【正文】 爾得勒斯提出的邊緣檢測算子（簡稱 MH算子 ） ,由于 LOG濾波器在 ),( yx 空間中的圖形與墨西哥草帽形狀相似，所以又稱為墨西哥草帽算子。 ? 求高斯濾波器的拉普拉斯的變換，再求與圖像的卷積，然后再進(jìn)行過零判斷。在實(shí)際應(yīng)用中為了避免檢測出非顯著邊緣，應(yīng)選擇一階導(dǎo)數(shù)大于某一閾值的零交叉點(diǎn)作為邊緣點(diǎn)。這一點(diǎn)可以用 二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)。 這種方法的特點(diǎn)是圖像首先與 高斯濾波器進(jìn)行卷積，這樣既平滑了 圖像又降低了噪聲，孤立的噪聲點(diǎn)和較小的結(jié)構(gòu)組織將被濾除。 其具體步驟如下 （ 1） 濾波：首先對圖像 f(x,y)進(jìn)行平滑濾波，其濾波函數(shù) 根據(jù)人類視覺特性選為 高斯函數(shù)，即： ?????? ??? )(2 1e xp2 1),( 2222 yxyxG ???? () 其中 ， G(x,y)是一個圓對稱函數(shù)， 其平滑的作用是可通過 ? 來控制的。 Marr 和 Hildreth 將高斯濾波和拉普拉斯邊緣檢測結(jié)合在一起，形成 LOG(Laplacian— Gauss)算法。 LOG 算子 前面介紹的梯度算子和拉普拉斯算子實(shí)際上都是微分或差分算法，因此算法對噪聲十分敏感。它不具有方向性，對灰度突變敏感，定位精度高，不但檢測出了絕大部分的邊緣，同時基本上沒有出現(xiàn)偽邊緣。因?yàn)樵谖⒎謱W(xué)中有：一個只包含偶次階導(dǎo)數(shù)和取偶次冪的奇次階導(dǎo)數(shù)線性組合算子，一定是各向同性的。而對屋頂狀邊緣，邊緣點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)取極小值，這時對 {f(i,j)}的每個像素取它關(guān)于 x 方向和 y 方向的二階差分之和的相反數(shù)。 用 j1 替換 : 15 () 最終可 整理為 ),(4)1,()1,(),1(),1( ),(),(),(222jifjifjifjifjif jifjifjif yx ???????? ?????? () 其 4 鄰域系統(tǒng)和 8 鄰域系統(tǒng)的 Laplacian 算子的模板分別如 下 20 1 01 4 10 1 0????? ? ????? 2 0 1 01 8 10 1 0????? ? ????? () 對階躍狀邊緣，二階導(dǎo)數(shù)在邊緣點(diǎn)出現(xiàn)零交叉，即邊緣點(diǎn)兩邊二階導(dǎo)數(shù)取異號。 應(yīng)用 Prewitt 算子對 lena 圖像進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果如下 ： 14 圖 Prewitt 邊緣檢測 結(jié)果 典型 二階邊緣檢測算子 Laplacian 算子 Laplacian (拉普拉斯 )算子是二階微分算子，是一個標(biāo)量，屬于各向同性的運(yùn)算，對灰度突變敏感。算子形式如下： = [ ( 1 , 1 ) ( , 1 ) ( 1 , 1 ) ] [ ( 1 , 1 ) ( , 1 ) ( 1 , 1 ) ]x f f i j f i j f i j f i j f i j f i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= [ ( 1 , 1 ) ( 1 , ) ( 1 , 1 ) ] [ ( 1 , 1 ) ( 1 , ) ( 1 , 1 ) ]y f f i j f i j f i j f i j f i j f i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? () ( , )| [ ( 1 , 1 ) ( , 1 ) ( 1 , 1 ) ] [ ( 1 , 1 ) ( , 1 ) ( 1 , 1 ) ] || [ ( 1 , 1 ) ( 1 , ) ( 1 , 1 ) ] [ ( 1 , 1 ) ( 1 , ) ( 1 , 1 ) ] |xyP i j f ff i j f i j f i j f i j f i j f i jf i j f i j f i j f i j f i j f i j? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? () 定義 Prewitt 邊緣檢測算子模板 如下 1 0 1= 1 0 11 0 1x f???????????? ， 111= 0 0 0111y f?????????? () 取適當(dāng)門限 T，作如下判斷；若 P(i,j)T，即 (i， j)為階躍狀邊緣點(diǎn)， {P(i,j)}為邊緣圖像。