【正文】 ，然后用各態(tài)歷經(jīng)的方法來確定過程 X(t)的統(tǒng)計特性，看處理出來的結果是否與實際相符合，如果不相符合，再對過程的假設作修改。于是再把積分表過式表示為基本區(qū)間上的和，就有數(shù)字估計式（ ）。 圖 第二種方法用數(shù)字處理方法（即近似計算方法）。 ? 這種儀器的功能是當輸入樣本函數(shù)時， XY記錄儀自動描繪出協(xié)方差函數(shù)的曲線。因此工程上經(jīng)常都是憑經(jīng)驗把各態(tài)歷經(jīng)性作為一種假設，在后根據(jù)實驗來檢驗這個假設是否合理。 2 211101l im 1 [ ( ) ( ) ] 02 XTTB R dT ? ? ? ??????? ? ??????1 1 1( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]B E X t X t X t X t? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 性質(zhì) 對于高斯平穩(wěn)過程，如果它的均值為零，協(xié)方差函數(shù)連續(xù)，則該過程各態(tài)歷經(jīng)的一個充分條件是 綜上所述，對一個平穩(wěn)隨機過程 X(t)通過性質(zhì) 2判定以后，如果 X(t) 各態(tài)歷經(jīng)了，則對于該過程的數(shù)字特征，即求 ，我們可用 0 | ( ) |XR d r??? ???[ ( ) ] , ( )XE X t R ?11( ) [ ( ) ] l im ( )2TTTX t E X t x t d tT ????? ?111( ) ( ) ( ) l im ( ) ( )2TX TTR X t X t x t x t d tT? ? ????? ? ? ??? 也就是當 X(t)各態(tài)歷經(jīng)時，我們可用一個樣本函數(shù)的時間均值和時間協(xié)方差函數(shù)作為過程 X(t)的數(shù)學期望、協(xié)方差函數(shù)的近似。 解 ∵ [ ( ) ] 0E X t ? ()XRe ??? ??? ?2 201l im 1 ( )2T XXT R M d rTT ? ??? ?????????2||02||0222201l im 1 [ 0]21l im 121 1 1l im 02TTTTTTTe drTTedTTeT T T?????????????????????? ? ??????????????? ?? ? ?????????∴ X(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。 性質(zhì) 平穩(wěn)過程 X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是 式中： 為平穩(wěn)過程的協(xié)方差函數(shù)； 為平穩(wěn)過程的數(shù)學期望。 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )XYX t Y t E X t Y t R? ? ?? ? ? ?? 3. 隨機過程成為各態(tài)歷經(jīng)過程的判定 從前面的分析知，如果一個隨機過程能成為一個平衡過程，這對我們研究各態(tài)歷經(jīng)，則該過程一定是平衡過程，反之則一定成立，于是很自然提出這樣一個問題，能不能給出一些判定定理，使其可以很方便地判定一個平穩(wěn)過程成為各態(tài)歷經(jīng)過程。 0 0 020c o s( ) c o s( )( ) ( ) l imc o s2TTTA t d rX t X tA? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ?????( ) [ ( ) ] 0X t E X t??0( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )2XX t X t E X t X t RA? ? ???? ? ? ??? 如果兩個隨機過程 X(t)， Y(t)，當它們各自都是各態(tài)歷經(jīng)時，并且時間互相關函數(shù)與統(tǒng)計相關函數(shù)以概率 1相等時，我們有如下定義： ? 定義兩個隨機過程聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)： 設 X(t)， Y(t)各自都各態(tài)歷經(jīng) 則稱 X(t)， Y(t)為 聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)過程 。 解 ① 0( ) c o s ( )X t A t????0,A? ?2001[ ( ) ] c o s ( ) 02E X t A t d?? ? ??? ? ??0 0 020 0 0220 0 0020[ ( ) ( ) ][ c os( ) c os( ) ][ c os c os( 2 2 ) ]21[ c os c os( 2 2 ) ]22c os ( )2XE X t X tE A t A tAEtAdAR??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ????∴ X(t)為一寬平穩(wěn)過程。 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )n n Xx t x t E X t X t R? ? ?? ? ? ?1( ) l im ( ) ( )2TX n nTTR x t x t d tT?? ???????