【正文】 5 0 . 6 0 . 6 0 . 5 0 . 4一階差分比率 —— —— S1 = S2 = S3 = B= A= K=y t= y2023= t 某商品社會(huì)總需求量解 第一步，選擇模型： ，初步確定選用 修正指數(shù)曲線模型； ，進(jìn)一步驗(yàn)證 選用 修正指數(shù)曲線模型。 ? 設(shè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)為 yt, t=0,1,2,?,3n 1，如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不是 3的倍數(shù)，可刪除起始的一項(xiàng)或二項(xiàng)，使其成為 3的倍數(shù)。 第二步，估計(jì)模型參數(shù) 按公式算得 從而有 ?????????????????69982619871611098070682872..?..?ttlnyTatlnytb87651469982 .A? .? ??? ee a于是所求指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型為： tttbt eey ( )876514876514 10980 ..A?? .? ???第三步，預(yù)測(cè) 1999年 自行車的產(chǎn)量 ： )(132876514 710 980 萬(wàn)輛..? . ?? ?ey t （三）修正指數(shù)曲線模型的 參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用 ? 對(duì)于 修正指數(shù)曲線模型 yt=K+ABt，一般要求 0＜ B＜ 1，所以當(dāng) t→+∞ 時(shí)， yt→K ，即 修正指數(shù)曲線以 y=K為其水平漸近線， K也稱其極限水平。其中， TlnyTYTatlnytttYbtttt??????????????????11??22于是 ,A? ?ae?從而求得指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型為： tbt ey ?A?? ? ☆ 例 48 某 自行車廠近幾年自行車的產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表 4－ 7所列，試預(yù)測(cè)該廠 1999年的產(chǎn)量 。 （二）指數(shù)曲線模型的 參數(shù)估計(jì) 及應(yīng)用 ? 對(duì)指數(shù)曲線模型 yt＝ Aebt作線性變換 : ? 先 取對(duì)數(shù) ，有 lnyt=lnA+bt ? 再令 Yt=lnyt ， a=lnA ? 則有 Yt=a+bt ? 仍然約定 ∑ t=0，則有 ☆ 例 48 某 自行車廠近幾年自行車的產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表 4－ 7所列，試預(yù)測(cè)該廠 1999年的產(chǎn)量 。 對(duì)于修正指數(shù)曲線，其一階差分比率＝ B (常數(shù)）。 差分法 對(duì)于 指數(shù)曲線，其一階差比率（也稱環(huán)比速度）： yt/yt1=eb(常數(shù)）。其中， TyTattybtt????????????,1??2年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 t值 4 3 2 1 0 1 2 3 4 工業(yè)總產(chǎn)值 yt 一階差分▽ yt － 三、 指數(shù)曲線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型 及應(yīng)用 ? 常見(jiàn)的 指數(shù)曲線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型有： ? : ? : btt Aey ?? tt ABK ???（一）模型 的選擇 上述兩種 指數(shù)曲線模型可以通過(guò)描述時(shí)間序列的散點(diǎn)圖來(lái)識(shí)別。因此可以配一元線性時(shí)間回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。 ? 表 46 某 市工業(yè)總產(chǎn)值資料 （ 單位：億元 ） ☆ 解： 若畫(huà)出散點(diǎn)圖 (略 )，可以看出，本例的時(shí)間序列有明顯的線性趨勢(shì)。 因此只要保持 t的等間隔性及先后次序 ， 就可以給 t賦以任何數(shù)值 。 ? 記直線模型為 btay t ??? 也稱為一元線性時(shí)間回歸模型。 對(duì)于直線預(yù)測(cè)模型，其一階差分 常數(shù)）()]1([ 110101 ?btbbtbbyyy ttt ????????? ?對(duì) 拋物線預(yù)測(cè)模型， 其二階差分 常數(shù)）(2 212 ?byyy ttt ?????? ?對(duì)三次 多項(xiàng)式預(yù)測(cè)模型， 其三階差分 常數(shù)）(!36 333 ?bby t ???K次 多項(xiàng)式預(yù)測(cè)模型的 k階差分 常數(shù)）(! ?ktk bky ??K次 多項(xiàng)式預(yù)測(cè)模型可令 tk=xk,化為 K元線性回歸模型。 ? 