江西省20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試仿真卷四理科數(shù)學(xué)試題word版含答案-文庫(kù)吧資料
2024-12-09 05:58本頁(yè)面
【正文】 s | | | 1313mn? ?? ? ? ? ?，． 20．（本小題滿分 12分）已知橢圓 C ：22 1( 0 )xy abab? ? ? ?過(guò)點(diǎn) ( 1, 1)P?? ， c 為橢圓的半焦距，且 2cb? ，過(guò)點(diǎn) P 作兩條互相垂直的直線 1l ， 2l 與橢圓 C 分別交于另兩點(diǎn)M ， N ． （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）若直線 1l 的斜率為 1? ，求 PMN△ 的面積； （ 3）若線段 MN 的中點(diǎn)在 x 軸上，求直線 MN 的方程． 【答案】（ 1）223 144xy??；（ 2） 2 ；（ 3） 0xy?? 或 12x?? ． 【解析】（ 1）因?yàn)闄E圓 C ：22 1( 0 )xy abab? ? ? ?，過(guò)點(diǎn) ( 1, 1)P?? ， c 為橢圓的半焦距，且 2cb? ， 所以 22111ab??，且 222cb? ， 所以 223ab? ，解得 2 43b? ， 2 4a? ， 所以橢圓方程為223 144xy??． （ 2）設(shè) 1l 方程為 1 ( 1)y k x? ? ? ， 由 221,3 4,y kx kxy? ? ??? ??? 整理得 2 2 2(1 3 ) 6 ( 1 ) 3 ( 1 ) 4 0k x k k x k? ? ? ? ? ? ?， 因?yàn)?( 1, 1)P?? ，解得22223 6 1 3 2 1( , )1 3 1 3k k k kM kk? ? ? ? ???， 當(dāng) 0k? 時(shí)，用 1k? 代替 k ，得22226 3 2 3( , )33k k k kN kk? ? ? ? ???， 將 1k?? 代入，得 ( 2,0)M? ， (1,1)N ． 因?yàn)?( 1, 1)P?? ，所以 2PM? ， 22PN? ， 所以 PMN△ 的面積為 1 2 2 2 22 ? ? ?． （ 3）設(shè) 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y ，則2211223 4,3 4,xyxy? ???????? 兩式相減得 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 3 ( ) ( ) 0x x x x y y y y? ? ? ? ? ?， 因?yàn)榫€段 MN 的中點(diǎn)在 x 軸上， 所以 120yy??，從而可 得 1 2 1 2( )( ) 0x x x x? ? ?， 若 120xx??，則 11( , )N x y?? ， ∵ PM PN? ，所以 0PM PN??，得 22112xy??． 又因?yàn)?221134xy??，所以解得 1 1x?? ， 所以 ( 1,1)M? ， (1, 1)N ? 或 (1, 1)M ? ， ( 1,1)N? ， 所以直線 MN 方程為 yx?? ． 若 120xx??，則 11( , )N x y? ， 因?yàn)?PM PN? ，所以 0PM PN??，得 2211( 1) 1yx? ? ?， 又因?yàn)?221134xy??，所以解得 1 12x?? 或 1? ， 經(jīng)檢驗(yàn)： 1 12x?? 滿足條件， 1 1x?? 不滿足條件． 綜上，直線 MN 的方程為 0xy?? 或 12x?? ． 21 ．（ 本小 題滿分 12 分）記 ? ?max ,mn 表示 ,mn中 的最 大值， 如? ?m ax 3, 10 10? ． 已 知 函 數(shù)? ? ? ?2m a x 1 , 2 ln ,f x x x?? ? ? 2 2 21m a x l n , 2 42g x x x x a x a a????? ? ? ? ? ? ?????????． （ 1）設(shè) ? ? ? ? ? ?21312h x f x x x??? ? ? ?????，求函數(shù) ??hx在 ? ?0,1 上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （ 2）試探討是否存在實(shí)數(shù) ? ?2,a? ? ?? ，使得 ? ? 3 42g x x a??對(duì) ? ?2,xa? ? ?? 恒成立？若存在，求 a 的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由． 【答案】（ 1） 2 ；（ 2）存在，ln2 1,24???? ???． 【解析】（ 1 ）設(shè) ? ? ? ? ? ? ? ?22 1 121 2 l n , 2 xxF x x x F x x xx ???? ? ? ? ? ?，令?? 0Fx? ? ，得 ??1,x F x? 遞 增 ； 令 ? ? 0Fx? ? ，得 ? ?0 1,x F x?? 遞減， ∴? ? ? ?m in 10F x F??， ∴ ? ? 0Fx≥ ，即 2 1 2lnxx? ≥ ， ∴ ? ? 2 1f x x??．設(shè)? ? ? ?21312G x x x??? ? ?????，結(jié)合 ??fx與 ??Gx在 ? ?0,1 上圖象可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在 ? ?0,1 上有兩個(gè)交點(diǎn)，即 ??hx在 ? ?0,1 上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 2（或由方程 ? ? ? ?f x G x? 在 ? ?0,1 上有兩根可得） （ 2）假設(shè)存在實(shí)數(shù) ? ?2,a? ? ?? ，使得 ? ? 3 42g x x a??對(duì) ? ?2,xa? ? ?? 恒成立， 則2 2 23l n 42132 4 422x x x ax a x a a x a? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ，對(duì) ? ?2,xa? ? ?? 恒成立， 即 ? ?? ?21ln 4220x x ax x a? ?????? ? ?? ，對(duì) ? ?2,xa? ? ?? 恒成立 ， ① 設(shè) ? ? 1ln 2H x x x??， ? ? 1 1 222 xHx xx?? ? ? ?， 令 ? ? 0Hx? ? ，得 ? ?0 2,x H x?? 遞增；令 ? ? 0Hx? ? ，得 ? ?2,x H x? 遞減， ∴ ? ? ? ?m a x 2 ln 2 1H x h? ? ?， 當(dāng) 0 2 2a? ? ?
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