例 設隨機過程 式中 為參數(shù)，是（ , ）上均勻分布隨機變量。 ? （ 3）若 X(t)的均值和協(xié)方差函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱 X(t)是寬各態(tài)歷經(jīng)過程，簡稱 X(t)為各態(tài)歷經(jīng)過程。 （ 2）若 以概率 1成立，則稱 X(t)的 協(xié)方差函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。 ? 由上述分析可知，是不是任何一個隨機過程 ，它的數(shù)學期望、相關函數(shù)都可用其中的一個樣本函數(shù)的均值和協(xié)方差函數(shù)來近似呢，顯然不一定，一個自然的問題是X(t)在什么條件下可用一個樣本函數(shù)的均值和協(xié)方差函數(shù)作為整個過程 X(t)的均值，協(xié)方差函數(shù)的近似呢？ ( ) , ( ) ( )X t X t X t ??1( ) { ( ) , , ( ) }nX t x t x t?? 2. 平均隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性 要回答上述的問題，我們設當 X(t)為平穩(wěn)過程且滿足一定條件時，可用一個樣本函數(shù)的均值和協(xié)方差函數(shù)作為過程 X(t)的數(shù)字特征近似，為此我們給出如下定義： 定義：設 X(t)是一個平穩(wěn)過程 （ 1）若 以概率 1成立，則稱隨機過程 X(t)均值具有各態(tài)歷經(jīng)性這里依概率 1成立是指對 X(t)的所有樣本函數(shù)即 ( ) [ ( ) ] XX t E X t M??1 ( ) [ ( ) ] , , ( ) [ ( ) ]X n xx t E X t M x t E X t M? ? ? ?? 由此知，此時，我們可用一個樣本函數(shù)的均值如 的值作為 的近似值。但是如果當時間區(qū)間 T充分大時，如果 X(t)的絕大多數(shù)樣本函數(shù)的均值 1 11 ()2Tx TM x t d rT ?? ?1( ) { ( ) , , ( ) , }nX t x t x t?1xM[ ( )]E X t111( ) l im ( )2TTTx t x t d tT ???? ?都有 則我們可用其中一個樣本函數(shù)的均值 作 為 [X(t)]的近似，即 定義隨機過程的時間均值和時間相關函數(shù)： 稱 為隨機過程的 時間相關函數(shù) 。 于是對一個隨機過程， ，其樣本函數(shù)的積數(shù)結果可能不同。但這在實際工程又常常又很難做到，于是人們自然想到能不能夠通過測試一個樣本函數(shù)如 01,nt t t01( ) , ( ) , , ( )nnx t x t x t0( ) { ( ) , , ( ) , }nX t x t x t?1, ( )t X t1111[ ( ) ] ( )nkhE X t x tn?? ?1 2 1 211( , ) ( ) ( )nX k kkR t t x t x tn?? ?( ) , 1 , 2 ,ix t i ?? 用一個樣本函數(shù) xi(t)的均值和相關函數(shù)來近似隨機過程的均值和相關函數(shù)，如果能，這為我們求隨機過程的數(shù)學特征就帶來了很大方便。 , )XXP x t P x x t t1 ( ) , , ( ) ,nx t x t? X(t)或者是做試驗產(chǎn)生一個樣本函數(shù) x(t)，然后再對樣本函數(shù) x(t)取不同時刻，如 ，得所對應的結果 ，即此時隨機過程可表示為 。怎么解決這個問題呢？實際上，在工程中，要求 X(t)的數(shù)字特征，我們自先是通過試驗來產(chǎn)生一族時間樣本函數(shù) 1 1 1 2 1 2( 。 遍歷性定理 ? 1. 各態(tài)歷經(jīng)問題的提出 對于一個隨機過程 X(t)，我們當然希望知道它們的分布函數(shù)，但很困難，于是我們退而求其次，考慮求它的數(shù)字特征即數(shù)學期望、相關函數(shù)等。 解 由題設知 的概率密度函數(shù)為 221 2 2 1 2 2 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ] [ ] [ ]XR t t E X t X t E t Y t Y t t E Y? ? ?12,tt 2 ()X t tY?()St( ) ( )X t S t ?????1 0()0Tft T?? ???? ??? 其 它?要討論 X(t)的平穩(wěn)性，由寬平穩(wěn)定義知，需要求 。對于 12( ) , ( )X t Y X t tY??1 ()X t Y?1( , , )YnP y y1 ()X t Y? 221[ ( ) ] [ ]E X t E Y? ? ? ?2 ( ) ,X t tY?2[ ( ) ] [ ] [ ]E E t E tY tE Y???都與時間 有關，所以 為非平穩(wěn)。 解 ∵ Y是隨機變量， ∵ 這一過程是一個與時間無關的特殊的過程，它的任何n維概率密度函數(shù) 與時間無關，所以是一個嚴平穩(wěn)。 順便指出，今后凡提到“平穩(wěn)過程”，通常是指寬平穩(wěn)過程。 類似地，我們還可以給出兩個隨機過程聯(lián)合寬平穩(wěn) 定義。 , ) ( , 。 , )X n n XP x x t t P x x