點(diǎn)極限值(x)=A0，則f(x)0 x174。165。2249。n21+cosn1+cosn20=163。e”是數(shù)列{xn} ﹡二、利用數(shù)列極限的定義證明:lim證明： 對(duì)e0，要使1+cosn=174。(0,1)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n179。165。165。d)，有 f(x39。,x“206。x0limf(x)存在的充要條件是:任給, e0，存在正數(shù)d(d39。h(x)g(x)則limh(x)=174。d)內(nèi)有39。x0x174。165。163。165。另一方面，由于a是{an}的一個(gè)上界，故對(duì)一切an都有an163。a通過以上對(duì)數(shù)列極限與函數(shù)極限的介紹,可以知道數(shù)列極限與函數(shù)極限的本質(zhì)相同, 數(shù)列極限的判別法（1）單調(diào)有界定理：:不妨設(shè){an},數(shù)列{an}有上確界,記a=sup{an}.下面證明a就是{an},任給e0,按上確界的定義,存在數(shù)列{an}中某一項(xiàng)aN,使得ae{an}的遞增性，當(dāng)nN時(shí)有aeaN163。agxlimgxx174。alim=limg(x)185。ax174。ax174。ax174。g(x))=limf(x)177。ax174。limg(x).x174。0x174。d)內(nèi)有f(x)163。x0x174。U176。(x0)使得對(duì)一切x174。(x)內(nèi)是有界的，當(dāng)x0趨于無窮大時(shí)，x174。2．2函數(shù)極限性質(zhì)（1）極限唯一性；若極限limf(x)存在，174。n174。yn)n174。limxn163。n()n174。ylimynn174。0n174。165。165。165。165。165。165。165。yn)=limxn177。165。165。165。(ana39。165。(0,a)a206。39。U(A。e).或更簡(jiǎn)單的表為:o任給e0,存在d0,使得fU(x0。d)有f(x)206。e).于是，ed定義又可寫成：任給e0,存在d0,使得一切x206。d)，而不等式f(x)Ae等價(jià)于f(x)206。x0d定義著重注意以下幾點(diǎn):N定義中的N,它依賴于e,但也不是由e所唯（1）定義中的正數(shù)d,相當(dāng)于數(shù)列極限e一確定的,一般來說, e愈小, d也相應(yīng)地要小一些,而且把d取得更小些也無妨.（2）定義中只要求函數(shù)在的某一空心鄰域內(nèi)有定義,而一般不考慮在點(diǎn)處的函數(shù)值是否有意義,這是因?yàn)?對(duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)x趨于x0過程中函數(shù)值的變化趨勢(shì).（3）定義中的不等式0xx0d等價(jià)于x206。x0對(duì)應(yīng)的,我們也有l(wèi)im+f(x)=A,limf(x)=A的相應(yīng)的ex174。x0即limf(x)=A219。定義，A為定數(shù)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e（無論它多么?。?，總存在正數(shù)dd，使()得當(dāng)0xx0d時(shí)，有f(x)Ae，則常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x174。d)內(nèi)有39
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1