這種方法，我們將在后面結(jié)合具體模型詳加介紹。 ：就是先計(jì)算時(shí)間序列的向后差分，其定義為： ? 一階差分： ? 二階差分： ? k階差分： ? ：就是先計(jì)算時(shí)間序列的廣義差分，這里的廣義差分是指時(shí)間序列的倒數(shù)或?qū)?shù)的差分，以及相鄰項(xiàng)的比率或差分的比率。 rtkrrkrtktktktk yCyyyy ?????? ??????????01111 (1))(（二） 圖形識(shí)別法 ? 就是將時(shí)間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時(shí)間為橫軸，時(shí)間序列觀測(cè)值為縱軸的散點(diǎn)圖，并連城圓滑的曲線，然后觀察其大致走向，與已知各類函數(shù)曲線的圖形進(jìn)行比較，從中選擇較為適宜的數(shù)學(xué)模型。 ? （一） 經(jīng)驗(yàn)法 ? 就是預(yù)測(cè)者依據(jù)本人或?qū)＜壹w的經(jīng)驗(yàn)及專業(yè)知識(shí)來(lái)選擇確定模型。 一、趨勢(shì)模型的種類及其選擇 ? 常用的 趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)模型有： ? （一）多項(xiàng)式模型； ? （二）指數(shù)曲線模型； ? （三）生長(zhǎng)曲線模型 。如果通過(guò)對(duì)其時(shí)間序列的分析和計(jì)算，能找到一條比較合適 的 函數(shù)曲線來(lái)近似反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)變量 y關(guān)于時(shí)間 t的 變化規(guī)律和趨勢(shì) ， 即建立所謂趨勢(shì)模型 ： y＝ f（ t），那么，當(dāng)有理由相信這種規(guī)律和趨勢(shì)能夠延伸到未來(lái)時(shí) ，便可用此模型對(duì) 社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的未 來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，這就是 趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)法 。 167。如果時(shí)間序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)呈拋物線型，則可根據(jù) St(1)， St(2)和 St(3)建立如下二次多項(xiàng)式預(yù)測(cè)方程 : 2???? ??? tttt cbay ????仿照二次指數(shù)平滑法的推導(dǎo)方法 ， 可推得估計(jì)值公式 : ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? )2()1(2?])34()45(2)56[()1(2?33?321223212321ttttttttttttSSScSSSbSSSa?????????????????????初始平滑值 S0(1)， S0(2)和 S0(3)確定方法與二次指數(shù)平滑法基本相同。 ? 三次指數(shù)平滑就是對(duì)二次指數(shù)平滑值序列再作一次指數(shù)平滑處理，即 )()1( )3( 1)2()3( ???????? ttt SSS ??St(3) 稱為三次指數(shù)平滑值。 于是由公式算得： ? ? ? ? 22023020 ?????? SSa ? ? ? ? )( )(1? 22023020 ??????? SSb ??于是有線性預(yù)測(cè)方程 ： 利用此方程，分別取 τ ＝ 1和 τ ＝ 2，便可求得 1999年和 2023年該廠原料消耗量的預(yù)測(cè)值分別為 (萬(wàn)噸 ) 和 (萬(wàn)噸 ) 。 ? 例 45 某廠歷年來(lái)原料消耗量如表 45第 (3)欄所列，試用二次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)該廠 1999年、 2023年的原料消耗量。而 ? ? ? ?? ? ? ???????????)(1?2?2121ttttttSSbSSa?? ? 與一次指數(shù)平滑法一樣，二次指數(shù)平滑法也存在初始值的選取問(wèn)題。二次指數(shù)平滑值不能直接用作下期預(yù)測(cè)值，而是需要建立預(yù)測(cè)方程。 ? 為行文方便 ， 把一次指數(shù)平滑的式 ()改記為 )()1()1( 1)1( ???????? ttt SyS ??St(1)稱為第 t期的一次指數(shù)平滑值。 故應(yīng)選 α= ， 并預(yù)測(cè)甲廠第 8期總產(chǎn)值為 )(45954106090yα)(1αy 778 萬(wàn)元...?? ????????y乙廠總產(chǎn)值忽高忽低，波動(dòng)較大，長(zhǎng)期趨勢(shì)不明顯，宜選用較小的 α 值，計(jì)算結(jié)果也證明了這一點(diǎn)。 由于數(shù)據(jù)較少，初始預(yù)測(cè)值選前 3期觀測(cè)值的平均值。? ②均方標(biāo)準(zhǔn)差：①平均絕對(duì)誤差：? 例 4－ 4 甲 、 乙兩工廠的總產(chǎn)值如表 4－ 3所列 ， 試用一次指數(shù)平滑法分別預(yù)測(cè)這兩個(gè)工廠第 8期的總產(chǎn)值 。