【正文】 0, ???? uuuQ . (28) 步驟二 ：引進(jìn)新的獨立變量 , ?uYuX ?? 此時將常微分方程 (28)化為一階常微分方程組 ? ?, ,.XYY f X Y???? ??? (29) 如果在相同條件下能獲得 (29)的一個首次積分，則可直接獲得 它 的一般解．但 通常情況下，這是非常難實現(xiàn)的，因為對于一個給定的平面自治系統(tǒng)，既沒有一個系統(tǒng)的理論，也沒有一種 常規(guī) 方法來獲得它的一個首次積分．因此可以利用除法定理找到 (29)的一個首次積分，它可以將 (29)化成一階可積的常微分方程組，然后直接積分就可以得到原方程的精確解． 步驟 三 ：設(shè)首次積分為 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ,0, 0 ?? ??mi ii YXaYXq ???? (210)其中 ? ?? ?? ?miXa i ,2,1,0 ??? 是復(fù)數(shù)域 上 關(guān)于 X 的待定多項式．由除法定理知在復(fù)數(shù)域上存在多項式 ? ? ? ? ? ?YXXYXh ?? ??, 使得 ? ? ? ?? ? ? ?, YXqYXXddq ??? ?? (211)通過方程 (211)可以確定多項式 ? ? ? ? ? ?XXXai ?? , ，從而求出 ? ?YXq , 的表達(dá)式．在 通常情況下假設(shè) ? ? 0?Xai 如有 ? ? miXai ??? 0,0 ，與已知條件矛盾，直接考慮下一種情況．在文獻(xiàn) [18]中， 當(dāng) 2?m 時遇到 ? ? 0?Xai ，此時將所得結(jié)果紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 5 代 入 首次積分 ? ? 00 ???miii YXa ，依然得到了原方程的精確解．本文如遇到此種情況，借鑒了該方法． 步驟四：將 ? ? 00 ???miii YXa 代 入 方程組 ? ?X Y,Y f X, Y ,???? ??? ，求解常微分方程就可得到原方程 的精確解． 求解 Drinfel’dSokolovWilson 方程 6 Drinfel’dSokolovwilson方程 Drinfel’dSokolovwilson方程 考慮 Drinfel’dSokolovwilson 方程： 0, 0,txt xxx x xu vvv v u v u v?? ? ????? ? ? ? ?? (31) 假設(shè)方程組 (31)具有如下形式的行波解： ( , ) ( ) , ( , ) ( ) , ,u x t u v x t v x c t? ? ?? ? ? ? (32)將 (32)代入 (31)得到 0,cu vv???? ? ? (33) + u 0 .xc v v u v v? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? (34) (33)式對 ? 積分 一次，積分常數(shù)為 2R 得； 22 11 0 , + ,2 2 cRc u v R u vc??? ? ? ? ? (35)將 (35)代入 (34)得到方程組 (31)的等價方程 21( ) ( ) 0 ,2Rc v v v vcc? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? (36) 對（ 36）再對 ? 積分一次得，并令 2R =0 得到方程組（ 31）的等價方程 311 ( ) ( ) .32Rv c v vcc?? ? ?? ?? ??? ? ? ????? （ 37） 令 ,X v Y v???則方程 (36)等價于 31,1 ( ) ( ) .32XYRY c X Xcc? ?? ???? ???? ? ? ? ? ??? (38) 假設(shè) ? ?? ? ? ?? ??? YYXX ?? , 是方程組 (38 的 非 平凡解 ， ? ? ? ?? ???? YXq , ? ?? ? ? ?? ???mi ii YXa0 ?? 是 復(fù)數(shù)域 中不可約多項式 ，滿 足 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ,0, 0 ?? ??mi ii YXaYXq ???? (39) 其中 ? ?? ?? ?0 ,1, 2 , ,ia X i m? ? 是 關(guān)于 X 的待定多項式， 則 (39)稱為 (38)的首次積分． 下面就 1?m 和 2?m 兩種情況 進(jìn)行 討論． 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 7 情形一 設(shè) 1?m ，由 (39)得到 ? ? ? ? ,010 ?? YXaXa (310) 注意到 YXddq 和是?的多項式，并且 ? ? ? ?? ? 0, ??? YXq 必然有 d?? 根據(jù)除法定理，在復(fù)數(shù)域 中存在一個 多項式 ? ? ? ? ? ?,h X Y X X Y????