【正文】 常為了簡(jiǎn)化 LMS 算法的統(tǒng)計(jì)分析，往往假設(shè)算法連續(xù)迭代之間存在以下的充分條件： 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 17 （ 1）每個(gè)輸入信號(hào)樣本矢量 )(xn 與過(guò)去全部樣本矢量 )(xk 1,1,0, ?? nk ? ，是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。但是，由于 LMS 算法采用梯度矢量的瞬時(shí)估計(jì)，它有大的方差 ，以至 不能獲得最優(yōu)濾波性能 [13]。 )(nx ? )(ne )(nd??? )( nHx)1( ?nw )w n(I I1?z 圖 31 自適應(yīng) LMS算法信號(hào)流圖 （ 1）由現(xiàn)在時(shí)刻 n 的濾波器濾波系數(shù)矢量估值 )(w?n ，輸入信號(hào)矢量 )(xn 以及期望信號(hào) )(nd ，計(jì)算誤差信號(hào)： )(w?)(x)()( nnndne H?? (34) （ 2） 利用遞歸法計(jì)算濾波器系數(shù)矢量的更新估值： )(x)()(w?)1(w? nnenn ???? (35) （ 3）將時(shí)間指數(shù) n 增加 1，回到步驟 (1)，重復(fù)上述計(jì)算步驟，一直到達(dá)穩(wěn)態(tài)為止。所以，按照自適應(yīng)濾波器濾波系數(shù)矢量的變化與梯度矢量估計(jì)的方向之間的關(guān)系，可以寫(xiě)出 LMS 算法的公式如下： )](?[21)(w?)1(w? nnn ????? ? )(x)()(w? nnen ??? (32) 如果式 (21)與式 (22)代入到上式中，則可得到 基于 LMS 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 16 )()(x)(w?)](x)(xI[ )(x)(w?)()[(x)(w?)1(w? ndnnnn nnndnnn HH?? ? ??? ???? (33) 由上式可以得到自適應(yīng) LMS 算法的信號(hào)流圖，這是一個(gè)具有反饋形式的模型，如圖 31 所示。這是一種用瞬時(shí)值估計(jì)梯度矢量的方法，即 )(x)(2)(w)]([)(? 2nnennen?????? (31) 實(shí)際上， )(?n? 只是單個(gè)平方誤差 序列的梯度，而 )(n? 則是多個(gè)平方誤差 。換句話說(shuō)，自適應(yīng)濾波器的權(quán)矢量是根據(jù)輸入數(shù)據(jù)在最 優(yōu)準(zhǔn)則的控制下不斷更新的。因?yàn)檫@需要具有關(guān)于自相關(guān)矩陣 R 和互相關(guān)矢量 P 的先驗(yàn)知識(shí)。 基本最小均方算法 在最陡下降法中，如果我們能夠在迭代過(guò)程的每一步得到梯度 )(n? 的準(zhǔn)確值，并且適當(dāng)?shù)剡x擇了收斂因子 ? ，則最陡下降法肯定會(huì)收斂于最佳維納解。但是最陡下降算法的主要限制是它需要準(zhǔn)確測(cè)得每次迭代的梯度矢量，這妨礙了它的應(yīng)用。第三部分介紹了數(shù)字信號(hào)處理中濾波器的基本結(jié)構(gòu)。本章首先從維納最優(yōu)濾波器開(kāi)始介紹，介紹了維納最優(yōu)濾波的基本思想。由于 FIR 濾基于 LMS 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 14 波器橫向結(jié)構(gòu)的算法具有容易實(shí)現(xiàn)和計(jì)算量少等優(yōu)點(diǎn) ,在對(duì)線性相位要求不嚴(yán)格、收斂速度不是很快的場(chǎng)合 ,多采用 FIR 作為自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu) [11]。圖 23 所示 為一種橫式結(jié)構(gòu)，權(quán)系數(shù)與濾波器輸出是線性關(guān)系，此結(jié)構(gòu)在自適應(yīng)濾波器中應(yīng)用普遍。如果濾波器的結(jié)構(gòu)合理，這個(gè)函數(shù)就簡(jiǎn)單，否則函數(shù)就會(huì)變得復(fù)雜。同時(shí)， FIR 和 IIR 又有多種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如橫向結(jié)構(gòu)濾波器、格式結(jié)構(gòu)濾波器、級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)濾波器、并聯(lián)結(jié)構(gòu)濾波器等 [10]。 