【正文】 426 baAhabhaAu ???? ???? .))2s i n h ()2c o s h ()c o s h ()( s i n h ( ))2s i n h ()2c o s h ()c o s h ()( s i n h (12 )4()( 221221244224215 ???? ??????? ??? ??????? b aAha bhaAu 13 .)(s in h12 )4()( 24 244 224221 ???? h Aha bhaAu ???? .))2s in h ()23s in h (()2(s in h12)4()(2220244224222 ????????????aAhabhaAu ).2(t a n h12 )4()( 22222244224227 ???? b aAha bhaAu ???? .)2(s in h412 )4()( 24 244 224237 ???? h Aha bhaAu ???? .))c os h ()( s in h (12 )4()( 224 23244 224249 ????? ????? b aAha bhaAu 若令 , 21 ikbika ?? 其中 1i??， 12,kk為非零實數(shù)，則可將上述孤立波解分別化為如下的三角函數(shù)周期解： 422 1 2 2 23 421 4 4 1 2( 4 )( ) .1 2 c o s ( )A k h k Au k h h k x k t?? ? ??? ?? ? .)(t a n12 )4()( 222122024412224125 ? ?????? b tkxkaAhk khkAu ??? .)2(t a n12 )4()( 202122024412224126 btkxkaAhkkhkAu ????????? .)(s in12 )4()(2124244122241221 tkxkh Ahk khkAu ?????? ??? .))2s in ()2 )(3s in (()2s in (12)4()(221212120244122241222 tkxktkxktkxkaAhkkhkAu?????????? ??? .))(2(t a n12 )4()( 2221222244122241227 b tkxkaAhk khkAu ?????? ??? .))(2(s in 412 )4()(2124244122241237 tkxkh Ahk khkAu ?????? ??? 第二章 Benjamin Ono 方程的精確解 14 .))c o s ()s in ((12 )4()( 221212423244122241249 tkxktkxkib aAhk khkAu ???????? ???利 用 Maple 軟件將幾個典型波形圖繪制如下 : 圖 (a)孤立尖波 圖 (b)光滑的孤立波 圖 (c)緊孤波 圖 (d)孤立波 圖 (e)周期波 圖 (f)周期波 15 圖 (g)周期爆破波 圖 (h)周期波 圖 (i)周期爆破波 對上述波形圖進(jìn)行分析： 圖 (a)孤立尖波解 1 2 2 4 2 1 2( ) : 3 , 6 , 4 , 6 , 6 , 1 , 8 , 1 ,u A a b h h a b b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 , 9 9。 FExp method。 Generalized Riccati equation。 FExp 方法 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） ABSTRACT Using the bination of Fexpansion method and the exponential function method , the help of Maple software, to find the (1+1)dimensional Benjamin Ono equation of a large number of new exact solutions, which include solitary wave solutions and triangular function periodic wave solutions. Keywords: Fexpansion method。廣義 Riccati 方程 。2020 年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計） 利用 FEXP 方法求 (1+1)維 Benjamin Ono 方程的精確解 院 － 系 : 數(shù)學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 專 業(yè) : 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級 : 2020 級 學(xué)生姓名 : 學(xué) 號 : 202005050115 導(dǎo)師及職稱 : 2020 年 5 月 2020 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate FEXP function Method for Solving Exact Solutions of Benjamin Ono Equation Department: College of Mathematics Major: Mathematics and Applied Mathematics Grade: 2020 Student’s Name: Li Caiyun Student No.:202005050115 Tutor: Ding Yumin（ Professor） Finished by May, 2020 畢業(yè)論文（設(shè)計）原創(chuàng)性聲明 本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計） 是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果 .據(jù)我所知 ,除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)溶外 ,本論文（設(shè)計）不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果 .