【正文】 =0； （ 2） f′（ x） = ， 由 f′（ x） ＜ 0，得 0＜ x＜ 1 或 1＜ x＜ e， 所以函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ 0， 1）和（ 1， e）； （ 3）因?yàn)?g（ x） =aelnx+ x2﹣（ a+e） x， 由已知，若存在 x0∈ [e， +∞ ），使函數(shù) g（ x） =aelnx+ x2﹣ ?lnx?f（ x） ≤ a成立， 則只需滿(mǎn)足當(dāng) x∈ [e， +∞ ）， g（ x） min≤ a 即可， 又 g（ x） =aelnx+ x2﹣（ a+e） x， 則 g′（ x） = ， a≤ e，則 g′（ x） ≥ 0 在 x∈ [e， +∞ ）上恒成立， ∴ g（ x）在 [e， +∞ ）上單調(diào)遞增， ∴ g（ x） min=g（ e） =﹣ ， ∴ a≥ ﹣ ， ∵ a≤ e， ∴ ﹣ ≤ a≤ e， a＞ e，則 g（ x）在 [e， a）上單調(diào)遞減，在 [a， +∞ ）上單調(diào)遞增， ∴ g（ x）在 [e， +∞ ）上的最小值是 g（ a）， ∵ g（ a） ＜ g（ e）， a＞ e， ∴ 滿(mǎn)足題意， 綜上所述， a≥ ﹣ ． 數(shù)學(xué) Ⅱ （理科加試） [選做題 ]本題包括 A、 B、 C、 D 四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． A． [選修 41：幾何證明選講 ]（本小題滿(mǎn)分 0 分） 21．如圖， A， B， E 是 ⊙ O 上的點(diǎn)，過(guò) E 點(diǎn)的 ⊙ O 的切線(xiàn)與直線(xiàn) AB 交于點(diǎn) P，∠ APE 的平分線(xiàn)和 AE， BE 分別交于點(diǎn) C， D．求證： （ 1） DE=CE； （ 2） ． 【考點(diǎn)】 NC：與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段． 【分析】 （ 1）證明 ∠ PEB=∠ PAC， ∠ EPC=∠ CPA，可得 ∠ ECD=∠ EDC，即可證明結(jié)論； （ 2）證明 △ EPB∽△ APE，得 = ， PC 是 ∠ APE 的平分線(xiàn)，得 = ，即可證明結(jié)論． 【解答】 證明：（ 1） ∵ PE 是 ⊙ O 的切線(xiàn)， ∴∠ PEB=∠ PAC， ∵ PC 是 ∠ APE 的平分線(xiàn)， ∴∠ EPC=∠ CPA， ∴∠ PEB+∠ EPC=∠ PAC+∠ CPA， ∴∠ ECD=∠ EDC， ∴ DE=CE； （ 2） ∵∠ PEB=∠ PAC， ∠ EPB=∠ APE， ∴△ EPB∽△ APE， ∴ = ， ∵ PC 是 ∠ APE 的平分線(xiàn)， ∴ = ， ∴ ． B． [選修 42：矩陣與變換 ]（本小題滿(mǎn)分 0 分） 22．已知二階矩陣 M 有特征值 λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 = ，并且矩陣 M將點(diǎn)（﹣ 1， 3）變換為（ 4， 16），求矩陣 M． 【考點(diǎn)】 OV：特征值與特征向量的計(jì)算． 【分析】 設(shè)出矩陣，利用特征向量 的定義，即二階變換矩陣的概念，建立方程組，即可得到結(jié)論． 【解答】 解：設(shè) ， ∵ 特征值 λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 = ，矩陣 M 將點(diǎn)（﹣ 1， 3）變換為（ 4，16）， ∴ ，解得 ， ∴ M= … C． [選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ]（本小題滿(mǎn)分 0 分） 23．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長(zhǎng)度．已知直線(xiàn) l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)），曲線(xiàn) C 的極坐標(biāo)方程是 ρcos2θ=4sinθ． （ 1）寫(xiě)出直線(xiàn) l 的普通方程和曲線(xiàn) C 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）設(shè)直線(xiàn) l 與曲線(xiàn) C 相交于 A， B 兩點(diǎn)， 點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為 ，求 |PM|的值． 【考點(diǎn)】 Q4：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程． 【分析】 （ 1）消去參數(shù) t 得直線(xiàn) l 的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化方法求曲線(xiàn) C 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）求出 M， P 的直角坐標(biāo)，即可求 |PM|的值． 