【正文】 氣體分子則在空間作非均勻分布，即氣體分子數(shù)密度隨高度的增加按指數(shù)規(guī)律減?。?分子質(zhì)量越大，受重力的作用越大，分子數(shù)密度減小得越迅速； ?對(duì)于溫度較高的氣體，分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)劇烈。玻爾茲曼分子按能量分布律對(duì)所有可能的速度積分分子在坐標(biāo)間隔 x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz內(nèi)的分子數(shù)密度為 ：分子按勢能分布律?重力場中粒子按高度的分布 (ε p=mgh)?重力場中，一方面是無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)使氣體分子均勻分布于它們所能夠到達(dá)的空間?！?麥克斯韋速度分布函數(shù)三、玻爾茲曼能量分布律 等溫氣壓公式一、玻爾茲曼能量分布律問題：對(duì)于更一般的情形，如在外力場中的氣體分子的分布將如何？其指數(shù)僅包含分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能分子按速度的分布不受力場的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場的性質(zhì)。求粒子的方均根速率。由 N和 vo求常數(shù) C。 根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為 解例 3根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度 成反比 ( 設(shè) Δv 很小 )將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有例 4證金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，與容器中的氣體分子很類似。補(bǔ)充 :氣體分子按平動(dòng)動(dòng)能的分布規(guī)律麥克斯韋速率分布定律上式表明理想氣體在平衡態(tài)下，分子動(dòng)能在? ~? +?? 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。不同氣體，同一溫度vP與分子質(zhì)量 m的關(guān)系 :曲線的峰值左移 ,由于曲線下面積為 1不變，所以峰值升高。令 解得vp 隨 T 升高而增大，隨 m 增大而減小注：定義： 與 f(v)極大值相對(duì)應(yīng)的速率，稱為最概然速率。 .麥克斯韋 速率 分布曲線在 f(v)~v整個(gè)曲線下的面積為 1 歸一化條件。即 應(yīng)該具有速度的量綱，的確如此，正是一個(gè)具有統(tǒng)計(jì)特性的速率，后面知道，叫最可幾速率。這個(gè)球殼層的體積等于其內(nèi)壁的面積 4πv2乘以厚度 dv ： dω＝ 4πv2dv將 dω＝ dvxdvydvz代入麥克斯韋速率分布分布律麥克斯韋速率分布律 且：得：得記憶這個(gè)公式分三部分：第一部分， 4pv2dv是 “ 球殼 ” 的體積，而 “ 球殼 ” 全方位的高度對(duì)稱性正是分子熱運(yùn)動(dòng)想各個(gè)方向幾率均等的生動(dòng)表現(xiàn)；第二部分 ,正是分子熱運(yùn)動(dòng)速率取值不等幾率的表現(xiàn)，值得注意，這個(gè)指數(shù)衰減律的結(jié)果沒有單位， mv2/2是分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能， kT既有能量的量綱，所以指數(shù)衰減的指數(shù)部分是熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能與體系能量狀態(tài)特征量之比，對(duì)于大的速率，指數(shù)衰減的速度比 v2增加的速度快得多，二者共同影響的結(jié)果，分布函數(shù)值必然較小。因此，分子間的碰撞是使分子熱運(yùn)動(dòng)達(dá)到并保持確定分布的決定因素。 3） “ 具有某一速率的分子有多少 ” 是不恰當(dāng)?shù)恼f法f (v)是針對(duì) v附近單位速率間隔的，離開速率間隔來談分子數(shù)有多少就沒有意義了。2）統(tǒng)計(jì)規(guī)律表現(xiàn)出漲落所謂漲落就是對(duì)穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的偏差，統(tǒng)計(jì)規(guī)律必然伴隨著漲落。所以：1）少數(shù)分子談不上概率分布偶然事件少了，或分子數(shù)少了，就不能表現(xiàn)出穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)特性。l物理意義：速率在 v 附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。為此我們規(guī)定 ；速率分布函數(shù)定義：處于一定溫度下的氣體，分布在速率 v附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比只是速率 v的函數(shù)，稱為速率分布函數(shù)。容易想見，速率間隔越大， dN/N？? dN/N 是 v 的函數(shù)；?當(dāng)速率區(qū)間足夠小時(shí)（宏觀小，微觀大） ， dN/N還應(yīng)與區(qū)間大小成正比。 