構(gòu)造函數(shù),妙解不等式-文庫吧資料
2024-10-31 14:49本頁面
【正文】 +c)179。1+，對(duì)任意x0，g(x)1+e2.第四篇：構(gòu)造函數(shù)證明不等式在含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個(gè)字母的二次式，這時(shí)可考慮用判別式法。(e2,1)時(shí)，F(xiàn)162。(0,e2)時(shí)，F(xiàn)162。(0,1)，則F162。1時(shí)，g(x)=xf162。(x)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+165。)上是減函數(shù)，xxx由k(1)=0知，當(dāng)0x1時(shí)k(x)0，從而f162。(x)=.ex設(shè)k(x)=lnx1，則k162。(x)=，ex由已知，f162。(x)，其中f162。1時(shí)，2x2x+1(x)+a2179。(x)=6x2=6(x則有x+.33所以g(x)min=g=1當(dāng)0163。x163。4x34x+當(dāng)a2時(shí)，f(x)+a2=4x+2a(1x)2179。1，當(dāng)a163。(2)由于0163。此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為234。).當(dāng)a0時(shí)，f162。0恒成立，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(165。0時(shí)，f162。1＝4xx2－32x＋25)9(x－1).x＋5例4（2012高考浙江文21）（本題滿分15分）已知a∈R，函數(shù)f(x)=4x32ax+a（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間（2）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)+ 2a＞0.【答案】【解析】（1）由題意得f162。248。 235。2x3x(x－1)＋(x＋5)231。1＝2xx(x－1)＋(x＋5)(2＋x)－18x]x11230。x232。2235。≤x233。2248。 ≤1－ax－2x230。248。 f(x)－g(x)＝(1＋x)e－230。4248。 ≥(1－x)－ax－1－2x230。248。 f(x)－g(x)＝(1＋x)e－230。x2設(shè)G(x)＝2cos x，則G′(x)＝x－2sin (x)＝x－2sin x，則H′(x)＝1－2cos x，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，H′(x)＜0，于是G′(x)在[0，1]上是減函數(shù)，從而當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，G′(x)＜G′(0)＝0，故G(x)在[0，1]上是減函數(shù)．于是G(x)≤G(0)＝a＋1＋G(x)≤a＋3，所以，當(dāng)a≤－3時(shí)，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面證明，當(dāng)a＞－3時(shí)，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．1x3f(x)－g(x)≤1－ax－2xcos x21＋x－xx3＝ax－－2xcos x21＋x1x＝－x230。2232。－2xx3≥1－x－ax－1－2xcos x2xa＋1＋＋2cos x246。2232。g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a取值范圍.【答案】解：(1)證明：要證x∈[0，1]時(shí)，(1＋x)e－2x≥1－x，只需證明(1＋x)ex≥(1－x)ex.－記h(x)＝(1＋x)ex－(1－x)ex，則h′(x)＝x(ex－ex)，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h′(x)＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函數(shù)，故h(x)≥h(0)＝(x)≥1－x，x∈[0，1]．－－要證x∈[0，1]時(shí)，(1＋x)e－2x1≤ex≥x＋＋x記K(x)＝ex－x－1，則K′(x)＝ex－1，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，K′(x)＞0，因此K(x)在[0，1]上是增函數(shù)，故K(x)≥K(0)＝(x)≤，x∈[0，1]．1＋x1綜上，1－x≤f(x)≤，x∈[0，1]．1＋x(2)(方法一)xax＋1＋2xcos x246。f(x)163。(x)0,h(x)在(1,+∞)(x)h(1)=0.)例2（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））已知函數(shù)f(x)=(1+x)e2xx3,g(x)=ax++1+[0,1]時(shí)，21。(x)0,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減。1).所以除切點(diǎn)之外,:g(x)0即x12lnx0變形為x2xlnx0,記h(x)=x2xlnx,則x12x2x1(2x+1)(x1)h162。當(dāng)x1時(shí),x10,lnx0,所以g162。(x)=.x22當(dāng)0x1時(shí),x10,lnx0,所以g162。1).g(x)滿足g(1)=0,且g162。(x)=.所以f162。第三篇：函數(shù)解答題構(gòu)造函數(shù)證明不等式函數(shù)解答題構(gòu)造函數(shù)證明不等式 例1（2013年高考北京卷（理））設(shè)L為曲線C:y=lnx在點(diǎn)(1,0)(I)求L的方程。0 又x2的系數(shù)大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2+y2+z2179?！鄁(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（1，1）的圖象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+10,從而：(b+c)a+bc+10,即證：ab+bc+ca＞1 例已知a+b+n=p，求證：x2+y2+z2179。22三、構(gòu)造函數(shù)證明不等式。解：設(shè)f(n)=∵f(n+1)f(n)111+++，n+1n+22n1111+=0,∴f(n)是關(guān)于n 的增函2
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