這些算子模板由理想的邊緣子圖像構(gòu)成。 應(yīng)用 Sobel 算子對 lena 圖像進(jìn)行邊緣檢測 的結(jié)果如下 ： 圖 Sobel 邊緣檢測 結(jié)果 13 Prewitt 算子 Prewitt 算子是一種利用局部 差分 平均方法尋找邊緣的算子，它體現(xiàn)了三 對像素點(diǎn)像素值 之差 的平均概念。 Sobel 能提供較為精確的邊緣方向信息，但它同時也會檢測出許多的偽邊緣，邊緣定位精度不夠高。兩個卷積的最大值作為像素點(diǎn)的輸出值，運(yùn)算結(jié)果是一幅邊緣幅度圖像。 當(dāng)使用達(dá)到領(lǐng)域時，抗噪聲特性會更好，但這樣做會增加計(jì)算量，并且得出的邊緣也較粗糙。則 {S(i,j)}為邊緣圖像。 應(yīng)用 Roberts 算子對 lena 圖像進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果如下 ： 圖 Roberts 邊緣檢測 結(jié)果 Sobel 算子 對數(shù)字圖像 {f(i， j)}的每個像素點(diǎn)，考察它上、下、左、右鄰點(diǎn)灰度加權(quán)差，與之接近的鄰點(diǎn)的權(quán)值大。它適合于得到方向不同的邊緣，對不同方向的邊緣都比較敏感，檢測水平和垂直邊緣的效果好于斜向邊緣，定位精度高。 10 梯度算子 梯度對應(yīng)一階導(dǎo)數(shù)，對于一個 連續(xù)圖像函數(shù) f(x,y): 梯度矢量定義 : () 梯度的幅度 : ()梯度的方向 : () 用差分來近似梯度： [ , 1] [ , ]xG f i j f i j? ? ? [ , ] [ 1, ]yG f i j f i j? ? ? () 其中， j 對應(yīng)于 x 軸方向， i對應(yīng)于 y負(fù)軸方向，用簡單卷積模板表示 : ? ?11xG ?? 11yG ???????? () Roberts 邊緣算子 Roberts 邊緣檢測算子根據(jù)任意一對互相垂直方向上的差分可用來計(jì)算梯度的原理，采用對角線方向 相鄰兩像素之差，即 【 4】 ( , ) ( 1 , 1 )( , 1 ) ( 1 , )xyf f i j f i jf f i j f i j? ? ? ? ???? ? ? ? ?? () 22( , ) ( , )x y x yR i j f f R i j f f? ? ? ? ? ? ? ? 或 ()它們的卷積模板 為 10= 01x f ??? ????? 01=10y f ??? ????? () 有了 xf? ， yf? 之后，很容易計(jì)算出 Roberts 的梯度幅值 R(i,j)， 適當(dāng)取門限 T， 做 如下判斷： R(i,j)T,(i,j)為階躍狀邊緣點(diǎn)， {R(i,j)}為邊緣圖像。 典型一階 邊緣檢測算子 本節(jié)內(nèi)容中主要介紹常見的邊緣檢測方法，包括 Roberts 算子， Sobel 算子，Prewitt 算子以及 Laplacian 算子等，然后對它們的檢測效果進(jìn)行比較。 4） 定位：若需要進(jìn)一步定 位邊緣，精確找出邊緣的位置可以在子像素分辨率上進(jìn)行。 2） 增強(qiáng)：增強(qiáng)邊緣主要是通過梯度算子來求得梯度幅值，梯度幅值反映了圖像各像素點(diǎn)鄰域內(nèi)輕度的變化程度，增強(qiáng)操作使得圖像差異更加明顯。很多濾波器在去除噪聲的同時使得圖像模糊化，帶來邊緣細(xì)節(jié)的丟失 。 數(shù)字圖像可以用離散的二元函數(shù)表示，其自變量對應(yīng)于像素的坐標(biāo)位置，因此通常用 差分 來代替微分。對灰度值的一階導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)也即得到其二階導(dǎo)數(shù)，觀察圖 （ a），二階導(dǎo)數(shù)的零 點(diǎn)正好對應(yīng)灰度 8 剖面圖的邊緣點(diǎn)，因此邊緣 也 可以利用二階導(dǎo)數(shù)的過零點(diǎn)來檢測。 圖 圖像邊緣和對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)示例 圖 （ a）中，對剖面圖進(jìn)行一階求導(dǎo)，可以看出在圖像灰度值由低到高變化時有一個階躍，而在其他地方為零。 (a)斜坡邊緣 (b)階梯邊緣 (c)屋頂邊緣 (d)線性邊緣 圖 邊緣類型 邊緣 的判定 由此可見，邊緣表現(xiàn)為灰度值不連續(xù)，在數(shù)學(xué)中不連續(xù)特性可以用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來檢測。