線性系統(tǒng)理論第一章3：齊次方程的解-文庫吧資料
2024-10-08 19:42本頁面
【正文】 的脈沖響應(yīng)矩陣。 0000( , )( ) ( , )( , ) ( 1 52)ΦA(chǔ) ΦΦ I???d t tt t tdttt? ? 00( ) ,x Φ xt t t? （ 1－ 53） 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念 ， 可以立即得到齊次方程（ 1－ 50） 在初始條件 下的解為 00()xx?t 由 （ 1－ 51） 式可以證明 是下列矩陣微分方程的唯一解 ? ?0,Φ tt事實上， x(t)總可以表示為 ( ) ( ) 0x Ψ α , αtt??特別， 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )1x Ψ α α Ψ xt t t t? ? ?0()()tt ?=AEYYY 可看作一個線性變換 ， 它將 t0時的狀態(tài) x0映射到時刻 t 的狀態(tài) x(t)。 ()t?定義 1— 9 令 是（ 1— 50）的任一基本矩陣，則 ? ? 100, ( ) ( )Φ Ψ Ψt t t t??稱為 (1— 50)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 。 ( , )?? ??1( ) 0 ,niiia t t???? Y這與基本矩陣 (線形無關(guān)）的定義相矛盾。若不然，設(shè)有 t0， 使得基本矩陣 為奇異陣。 根據(jù)定理 12，基本矩陣具有如下性質(zhì)： 定理 1— 3 方程（ 1— 50）的基本矩陣對于 中的每一個 t 均為非奇異矩陣。?YY事實上，令 1( ) ( )niiit a t?? ?? Y將其代入方程 ，有 ()tx = A x111( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ) ( ) ( )nniiiiiiniiit a t a t tt a t t t????????????Y A YA Y A0()( ) ( 1 5 1 )tt ?=AEYYY其中 E為某個非奇異常量矩陣。 1212 nna a a? ? ? ?e e e eY 0()Y ? et 令 是方程（ 1— 50）滿足初條件 的任一解， e 顯然可唯一地用 的線性組合表示 : 12, , ,e e e n1()Yniiiat??容易驗證， 是方程（ 1— 50）滿足初值條件 011()Ynniiiiiia t a?????? ee的解。 12( ) , ( ) , ( )nt t tY Y Y 現(xiàn)在證明（ 1— 50）的任一解均可表成它們的線性組合 。 12, , ,Y Y Y n是個 n個線性無關(guān)的向量， 12, , ,e e e n設(shè) 12[ ] 0Y Y Y an t?? 現(xiàn)在用反證法。 也就是說，它的解向量的全體可以張成實數(shù)域上的 n 維空間。稱 是微分方程 (150)的一個解，系指： n()tY( ) ( ) ( )t t t? AYY定理 1— 2 方程（ 1— 50）的所有解的集合，組成了實數(shù)域上的 n維向量空間。 00( ) ( ) , ( ), ( ) ( ( ) ) ( 1 )n i j n nt t tt a t ???? Ax = A x + f x xx , f R A( , )?? ?? 0 ( , )? ?? ??t( , )?? ??上的解 x=x(t)， 滿足初值條件 00( ) ( 2 )x x A?t并且方程 (A1)也 只能有一個解 滿足 (A2)。預(yù)備定理 （解的存在和唯一性）設(shè) A及 f的每
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