對本論文（設(shè)計）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體 ,均已在文中作了明確說明并表示謝意 . 作者簽名 : 日期 : 2020 年 6 月 12 日 畢業(yè)論文（設(shè)計）授權(quán)使用說明 本論文（設(shè)計）作者完全了解紅河學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計）的規(guī)定 ,學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計）并向相關(guān)部門送交論文（設(shè)計）的電子版和紙質(zhì)版 .有權(quán)將論文（設(shè)計）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計）進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱 .學(xué)?？梢怨颊撐模ㄔO(shè)計）的全部或部分內(nèi)容 .保密的論文（設(shè)計）在解密后適用本規(guī)定 . 作者簽名 :李彩云 指導(dǎo)教師簽名 : 日期 : 2020 年 6 月 12 日 日期 : 李彩云 畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯委員會 (答辯小組 )成員名單 姓名 職稱 單位 備注 龍瑤 教授 數(shù)學(xué)學(xué)院 主席（組長） 丁玉敏 教授 數(shù)學(xué)學(xué)院 諶孫康 講師 數(shù)學(xué)學(xué)院 何應(yīng)輝 講師 數(shù)學(xué)學(xué)院 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 摘要 利用 F展開法與指數(shù)函數(shù)方法相結(jié)合并借助 Maple 軟件，求出了 (1+1)維Benjamin Ono 方程的大量的新的精確解，包括各種孤立波解和三角函數(shù)周期波解 . 關(guān)鍵 詞 : F 展開法 。Exp 函數(shù)方法 。 (1+1)維 Benjamin Ono 方程 。 EXPfunction method。 (1+1)dimensional Benjamin Ono equation。 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 目 錄 第一章 引言 ......................................................... 1 第二章 Benjamin Ono 方程 的精確解 .................................... 2 FEXP 函數(shù)法的 基本思想 ...................................... 2 廣義 Riccati 方程的精確解 .................................... 2 Benjamin Ono 方程的求解及對解的變換和分析 .................. 10 Benjamin Ono 方程的一般解 ............................. 10 Benjamin Ono 方程的精確解 ............................ 11 第三章 結(jié)論 ........................................................ 16 參考文獻(xiàn) ........................................................... 17 致謝 ............................................................... 19 1 第一章 引言 隨著計算機代數(shù)理論的發(fā)展 ,許多復(fù)雜的代數(shù)計算可通過計算機來完成， 非線性數(shù)學(xué)物理方程精確解的構(gòu)造 成為了科學(xué)家的主要研究對象 .由于對非線性微分方程沒有統(tǒng)一的求解方法 ,因此近年來一些特殊的方法相繼被提出 .利用計算機代數(shù)理論開發(fā)的符號計算軟件如 Mathematica 和 Maple 等被廣泛應(yīng)用 , 在非線性發(fā)展方程方面， 為了求其精確解，研究人員 對力學(xué)及物理學(xué)中的一些重要方程進(jìn)行了系統(tǒng)深入的研究 . 在文獻(xiàn) [1]中，戴世強研究了具有自由面的 上部為 淺層的大深度分層流體中的代數(shù)孤立波，考察其垂向結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的本征值問題，給出了二維 Benjamin Ono 方程的一個解析解，并根據(jù)色散關(guān)系作了物理解釋 . 在文獻(xiàn) [2]中， 張領(lǐng)海 用 LeraySchauder不動點定理與積分先驗估計 ,研究一類帶奇異積分微分項的 Benjamin Ono 方程 的Cauchy 問題 ,證明了該問題整體弱解的 存在性 . 在文獻(xiàn) [3]中， 韓效宵 ,郝海龍 通過引入新的函數(shù)空間和采用一些特殊的技巧，對高階 Benjamin Ono 方程 在 ??x 時解的漸近行為做了比較深入細(xì)致的研究 . 在文獻(xiàn) [4]中 ， 張鴻慶 ,張玉鋒 利用屠格式求出了Benjamin 方程 的 Bcklund 變換、精確孤波解、非線性疊加公式及其無窮守恒律 .在文獻(xiàn) [5]中， jianpingWeng 研究了下列 (1+1)維 Benjamin Ono 方程 .0)( 2 ??? xxxxxxtt uuu ?? (11) 并 使用其次平衡思想 [6]和規(guī)則地混合指數(shù)函數(shù) [7]構(gòu)建試探解，從而獲得方程 (11)的一些解析解 .本文將 F展開法 [810]和 EXP函數(shù)方法 [1113]相結(jié)合 (簡稱 FEXP方法 [14])，再次研究方程 (11)，獲得了許多的新的精確解 . 第二章 Benjamin Ono 方程