自 適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu) 自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)有 FIR(Finite duration Impulse Response)和 IIR(Infinite duration Impulse Response)兩種。它的穩(wěn)定性能取決于兩個(gè)因素： (1)自適應(yīng)步長(zhǎng)參數(shù) ? ； (2)輸入信號(hào)矢量 )(xn 的自相關(guān)矩陣 R 。(wP[)(w)1(w ????? nnRnn ? (212) 上式是描述最陡下降法的數(shù)學(xué)公式，由此可得到信號(hào)流圖，如圖 25 所示，式 (212)右邊可以整理寫(xiě)成 )(w)I( nR?? 項(xiàng)加上 P? ，這里 I 是 MM? 單位矩陣，而濾波系數(shù)矢量 )(wn 可以為由 )1(w ?n 經(jīng)過(guò)單位延時(shí)算子 1?z 得到的，即)]1(w[)(w 1 ?? ? nzn 。在最陡下降算法中，當(dāng)相關(guān)矩陣 R 與互相關(guān)矢量 P 已知時(shí)，吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 13 則由濾波系數(shù)矢量 )(wn 可以計(jì)算梯度矢量 )(n? 。在此情況下，誤差或輸入信號(hào)都具有零均值，它們的正交 性質(zhì)內(nèi) ，含 著互不相關(guān)的意思。有式 (28)得到 0)](x)([ ?nneE (29) 或 1,1,0。按照最陡下降法調(diào)節(jié)濾波系數(shù)，則在 1?n 時(shí)刻的濾波系數(shù)或權(quán)矢量 )1( ?nw 可以用下列簡(jiǎn)單遞歸關(guān)系來(lái)計(jì)算； )]([21)(w)1(w nnn ????? ? (27) 基于 LMS 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 12 式中， ? 是一個(gè)正實(shí)常數(shù)，通常稱它為自適應(yīng)收斂系數(shù)或步長(zhǎng) ，用于調(diào)整自適應(yīng)迭代的步長(zhǎng)。 最陡下降法是利用梯度信息分析自適應(yīng)濾波性能和跟蹤最佳濾波狀態(tài)，自適應(yīng)過(guò)程是在梯度矢量的負(fù)方向接連地矯正濾波系數(shù)的，即在誤差性能曲面的最陡下降方向移動(dòng)和逐步校正濾波系數(shù)，最終到達(dá)均方誤差為最小的碗底最小點(diǎn)，獲得最佳濾波或準(zhǔn)優(yōu)工作狀態(tài)。當(dāng)濾波器工作在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的環(huán)境下，這個(gè)誤差性能曲面就具有固定邊緣的恒定形狀?，F(xiàn)在我們將式 (25)對(duì) w 求導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，同時(shí)假設(shè) R 是非奇異的，由此可得到目標(biāo)函數(shù)最小的最佳濾波系數(shù) 0w 為 Pw 10 ??R (26) 這個(gè)解稱為維納解，即最佳濾波器系數(shù)值。 由式 (25)可見(jiàn)，自適應(yīng)濾波器的目標(biāo)函數(shù) )(n? 是延遲線抽頭系數(shù) (加權(quán)或?yàn)V波系數(shù) )的二次函數(shù)。利用圖 23 中輸出信號(hào)與期望信號(hào) )(nd 的關(guān)系，誤差序列 )(ne 可以寫(xiě)成 )()()( nyndne ?? (22) 顯然，自適應(yīng)濾波器 控制機(jī)理是用誤差序列 )(ne 按照某種準(zhǔn)則和算法對(duì)其系數(shù) Minwi ,2,1|,)(| ?? 進(jìn)行調(diào)節(jié)的，最終使自適應(yīng)濾波的目標(biāo) (代價(jià) )函數(shù)最小化，達(dá)到最佳濾波狀態(tài)。這個(gè)過(guò)程首先自動(dòng)調(diào)節(jié)濾波器系數(shù)的自 適應(yīng)訓(xùn)練步驟，然后利用濾波系數(shù)加權(quán)延遲線抽頭上的信號(hào)來(lái)產(chǎn)生輸出信號(hào)，將輸出信號(hào)與期望信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，所得的誤差值通過(guò)一定的自適應(yīng)控制算法再用來(lái)調(diào)整權(quán)值，以保證濾波器處在最佳狀態(tài)，達(dá)到實(shí)現(xiàn)濾波的目的。 