氣體分子的速率分布律l速率分布函數(shù)的定義：一定量的氣體分子總數(shù)為 N， dN表示速率分布在某區(qū)間 v~v+dv內(nèi)的分子數(shù)， dN/N表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。為此，我們引入速 率分布函數(shù)來描述分子熱運(yùn)動(dòng)在不同速率間隔取值的概率規(guī)律。比如，速率接近為 0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中速率的可能性則較大。由于分子受到頻繁的碰撞，每個(gè)分子熱運(yùn)動(dòng)的速率是變化的，要某一分子具有多大的運(yùn)動(dòng)速率沒有意義，所以只能估計(jì)在某個(gè)速率間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率； 2。速度是矢量，必須解決有關(guān)大小取值的概率問題。但是，總體上卻存在著確定的規(guī)律性。統(tǒng)計(jì)規(guī)律性分子運(yùn)動(dòng)論從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，研究大量分子組成的系統(tǒng)的熱性質(zhì)。?1873年，他的《電磁學(xué)通論》問世，這是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓時(shí)代的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》并駕齊驅(qū)，它是人類探索電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。經(jīng)典電磁理論的奠基人，氣體動(dòng)理論的創(chuàng)始人之一。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早是由 麥克斯韋 于 1859年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的， 1877年 玻耳茲曼 由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中導(dǎo)出， 1920年 斯特恩 從實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 3－ 1 麥克斯韋氣體速率分布律 對(duì)于由大量分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從微觀上加以研究時(shí)，必須用統(tǒng)計(jì)的方法 . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 小球在伽爾頓板中的分布規(guī)律 . 統(tǒng)計(jì)規(guī)律 當(dāng)小球數(shù) N 足夠大時(shí)小球的分布具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律 .設(shè) 為第 格中的粒子數(shù) . 概率 粒子在第 格中出現(xiàn)的可能性大小 .歸一化條件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 粒子總數(shù)引言：氣體分子處于無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，由于碰撞，每個(gè)分子的速度都在不斷地改變，所以在某一時(shí)刻，對(duì)某個(gè)分子來說，其速度的大小和方向完全是偶然的。所以，這是一個(gè)大數(shù)量偶然微觀運(yùn)動(dòng)的集體效應(yīng)的問題，既統(tǒng)計(jì)的問題，對(duì)應(yīng)的規(guī)律就是一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律。分子熱運(yùn)動(dòng)情況是分子物理的重要研究對(duì)象，我們必須討論速率大小取值的概率問題。第二章以分子運(yùn)動(dòng)論為基礎(chǔ)，認(rèn)識(shí)了壓強(qiáng)和溫度的微觀本質(zhì)，對(duì)平衡態(tài)下分子熱運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有了初步認(rèn)識(shí)，我們有一個(gè)基本的統(tǒng)計(jì)公理（假設(shè)）。 爾茲曼分布率 重力場中微粒按高度的分布167。 體分子的速率分布律167。故有代入：得：在溫度為 T時(shí)，氣體分子的方均根速率為由此可得 式中為 月球表面的重力加速度， 為月球的半徑。實(shí)驗(yàn)值 理論值P(atm) V P V () (P+a/V2)(Vb) ()1 100 500 700 900 1000 例題： 某種氣體在 時(shí)，氣體分子的方均根速率等于它在地球表面上的逃逸速率，（ 1） 求氣體的分子量，并確定它是什么氣體？（ 2） 若使該氣體分子的方均根速率等于它在月球表面上的逃逸速率，試求所需的溫度 。 43 二氧化碳 (CO2) 30 水蒸汽 (H2O) 32 氬 (Ar) 32 氧 (O2) 39 氮 (N2) 24 氦 (He) 27 氫 (H2) b /(10?6 m3?mol?1) a /(10?6 atm?m6?mol?2) 氣 體$實(shí)際氣體在很大范圍內(nèi)近似遵守范德瓦爾斯方程。對(duì)于一定種類的氣體，范德瓦耳斯常量都有確定的值；對(duì)不同種類的氣體，范德瓦耳斯常量也不同。式中常量 a和 b與 1 mol氣體的相同。