【解答】 解：（ 1）已知直線(xiàn) l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)），普通方程為 y= +3， 曲線(xiàn) C 的極坐標(biāo)方程是 ρcos2θ=4sinθ，化為 ρ2cos2θ=4ρsinθ， ∴ x2=4y． … （ 2）由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消去 y 得 x2﹣ 4 x﹣ 12=0… 設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），則 AB 的中點(diǎn) M（ 2 ， 9） … 又點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)為（ 2 ， 6）， … 所以 |PM|=3… D． [選修 45：不等式選講 ]（本小題滿(mǎn)分 0 分） 24．若實(shí)數(shù) x， y， z 滿(mǎn)足 4x+3y+12z=1，求 x2+y2+z2的最小值． 【考點(diǎn)】 RA：二維形式的柯西不等式． 【分析】 利用條件 x+2y+3z=1，構(gòu)造柯西不等式（ 4x+3y+12z） 2≤ （ x2+y2+z2）（ 42+32+122），變形即可得答案． 【解答】 解：根據(jù)題意，實(shí)數(shù) x， y， z 滿(mǎn)足 4x+3y+12z=1， 則有（ 4x+3y+12z） 2≤ （ x2+y2+z2）（ 42+32+122）， 即 1≤ 169（ x2+y2+z2）， 即有 x2+y2+z2≥ ； 即 x2+y2+z2的最小值為 ； 故答案為： ． [必做題 ]第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計(jì) 20 分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 25．底面是正方形的四棱錐中 P﹣ ABCD 中，側(cè)面 PAD⊥ 底面 ABCD，且 △ PAD是等腰直角三角形，其中 PA=PD， E， F 分別為線(xiàn)段 PC， DB 的中點(diǎn)，問(wèn)在線(xiàn)段AB 上是否存在點(diǎn) G，使得二面角 C﹣ PD﹣ G 的余弦值為 ，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) G 的位置；若 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 MT：二面角的平面角及求法． 【分析】 取 AD 中點(diǎn) O，連結(jié) PO，以 O 為原點(diǎn)， OA 為 x 軸，在平面 ABCD 中過(guò) O 作 AD 的垂線(xiàn)為 y 軸，以 OP 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出在線(xiàn)段 AB 上存在點(diǎn) G，使得二面角 C﹣ PD﹣ G 的余弦值為 ，且 AG= ． 【解答】 解：假設(shè)在線(xiàn)段 AB 上存在點(diǎn) G，使得二面角 C﹣ PD﹣ G 的余弦值為 ． 取 AD 中點(diǎn) O，連結(jié) PO， ∵ 底面是正方形的四棱錐中 P﹣ ABCD 中，側(cè)面 PAD⊥ 底面 ABCD，且 △ PAD是等腰直角三角形，其中 PA=PD， ∴ PO⊥ 平面 ABCD， 以 O 為原點(diǎn)， OA 為 x 軸，在平面 ABCD 中過(guò) O 作 AD 的垂線(xiàn)為 y 軸，以 OP為 z 軸， 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) PA=PD= ， 則 G（ 1， t， 0）（ 0≤ t≤ 2）， C（﹣ 1， 2， 0）， P（ 0， 0， ）， D（﹣ 1， 0， 0）， =（﹣ 1， 0，﹣ ）， =（﹣ 1， 2，﹣ ）， =（ 1， t，﹣ ）， 設(shè)平面 PCD 的法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 x= ，得 =（ ， 0，﹣ 1）， 設(shè)平面 PDG 的法向量 =（ a， b， c）， 則 ，取 a= ，得 =（ ，﹣ ，﹣ 1）， ∵ 二面角 C﹣ PD﹣ G 的余弦值為 ， ∴ = = ， 解得 t= ， ∴ 在線(xiàn)段 AB 上存在點(diǎn) G，使得二面角 C﹣ PD﹣ G 的余弦值為 ，且 AG= ． 26．設(shè) i 為虛數(shù)單位， n 為正整數(shù)， θ∈ [0， 2π）． （ 1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（ cosθ+isinθ） n=cosnθ+isinnθ； （ 2）已知