【正文】 ()t?_0i ) ( ) , ii ) ( ) 100tt t d tt?? ????????? ?? ?()t? ?()ft( ) ( ) ( 0 )t f t d t f????? ??00( ) ( ) ( )t t f t d t f t????????0( ) , ( )t t t?? ?0[ ( ) ] ( ) 1j t j ttF t t e d t e???? ?? ?????? ? ???例 求 的付氏逆變換。 ? 解 ? 最后需要指出，在實際問題中常常碰到一些平穩(wěn)過程，它的協(xié)方差函數(shù)或功率譜密度在通常意義可能付氏變換不存在。若隨機過程再各態(tài)歷經(jīng)，則各態(tài)歷經(jīng)過程的功率譜密度可用一個樣本函數(shù)的功率譜密度來表示： 2 1[ ( ) ] ( 0 ) ( )2XXW E X t R G d???????? ? ? ?21( ) ( , ) l im ( , )2X s TTG G e x eT? ? ??????例 隨機過程 ?式中， 是常數(shù)， 上均勻分布隨機變量，求 的平均功率。 ? 定義樣本函數(shù)的功率譜密度 ? 式中， 為截取函數(shù) 的頻譜。 ( ) | |()0 | |Tx t t TxttT???? ??()Tx t d t???? ? ? ??()Txt( ) ( ) ( )jt TjtT T TTx x t e d t x t e d t???????? ? ?????1( ) ( )2jtTTx t x e d t???????? ?()Tx ? ()Txt?又由于隨機過程 在隨機試驗中取哪一個樣本函數(shù)具有不確定性。 1( ) { ( ) , , ( ) , }nX x x t x t?21l im ( )2Te TTW x tT ???? ? ? ??圖 .1 及其截取函數(shù) 怎樣具體表示隨機過程一個樣本函數(shù)的平均功率呢，我們是這樣操作的：首先定義 的一個樣本函數(shù)，不妨設為 ，再次地樣本函數(shù) 任意截取一段，長度為 2T，并記為 。 ? 然而，工程技術上有許多重要的時間函數(shù)總能量是無限的，不能滿足傅氏變換絕對可積條件，如正弦 就是。我們知道，對于復數(shù)有 ?∴ ? 對于定理的物理解釋是，或 代表電流或電壓，則定理條件要求 ，即是要求 的總能量必須有限。這樣，若想直接對隨要過程進行譜分解，顯然也不行。這方面的應用在數(shù)字信號分析和電路理論等方面應用極廣。 ( ) c o s ( )X t A t????222 0() 200aaeataa??????? ??? ≤? ?? ? 當我們在時間域內(nèi)研究某一函數(shù)的特性時，如果確定起來不方便，在數(shù)學上我們可以考慮將此函數(shù)通過某種變換將它變換到另一區(qū)域，比如說頻率域內(nèi)進行研究，最終目的是使問題簡化。 ? 4. 設 X(t)是雷達的發(fā)射信號，遇到目標后返回接收機的微弱信號是 是信號返回時間，由于接收到的信號總是伴有噪聲，記噪聲為 ，于是接收機收到的全信號 。 性質(zhì) 互相關函數(shù)的幅度平方滿足 同理，互協(xié)方差函數(shù)滿足 ( ), ( )X t Y t()XYR ?()XYC ?2( ) ( 0 ) ( 0 )X Y X YR R R? ≤2 22( ) ( 0 ) ( 0 )X Y X Y X YC C C? ? ??≤? 性質(zhì) 互相關函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)的幅度滿足 ? 同理 ? 性質(zhì) 互相關系數(shù) ? 為了研究兩個平穩(wěn)過程的相互關聯(lián)程度，我們引入互相關系定義 ? 定義互相關系數(shù)： ? 可以證明 ? ，且當 時 互不相關。另一種定義相關時間間隔大于的兩相時刻的取值不相關。因此相關系數(shù)可直觀地說明隨機過程不同兩個狀態(tài)的協(xié)方差程度的強弱或隨機過程起伏的快慢。 )XXP x t P x t ???22[ ( ) ] [ ( ) ] ( 0 )XE X t E X t R?? ? ?2 (0 ) 2 ( ) 0XXRR ?? ≥( 0 )XXRR ?≥ | ( )|( 0 )XXCC ?≥ | ( )|22[ ( ) ] ( , )XE X t x P x t d x????? ??對于 ?性質(zhì) 周期平穩(wěn)過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)是周期函數(shù)，且與周期平穩(wěn)地程的周期相同，即 ?證 設 ?∵ ?性質(zhì) 非周期平穩(wěn)過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)滿足 ( ) ( )XXR t T R ???( ) ( )X t X t T??( ) [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ] ( )xXR T E X t X t TE X t X t R????? ? ? ?? ? ?2l i m ( ) ( )X X XR R M? ??? ? ? ?222[ ( ) ] ( 0 ) ( )[ ( ) ] [ ( ) ]X X XD X t R RE X t E X t? ? ? ? ???? 