這層氣體分子由于受到指向氣體內(nèi)部的力所產(chǎn)生的總效果相當(dāng)于一個(gè)指向內(nèi)部的壓強(qiáng)，叫內(nèi)壓強(qiáng) Pi。???s分子力修正l處于容器當(dāng)中的分子 ? 平衡態(tài)下，周圍的分子相對(duì)于 ?球?qū)ΨQ分布，它們對(duì) ?的引力平均說來相互抵消。 處于容器當(dāng)中的分子 ? 周圍的分子相對(duì) ?球?qū)ΨQ分布，對(duì) ?的引力相互抵消。Vm為氣體所占容積， Vmb為分子自由活動(dòng)空間d設(shè)想 ：對(duì)任意一個(gè)分子而言，與它發(fā)生引力作用的分子，都處于以該分子中心為球心、以分子力作用半徑 s 為半徑的球體內(nèi)。 實(shí)際氣體與范德瓦耳斯方程 (Real Gas and Van der Waals Equation一、實(shí)際氣體 (Real Gas)分子體積引起的修正1mol理想氣體的物態(tài)方程 pVm=RT若將分子視為剛球，則每個(gè)分子的自由活動(dòng)空間就不等于容器的體積，而應(yīng)從 Vm中減去一個(gè)修正值 b。有吸引力的剛球模型可簡化的認(rèn)為，當(dāng)兩個(gè)分子的中心距離達(dá)到某一值 d時(shí)，斥力變?yōu)闊o窮大，兩個(gè)分子不可能無限接近，這相當(dāng)于把分子設(shè)想為直徑為 d的剛球， d稱為 分子的有效直徑 。 分子力 (Molecular Force)假定分子之間相互作用力為有心力，可用半經(jīng)驗(yàn)公式表示 （ s?t)r ：兩個(gè)分子的中心距離?、 ?、 s、 t ：正數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。在分子運(yùn)動(dòng)論中，通常在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上采用簡化模型。因此三、分子的方均根速率(the Square Root of the Molecular Speeds)分子間的相互作用對(duì)氣體宏觀性質(zhì)的影響實(shí)際上，氣體分子是由電子和帶正電的原子核組成，它們之間存在著相互作用力，稱為分子力。二、基本方程的一些推論(Inference of the Basic Equations)阿伏伽德羅定律 (Avogadro39。也可以說，大量分子在任一時(shí)刻的平動(dòng)動(dòng)能雖各不相同，但所有分子的平均平動(dòng)動(dòng)能總是 3/2kT。對(duì)少數(shù)分子，沒有溫度概念。?粒子的平均熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能與粒子質(zhì)量無關(guān)，而僅與溫度有關(guān)處于平衡時(shí)的理想氣體，分子的平均動(dòng)能與溫度成正比。 (1) 由壓強(qiáng)公式 , 有例求 (1) 分子的平均平動(dòng)動(dòng)能； (2) 混合氣體的溫度解(2) 由理想氣體的狀態(tài)方程得 167。由這個(gè)基本公式可以滿意的解釋和推證許多實(shí)驗(yàn)定律。壓強(qiáng) （ 1） 的統(tǒng)計(jì)平均值（ 2）等幾率假設(shè) 三、討論 (Disscussion) 是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，不是力學(xué)規(guī)律 這個(gè)公式是無法用實(shí)驗(yàn)證明的， p是宏觀可測的壓強(qiáng)， n和 都是微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，無法測量。平衡態(tài)下，若忽略重力影響，則分子在容器中按位置的分布是均勻的。有dI為大量分子在 dt時(shí)間內(nèi)施加在器壁 dA面上的平均沖量。大量分子從總的效果上來看，產(chǎn)生一個(gè)持續(xù)的平均作用力。 分子之間及分子與器壁之間作完全彈性碰撞，沒有能量損失，氣體分子的動(dòng)能不因碰撞而損失。一：理想氣體的微觀模型：分子本身的線度與分子之間的距離相比可忽略不計(jì) ,視分子為沒有體積的質(zhì)點(diǎn)。 理想氣體的壓強(qiáng) (Ideal Gas Pressure)一、理想氣體的微觀模型(Microscopic Model of Ideal Gas)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)：氣體很容易被壓縮氣體分子可以到達(dá)它所能到達(dá)的任何空間。分子作永恒的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的劇烈程度與物體的溫度有關(guān)。 德瓦耳斯氣體的壓強(qiáng)167。 度的微觀解釋167。 167。三、道耳頓分壓定律 (Dalton39。因此，從理想氣體狀 態(tài) 方程可 見 ，當(dāng)夜晚溫度 T降低后，充氣橡皮艇體積 V便 縮 小。，艇浸入水中一定的深度，到夜晚大氣 壓 強(qiáng) 不 變 ，溫度降低了， 問 艇浸入水中的深度將怎樣變 化？答：人和艇的重量即 為 艇所排開水的重量。假定 M為空氣的平均摩爾質(zhì)量，對(duì)一定體積 V來說，當(dāng)壓強(qiáng) P不變時(shí)，溫度越低，則 m越大。簡單熱力學(xué)系統(tǒng)物態(tài)方程的一般形式 :三個(gè)氣體實(shí)驗(yàn)定律：玻意耳 — 馬略特定律蓋 思考題二、理想氣體溫標(biāo) (Idealgas Temperature Scale)定容氣體溫標(biāo) 測溫物質(zhì)：氣體測溫屬性：氣體壓強(qiáng)