【正文】 設(shè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 解 其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣分別為 試確定使離散時(shí)間線性系統(tǒng)能控、能觀測的采樣周期。 試判別其狀態(tài)能觀測性。 設(shè)離散系統(tǒng) G、 H為 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 38 若能夠根據(jù)在有限個(gè)采樣瞬間上測量到的 y(k)，即 y(0)， y(1)， … ， y(l–1)，可以唯一地確定出系統(tǒng)的 任意 初始狀態(tài) x(0)= x0， 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，或簡稱是能觀測的。有時(shí)并不需要對(duì)整個(gè) Qc陣檢驗(yàn)其秩，只需要從 Qc陣中 構(gòu)成一個(gè) n n陣檢驗(yàn)其秩，就可用于判斷狀態(tài)能控性。已知離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的 G、 h為 定理 對(duì)于 n階離散時(shí)間線性定常系統(tǒng) 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 37 從前三列可以看出 rank[Qc] = 3所以系統(tǒng)是能控的。即 2111222111c??????????????Q h Gh G h解 構(gòu)造能控性判別矩陣 顯然 rank[Qc]＝ 1 n，所以系統(tǒng)是不能控的。 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 35 離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 1k? 2( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 )u u u? ? ? ? ?x G x h G x G h h0 1 03 2 ( 0) 0 ( 1 )3 1 1uu? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?若令 x(2)=0，仍無法解出 u(0)、 u(1)，再遞推一步。 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 34 離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 0111???????????x0 ( 1 ) (0 ) (0 )ku? ? ?x G x h1 1 1 1 0 1 01 0 2 1 0 ( 0) 1 0 ( 0)1 0 1 1 1 2 1uu?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?例 若上例系統(tǒng)初始狀態(tài)為 解 由遞推公式，有 顯然，對(duì)于上式若令 x(1)=0，解不出 u(0)，這說明對(duì)于本例初始狀態(tài)是不能在第一步轉(zhuǎn)移到零，再遞推一步。 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 33 離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 0 ( 1 ) (0 ) (0 )ku? ? ?x G x h1 1 1 2 0 0 01 0 2 1 0 ( 0) 0 0 ( 0)1 0 1 1 1 3 1uu?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(0 ) 3 0 (0 ) 3uu????解 利用遞推方法 為檢驗(yàn)系統(tǒng)能否在第一步使 x(0)轉(zhuǎn)移到零，對(duì)上式令 x(1)=0， 倘若能夠解出 u(0)，則表示在第一步就可以把給定初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到零，且控制作用即為 u(0)。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 12l?????????JJAJ00? ?lCCCC ~~~~ ?21?相同特征值下的約當(dāng)塊 Ji 對(duì)應(yīng)的 的首列線性無關(guān)。 定理 若 n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) Σ(A, C)具有 互異 的 重特征值，則系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是經(jīng)線性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 )~,~( CA?? ?lCCCC ~~~~ ?21?現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 31 定理 （附） 若系統(tǒng) Σ(A, B)具有 相同 的 重特征值，則系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀測的充要條件是經(jīng)線性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 例 試判斷以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。 C例 試判斷下面兩個(gè)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性。 (2) 能觀測判別準(zhǔn)則二 定理 若 n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) Σ(A, C)具有 互異 的特征值，則其狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形 陣中不含有元素全為零的列。 rank[Qo] = rank[QToQo] |QToQo |≠0 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 29 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 ? ? ? ?7 0 0 7 0 0( I ) 0 5 0 ( I I ) 0 5 00 0 1 0 0 1 6 4 5 3 2 0yy??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???x x x xxx例 試判斷下列連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性。 |Qo|≠0表示了矩陣 Qo有且僅有 n個(gè)行向量是線性獨(dú)立的，即 rank[Qo] = n。 0)( 20202022 ?????? ???? tttt exexexexty現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 28 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 1on ??????????????ccAQcA推論 對(duì) 單輸出 系統(tǒng)，狀態(tài)能觀測的充分必要條件為 Qo是非奇異矩陣。 從輸出方程看， y中既含有 x1又含有 x2，似乎能通過對(duì) y的觀測獲得 x1和 x2的信息，但是系統(tǒng)狀態(tài)是不能觀測的。 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 27 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 ? ?100111y??? ?????xxx例 試判別系統(tǒng)的能觀測性。 