圖 23 所示為自適應(yīng)橫向?yàn)V波器的結(jié)構(gòu)及其功能： (1)具有可調(diào)節(jié)抽頭權(quán)系數(shù)的橫向?yàn)V波器，權(quán)系數(shù) )(1nw ， )(2nw ， … )(nwM 表示在 n 時(shí)刻的值。 線 性 離 散 時(shí) 間 濾 波 器 w 0 ， w 1 ， w 2 . . .Σ輸 入 ： u （ 0 ） ，u （ 1 ） . . .輸 出 ：y ( n )輸 出 響 應(yīng) ： d （ n ）估 計(jì) 誤差 ： e ( n ) 圖 22 線性離散時(shí)間濾波器框圖 這里，濾波器需要兩個(gè)約束條件： 1)濾波器是線性的，使得數(shù)學(xué)分析容易進(jìn)行； 2)濾波器是離散時(shí)間的，使得它可用于數(shù)字硬件或者軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)。ne為估值誤差，用期望響應(yīng)d與濾波器輸出)(ny之差表示。在離散時(shí)刻n，濾波器輸出為)(ny。 線性離散時(shí)間濾波器的方框圖如圖 22。 維納濾波器 維納濾波器根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的全部過(guò)去和當(dāng)前的觀察數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值，在最小均方差的條件下得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。自適應(yīng)濾波技術(shù)其實(shí)是一種能調(diào)節(jié)自身傳輸特性以達(dá)到最優(yōu)化的維納濾波器，其不需要輸入信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，因而得到了廣泛的應(yīng)用。然吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 9 而，這兩種濾波器都有一個(gè)前提條件：信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性先驗(yàn)已知。對(duì)于上述兩類自適應(yīng)濾波器，還可以根據(jù)不同的濾波原理和算法，分為結(jié)構(gòu)不同的自適應(yīng)濾波器，它們的濾波性能也不完全相同 [8]。 離 散 時(shí) 間 線 性 系 統(tǒng)自 適 應(yīng) 算 法?x ( n )d ( n )y ( n )+d ( n )e ( n ) 圖 21 自適應(yīng)濾波器原理方框圖 在圖 21 中，離散時(shí)間線性系統(tǒng)可以分為兩類基本結(jié)構(gòu)，其中一 類為非遞歸型橫向結(jié)構(gòu)的數(shù)字濾波器，它具有有限的記憶，因而稱之為有限沖激響應(yīng)（ FIR）系統(tǒng)，即自適應(yīng) FIR 數(shù)字濾波器。通常，自適應(yīng)濾波器是線性的，因而也是一種線性移變?yōu)V波器。因此，自適應(yīng)濾波器 與普通濾波器不同，它的沖激響應(yīng)或?yàn)V波參數(shù)是隨外部環(huán)境的變化而改變的 ， 經(jīng)過(guò)一段自動(dòng)調(diào)節(jié)的收斂時(shí)間達(dá)到最佳濾波器的要求。 基于 LMS 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 8 第 2 章 自適應(yīng)濾波原理 引言 圖 21 描述的是一個(gè)通用的自適應(yīng)濾波估計(jì)問(wèn)題，圖中離散時(shí)間線性系統(tǒng)表示一個(gè)可編程濾波器，它的沖激響應(yīng)為 )(nh ，或稱其為濾波參數(shù)；自適應(yīng)濾波器輸出信號(hào)為 )(ny ，所期望的響應(yīng)信號(hào)為 )(nd ，誤差信號(hào) )(ne 為 )(nd 與 )(ny 之差。 討論了基本最小均方算法的性能，和步長(zhǎng)因子對(duì)算法性能的影響。然后就 LMS 自適應(yīng)濾波器在系統(tǒng)辨識(shí)、噪聲抵消以及信號(hào)分離 這些應(yīng)用進(jìn)行 MATLAB 仿真和 分析。