例 非周期平穩(wěn)過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)。 協(xié)方差函數(shù)和功率譜密度 ?性質(zhì) ?證 ∵ ?當 ， ?即平穩(wěn)過程的均方值可自由相關函數(shù) 得到。 111[ ( ) ] ( ) l im ( )2NTkTTkE X t x t X t d t xTN??? ?? ? ? ??1( ) ( ) ( ) l im ( ) ( )2TX TTR X t X t X t X t d rT? ? ????? ? ? ??11( ) ,0 , 1 , 2 , , ( )NrX r k k rkR x xNrr m m n??????????? 1. 平穩(wěn)過程協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì) 對于一個隨機過程，它的基本數(shù)字特征是數(shù)學期望和相關函數(shù)，但是當隨機過程為平穩(wěn)過程時，它的數(shù)學期望是一個常數(shù)，經(jīng)中心化后可以變?yōu)榱?，所以當過程 X(t)平穩(wěn)后其基本數(shù)字特征實際上就是相關函數(shù)。 如圖 [0， T]等分為 N個長為 的小區(qū)間，再在時刻 ， 取樣，得 N個函數(shù)值 。 ? 在實際應用一般不可能給出隨機過程 X(t)的樣本函數(shù) x(t)的表達式，因此，確定各態(tài)歷經(jīng)過程的數(shù)學期望、協(xié)方差函數(shù)，有兩種方法： ? 第一種方法用模擬協(xié)方差分析儀，自動畫出協(xié)方差曲線。 ?性質(zhì) 平衡過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)具備各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是 式中 平穩(wěn)過程 X(t)和 Y(t)的互相關函數(shù)具有聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件（ ）式相似，只是將（ ）式中相應的協(xié)方差函數(shù)改為互相關函數(shù)即可。通過對平穩(wěn)過程的分析研究，我們給出如下的幾個判定定理。 ② 01( ) l im c o s ( )2TTTX t A t d tT ????????00c o s sinl im 0TATT????????( , )XR t t ??顯然由①、②結果再由隨機過程各態(tài)歷經(jīng)定義知 ∴ X(t)為寬各態(tài)歷經(jīng)過程。 ? 綜上所述，如果 X(t)是各態(tài)歷經(jīng)過程，則必為平穩(wěn)過程，此時可用過程的一個樣本函數(shù)的數(shù)字特征作為過程的數(shù)字特征近似。反之，若已知 X(t)的均值各態(tài)歷程，則可用一個樣本函數(shù)的均值作為過程 X(t)的均值。此時顯然用一個樣本函數(shù)的數(shù)字特征如 ，近似 是不正確的。 ? 對任意指定時刻 的數(shù)學期望可近似表示為 協(xié)方差函數(shù)可近似表示為 來計算，顯然這種用近似計算的方法來估計隨機過程的數(shù)學期望及協(xié)方差函數(shù)要求 n很大，即樣本函數(shù)xk(t)很多。但要求 X(t)的數(shù)字特征，首先需要知道它的一、二維概率密度函數(shù)，即 這實際上又很難辦，進而為我們求數(shù)字特征又帶來困難。 例 設 是一周期為 T的函數(shù)， 是（ 0,T）上具有均勻分布的隨機變量，稱為 隨機相位周期過程，試討論它的平穩(wěn)性。 例 設 Y是隨機變量，試分別考慮隨機過程 的平穩(wěn)性。 )XXP x x t t P x x ??21tt? ??12( , ) ( )XXR t t R ??∴ 2 2 21 1 1[ ( ) ] ( )XXE X t x P x d x????? ? ??綜上所述，嚴平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn) 反之不一定成立，除非是高斯過程（正態(tài)過程）。 , , ) ( , 。 顯然由寬平穩(wěn)定義可知，要求 就要考慮 X(t)的一維概率密度函數(shù) 和二維概率密度函數(shù) 。 ? 從上面介紹的嚴平穩(wěn)隨機過程的定義知，要判斷一個隨機過程是否是嚴平穩(wěn)，需要確定該隨機過程的任意 n維概率密度函數(shù)族，它的變化是否與時間的平穩(wěn)無關，這本身就是一個十分困難的工作，然而在工程上根據(jù)實際需要，我們往往只在所謂的相關理論范圍內(nèi)考慮隨機過程的平穩(wěn)性問題，這里所指的相關理論，就是指隨機過程的數(shù)字特征，即數(shù)學期望、相關函數(shù)和今后要介紹的功率普密度等。由此，我們可以進