第 7 三種是屋頂型邊緣，其灰度值先逐漸增加再逐漸減小。 邊緣的 類型 四種常見的圖像邊緣類型如下：第一種是斜坡 邊緣，就是從一個灰度值跳到比它高的另一個灰度值，邊緣的特征一般用其高度、傾斜角和斜坡中點(diǎn)的水平坐標(biāo)值來表述。 4）陰影引起的邊緣。 3） 不同材料組成的邊緣線。這些邊緣線為兩個不同曲面或平面的交線，該點(diǎn)處物體表面的法線方向不連續(xù)。圖像上的邊緣點(diǎn) 可能 對應(yīng)不同的物理意義。邊緣的描述包含以下幾個方面 【 4】 ： 邊緣法線方向 —— 在某點(diǎn)灰度變化最劇烈的方向，與邊緣方向垂直； 邊緣方向 —— 與邊緣法線方向垂直，是目標(biāo)邊界的切線方向； 邊緣強(qiáng)度 —— 沿邊緣法線方向圖像局部的變化強(qiáng)度的量度。局部邊緣是圖像中局部會聚集以簡單（即單調(diào)）的方式做極快變換的小區(qū)域。 本文重點(diǎn)研究綜合基于邊界和基于區(qū)域的分割技術(shù)來提高分割精度的分割方法，也正是基于此對 Canny 算子進(jìn)行 改進(jìn)。 上述 3 種基本的圖像分割既可單獨(dú)使用，也可綜合使用，如綜合基于邊界和基于區(qū)域的分割技術(shù)來提高分割精度。使 用較多的 是 區(qū)域增長法、區(qū)域分裂合并法和分水嶺算法等。圖像直方圖是一種像素灰度加噪聲的概率密度分布，分割問題實(shí)際上就是像素分類的參數(shù)估計(jì)問題，易受噪聲和像素灰度分布的波動影響。常用的邊緣檢測算子有 Roberts 算子 ， Sobel 算子 ， Prewitt 算子 ， Laplacian( a ) ( b ) 5 算子 ， LOG 算子 等 。 目前已經(jīng)提出的圖像分割方法很多，綜合各種方法的實(shí)質(zhì)，圖像分割有三種不同的途徑 【 4】 ： 1） 基于邊界的圖像分割 這種方法先檢測圖像邊界，再連接目標(biāo)邊界的輪廓線。 根據(jù)是否借助一定區(qū)域內(nèi)像素灰度變換模式，圖像分割可分為紋理圖像分割和非紋理分割。 格局應(yīng)用要求的不同，圖像分割可分為粗分割、細(xì)分割兩大類。 和所有復(fù)雜事物的分類一樣，圖像分割可以從不同的角 度和特征進(jìn)行分類，存在多種分類方法，現(xiàn)列舉如下 【 1】 ： 根據(jù)分割過程中運(yùn)算策略的不同，可把圖像分割分為并行分割算法和 串行 分割算法兩類。 4 連通指的是從區(qū)域上一點(diǎn)出發(fā)，可通過 4個方向，即上、下、左、 右移動的組合，在不越出區(qū)域的前提下，到達(dá)區(qū)域內(nèi)的任意像素； 圖像 分割基本原理 圖像分割是將圖像劃分成若干個互不相交的小區(qū)域的過程，小區(qū)域是某種意義下具有共同屬性的像素的連通集合 【 3】 。即同一子區(qū)域內(nèi)的像素應(yīng)當(dāng)是連通的。即分割得到的屬于不同區(qū)域的像素應(yīng)具有不同的性質(zhì)。即分割得到的屬于同一區(qū)域的像素應(yīng)具有某些相同的特性。即分割成的各子區(qū)域互不重疊。即分割成的所有子區(qū)域 的并應(yīng)能構(gòu)成原來的區(qū)域 R。 圖像分割定義 圖像分割一般是指通過對圖像 的不同特征（如邊緣、紋理、顏色、亮度等）的分析，達(dá)到將圖像分割成各具特征的區(qū)域，并提取出 感 興趣目標(biāo)的技術(shù)和過 3 程，可以用數(shù)學(xué)語言較為嚴(yán)格地描述為 【 3】 ： 設(shè) R 代表整個圖像區(qū)域，對 R 的分割可看作將 R 分成若干個滿足以下 5 個條件的非空子集 (子區(qū)域 )R1,R2,… ,Rn。概括來說，在各種圖像應(yīng)用中，只要需對圖像目標(biāo)進(jìn)行提取、測量等都離不開圖像分割。 圖像分割技術(shù)在實(shí)際中已得到廣泛的應(yīng)用。一方面，圖像分割高于一般意義上的圖像處理，研究對象通常是目標(biāo)所在 的區(qū)域或者是目標(biāo)的特征，并非單個像素灰度值；另一方面，由于圖像分割、目標(biāo) 分割 、特征提取和參數(shù)測量都是將原始圖像轉(zhuǎn)化為更抽象、更緊湊的形式 ，使得 更高層的分析和理解成為 可能 。 圖像分割是從 低 層次圖像處理到較高層次圖像分析、更高層次圖像理解的關(guān)鍵步驟。 2 第 一 章 圖像分割與邊緣檢測 圖像分割 簡介 圖像分割 (image segmentation)就是把圖像分成各個具有特性的目標(biāo)區(qū)域的技術(shù)和過程，這個特性可以使迅速的灰度、顏色、紋理等，如將一副照片分割成公路、湖泊、森林、住宅等區(qū)域。首先通過平滑來濾除圖像中的噪聲，然后進(jìn)