x = Axy = Cx 線性定常系統(tǒng)能觀測性的定義 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 24 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 1on ??????????????CCAQCA定理 n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) Σ(A, C)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是其能觀測判別矩陣 能觀測性判別準(zhǔn)則 同樣有秩判據(jù)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù) 滿秩，即 rank[Qo] = n 或 1r a nk [ ( ) ]T T T T n T n? ?C A C A C(1) 能觀測性判別準(zhǔn)則一 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 25 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 證明 CxyAxx ?? ,?)0()( xCy A tet ?對(duì)于任意給定的 x(0)，有 ? ? )0()()()( xCACAC???????????????1110nn ttt?? ???)0(])()()([ xAAIC 1110 ?????? nn ttt ??? ?由上式，根據(jù)得到的 y(t)，可以唯一地確定 x(0)的條件是 1on ??????????????CCAQCA滿秩，即 rank[Qo] = n 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 26 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 ? ?451001y???? ??????xxx? ? ? ?450 1 1 010???? ? ? ?????cA0110o?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?cQcA例 試判別連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性。因此需 要定義觀測時(shí)間 tf t0。但是一般 m n。 若系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀測的 ， 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的 ， 或簡稱能觀測的 。 ? ?5 2 5 155 2 5=15c?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ????? ?????b A bQ b A b? ? ? ?r a n k = r a n k 1 2c n? ? ?Q b A b再來分析系統(tǒng)的狀態(tài)能控性 說明系統(tǒng)狀態(tài)是不完全能控的。 輸出能控性定義及判別準(zhǔn)則 輸出的能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制系統(tǒng)的輸出 定義 對(duì)于 n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) ? ?1r a n k n m?C B C A B DC A B定理 對(duì)于 n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) 輸出完全能控的充要條件，是 x = A x + B uy = C x + D u現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 22 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 ? ?4 5 51 0 111uyu??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?xxx? ?? ?51 1 614 5 51 1 3 01 0 11d???? ? ? ???????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??cbc Ab? ? ? ?6 3 0 1d ??c b c A b? ?r a n k 1dm??c b c A b例 試分析系統(tǒng)的輸出 能控性和狀態(tài)能控性。 ???????????????lBBBB~~~~?21J1 J2 B2 uxx?????????????????????????200210300130003?B1 B1和 B2的最后一行成比例，不是線性無關(guān)的，所以不能控。 注意： 特征值互不相同條件 uxx?????????????????????????200210300130003? ? ?????????????????180602012182602903010BAABBQ 2c第一行與第三行成比例 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 19 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 定理 （附） 若系統(tǒng) Σ(A, B)具有 相同 的 重特征值，則系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控的充分必要條件，是經(jīng)線性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 ??x A x B u12l?????????JJAJ00相同特征值下的約當(dāng)塊 Ji 對(duì)應(yīng)的 i 的最后一行線性無關(guān)。 因?yàn)? rank[Qc] = 1 n ? ????????? 1111ABBQcu?????????????? 1110 01 xx?現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 18 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 例 試判斷以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。 注意： 特征值互不相同條件。系統(tǒng) (I)和 (III)是能控的。 B其中 ???????????????lBBBB~~~~?21現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 17 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 例 試判別以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。 (2) 能控性判別準(zhǔn)則二 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 16 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 12n?????????????x x B u00定理 若系統(tǒng) Σ(A, B)具有 互異 的特征值，則其狀態(tài)完全 能控的充分必要條件是經(jīng)線性變換后的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形 陣中不包含元素全為零的行。 解 首先構(gòu)造能控性判別矩陣 ????????????121010121 110101110][ 2 BAABBQ cr a n k 2 3Tcc?? ????容易得到 ???????????838333838 Tcc 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 15 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性 通過線性變換把矩陣 A化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，然后根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)形來判別系統(tǒng)的能控性。 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 14 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 121 1 0 0 10 1 0 1 00 1 1 0 1uu? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?