因?yàn)楫?dāng) t→∞ 時(shí)， (1α )t+1→ 0，所以當(dāng)數(shù)據(jù)很多時(shí)，初始預(yù)測(cè)值對(duì) t+1期 預(yù)測(cè)值的影響可以忽略，這時(shí)可選用首期數(shù)據(jù)為初始預(yù)測(cè)值；如果時(shí)間序列的數(shù)據(jù)較少，初始預(yù)測(cè)值對(duì)以后的預(yù)測(cè)值影響較大，一般以最初幾期觀測(cè)值的平均值作為初始預(yù)測(cè)值。 ? ⑸在不容易判斷時(shí)， 可選擇幾個(gè)不同的 α 值進(jìn)行試算，比較其預(yù)測(cè)誤差，最后以預(yù)測(cè)誤差最小的 α 值作為合適的平滑常數(shù)。實(shí)用中， α的選擇主要憑經(jīng)驗(yàn)，視具體情況而定。 ? 平滑常數(shù) α取值的大小，對(duì)預(yù)測(cè)效果有直接影響?？梢?jiàn)這一方法是“自適應(yīng)”的，它通過(guò)現(xiàn)期的預(yù)測(cè)誤差，自動(dòng)修正下一期的預(yù)測(cè)值，且通過(guò)平滑常數(shù) α 體現(xiàn)修正的幅度。即第 t+1期的預(yù)測(cè)值等于第 t期的預(yù)測(cè)值加上第 t期的預(yù)測(cè)誤差的 α 倍。 0102211 ?)1()1()1()1(? yyyyyy tttttt ???? ?????????? ???????? ? 其中， t=0， 1， 2， ? ， n。所以說(shuō)，它是加權(quán)移動(dòng)平均法的推廣。其中， 0＜ α ＜ 1，稱為平滑常數(shù)。它只適用于沒(méi)有明顯趨勢(shì)變化的時(shí)間序列。 2 指數(shù)平滑預(yù)測(cè)法 ? 指數(shù)平滑法是加權(quán)移動(dòng)平均法的進(jìn)一步發(fā)展和完善，它是由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家布朗（ Brown）于 1959年提出的。按公式計(jì)算的相關(guān)值列于表 4－ 2第 3～ 6列。 例 4－ 3 某建材商店玻璃銷售量如表 4－ 2所列，試預(yù)測(cè)該商店第 2年 2月份的銷售量 (取移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù) n=3)。 ? 把前面的一次移動(dòng)平均值記為 M t(1) ， 把二次移動(dòng)平均值記為 M t(2) ， 從而有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n MMMn MMMM ntttntttt 112 11 11 112 ????? ??????? ? 設(shè)時(shí)間序列｛ yt｝可表為時(shí)間 t的線性模型，即 yt=a+bt+ε t 式中， ε t為隨機(jī)項(xiàng)。 為了克服這一不足 ， 發(fā)展了線性二次移動(dòng)平均法 。結(jié)果見(jiàn) 表 4－ 1第 (4)欄。 加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)法的適用范圍及優(yōu)缺點(diǎn)與簡(jiǎn)單移動(dòng)平均預(yù)測(cè)法基本上是一樣的。 ? 表 4－ 1 某地 糧食產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)及預(yù)測(cè)表 P 5 5 . 例 1年份 產(chǎn)量 簡(jiǎn)單移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值 加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值1986 284521987 286311988 282731989 30477 28452 1990 33212 29127 1991 32056 30654 1992 32502 31915 1993 35450 32590 1994 38728 33336 1995 40732 35560 1996 37911 38303 1997 39151 39124 1998 40473 39265 1999 39178 88715613 72322269S 比較不同預(yù)測(cè)方法的優(yōu)劣，可以比較它們的預(yù)測(cè)均方標(biāo)準(zhǔn)差： ? ?? ?? 21 tt yyNS ? 二、 加權(quán)移動(dòng)平均法的原理及應(yīng)用 ? 考慮到近期的水平要比遠(yuǎn)期的水平對(duì)未來(lái)趨勢(shì)有更大的影響 ，可以采用加權(quán)移動(dòng)平均 的方式來(lái)計(jì)算移動(dòng)平均值 ， 即按距離預(yù)測(cè)期的遠(yuǎn)近 ， 給近期數(shù)據(jù)以較大的權(quán)數(shù) ， 而遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)給以較小的權(quán)數(shù) ， 這便是加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)法 。 簡(jiǎn)單移