使得 ? ? ? ? ? ? ? ?01 0,dq q dX q dY X X Y a X a X Yd X d Y d ??? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? (311)即 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?YYXaXaXXaYXXaYXXaXXa 0002110 ??????? ???? ? ? 311 1 ( ) ( ) ,32Ra X c X Xcc? ?? ?????? ? ? ????? 比較上式兩邊 Y 的各次冪 系數(shù)，得到 ? ? ? ? ? ?XXaXa ?10 ?? , (312) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?XXaXXaXa ?? 100 ??? , (313) ? ? ? ? ? ?31101 ( ) ( ) .32Ra X c X X a X Xcc? ?? ??????? ? ? ????? (314)由方程 (312)可 得 出 ? ?Xa1 是常數(shù)且 ? ? 0,X? ? 不失一般性 ， 可以 ? ? 1,1 ?Xa 從而方程 (313)、 (314)化為 ? ? ? ?,0 XXa ??? (315) ? ? ? ?31 01 ( ) ( ) .32Rc X X a X Xcc? ?? ??????? ? ? ????? (316) 平衡 ? ? ? ?XXa ?、0 的次數(shù)，可以得到 ? ?X? 的次數(shù)只能為 1，否則如果 ? ? 1,Xm?? ? ????? 由 方程 (315)推出 ? ?0 1,Xm?? ? ????? 方程 (316)推出 1m? 與1?m 矛盾 ．類似的如果 ? ?? ? 0?? X? 可以推出 ? ?0 1,X??????? 由方程 (316)推出矛盾． 設(shè) ? ? ,x Ax B? ??由方程 (315)得 ? ? ,2 20 DBXXAXa ??? (317) 求解 Drinfel’dSokolovWilson 方程 8 其中 D 是積分常數(shù)．將 ? ? ? ?XXa ?、0 代入方程 (315)并取 ? ?3,2,1,0?iX i 的系數(shù)為 零，得到 2 12=012 A D+ B = (c + ),3 0 ,2 = ( + ),32BDRcABAc??????????? ??? ???， (318) 解方程組 (318)，可得 21110 , ( ) , ( ) ,6RRB D c A cBA c c c?????? ? ? ? ? (319) 將 (319)代入 (310)式，得到方程組 (38)的 一個首 次積分 22 112A ( ) .2Y X c RcA ?????? ? ????? (320) 兩邊平方得 242 2 2 2 211221( ) ( ) .4A X AY c R X c Rcc????? ? ? ? ? （ 321） 利用輔助方程 2 42() ( ) ( )dF p F q F rd ? ????? ? ? ?????，通過查表 一，知，當(dāng) 2222122122,4( ) (1 ) ,1( ) 1 ,ApkAq c R kcr c Rc??????????? ? ? ? ????? ? ??? （ 322） 時， 即 2 2112 , ,cR cA k Rc?? ??? ? ? ? ， 方程（ 31）的解為 2 1v ( ) n s ( , k ) ,Ru ( ) n s ( , k ) ,2 c c??????? ???? （ 323） 當(dāng) 1k? 時，解（ 323）變?yōu)? 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 9 2 1v ( ) ta n ( ) ,Ru ( ) ta n ( ) ,2 c c??????? ???? （ 324）當(dāng) 0k? 時，解（ 323）變?yōu)? 2 1v ( ) s in ( ) ,Ru ( ) s in ( ) .2 c c??????? ???? （ 325） 當(dāng) 22212 2 21221,4( ) 2 ,1( ) 1 ,ApAq c R kcr c R kc?????? ? ????? ? ? ????? ? ? ??? （ 326）即 2 21122 , ,1cR cA i Rck ?? ??? ? ??， 方程（ 31）的解為 2 1v ( ) d n ( , k ) ,Ru ( ) d n ( , k ) ,2 c c??????? ???? （ 327） 且當(dāng) 1k? 時，解（ 327）變?yōu)? 2 1v ( ) s e c h ( ) ,Ru ( ) s e c h ( ) ,2 c c??????? ???? （ 328） 當(dāng) 22212 2 21221,4( ) (1 ) ,1( ) ,ApAq c R kcr c R kc??????????? ? ? ? ?