利用自適應(yīng)濾波器的吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 7 抗干擾性能和對(duì)信號(hào)的跟蹤能力，可以對(duì)數(shù)字載波傳輸中的 ASK、 FSK 等 信號(hào)進(jìn)行解調(diào)，取得比傳統(tǒng)的相干解調(diào)更理想的性能，亦利于數(shù)字化的發(fā)展。在通信領(lǐng)域，自適應(yīng)算法廣泛應(yīng)用于自適應(yīng)均衡、自適應(yīng)頻率跟蹤與檢測(cè)等方面。通過(guò)各種算法的應(yīng)用，使得自適應(yīng)信號(hào)處理技術(shù)在雷達(dá)、通信、圖像處理、生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域起到了極其重要的作用。自適應(yīng)濾波波研究經(jīng)歷了時(shí)域?yàn)V波、頻域?yàn)V波，發(fā)展到變頻域?yàn)V波，獲得了越來(lái)越優(yōu)越的濾波性能，并得到了廣泛的應(yīng)用。目前已有多 種 形式的正交策略，如 WalshHadamard 變換，Karhumenloeve 變換，離散 Fourier 變換和離散余弦變換等 [7]。 Narayan 等人針對(duì)輸入信號(hào)特征值分散度較大的情況，把頻域自適應(yīng)濾波進(jìn)一步擴(kuò)展，引出了變換 域自適應(yīng)濾波的概念，獲得了比時(shí)域自適應(yīng)濾波更好的收斂性。收斂速度與穩(wěn)態(tài)失調(diào)量噪聲是不可兼得的兩個(gè)指標(biāo)。若 u 較小時(shí)，算法收斂速度慢，并且為得到滿意的結(jié)果需要很多的采樣數(shù)據(jù)，但穩(wěn)態(tài)失調(diào)誤差較小。在各種自適應(yīng)濾波中WidrowHoff 的 LMS 算法以其計(jì)算量小，穩(wěn)定性好且易于實(shí)現(xiàn)而得到廣泛應(yīng)用。但在實(shí)際中，往往難以預(yù)知這些統(tǒng)計(jì)特性，因此實(shí)現(xiàn)不了真正的最佳濾波 [6]。實(shí)際上，維納濾波器是卡爾曼濾波器的一個(gè)特例。到60 年代初，由于空間技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了卡爾曼濾波器理論 [5]，即利用狀態(tài)變量模型對(duì)非平穩(wěn)、多輸入多輸出隨機(jī)序列作最優(yōu)估計(jì)。這種濾波器能最大程度的濾除干擾信號(hào)，提取有用信號(hào)。 研究現(xiàn)狀 自適應(yīng)濾波器是近 30 年來(lái)發(fā)展起來(lái)的關(guān)于信號(hào)處理方法和技術(shù)的濾波器，其設(shè)計(jì)方法對(duì)濾波器的性能影響很大。仿真分析表明了自適應(yīng)濾波器能很好的濾除干擾，可應(yīng)用到很多實(shí)際領(lǐng)域。研究信號(hào)處理的重要性是 毋庸 質(zhì)疑的。 現(xiàn)代社會(huì)是一個(gè)信息社會(huì)，誰(shuí)掌握了信息，誰(shuí)就能占領(lǐng)科技的最高峰，誰(shuí)就能掌握國(guó)民經(jīng)濟(jì)的命脈。自適應(yīng)系統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域包括通信、雷達(dá)、聲納、地震學(xué)、導(dǎo)航系統(tǒng)、生物醫(yī)學(xué)電子學(xué) 與 工業(yè)控制等。而并行處理技術(shù)作為高速實(shí)時(shí)信號(hào)處理領(lǐng)域的主要技術(shù)，越來(lái)越受到重視。 自適應(yīng)濾波技術(shù)具有自適應(yīng)調(diào)節(jié)權(quán)值的優(yōu)點(diǎn)，能夠適應(yīng)相對(duì)復(fù)雜的信號(hào)環(huán)境，從而被廣泛地應(yīng)用于各種信號(hào)處理領(lǐng)域。自適應(yīng)濾波器的算法有很多，有 RLS（遞歸最小二乘法）和 LMS（最小均方算法 ） 等 [1]。 在一些無(wú)法預(yù)知信號(hào)和噪聲特性的場(chǎng)合 ， 無(wú)法使用具有固定濾波器系數(shù)的濾波器對(duì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波 ， 其惟一的解決辦法是引入自適應(yīng)濾波器。 然后就 LMS 自適應(yīng)濾波器在系統(tǒng)辨識(shí)、噪聲對(duì)消以及信號(hào)分離這些應(yīng)用進(jìn)行 MATLAB 仿真和分析。隨著研究的深入，發(fā)現(xiàn)利用自適應(yīng)濾 波器的 抗干擾性能和對(duì)信號(hào)的跟