【正文】 x t d tT ???? ?21l im ( , )2TTTx t e d tT???? ?11l im ( , ) ( , )22T jtTTTT x t e x e e d d tT??????? ? ????????????()11l im ( , ) ( , )22T jtTT TT x e x t e e d t dT?????? ??? ? ?????? ??????11l im ( , ) ( , )22 TTt x e x e dT ? ? ???????????*11l im ( , ) ( , )22 TTt x e x e dT ? ? ????????? ?211 l im ( , )22 TT x e dT ??????? ??? ?1 ( , )2 XG e d???????? ?? 由于引入隨機(jī)過程樣本函數(shù)的截取函數(shù)定義，所以又可給出上式隨機(jī)過程的樣本函數(shù)平均功率在頻率域的表示形式。 ? 在上式中，令 ? 則稱（ ）式為隨機(jī)過程 X(t)的樣本函數(shù)的 功率譜密度函數(shù)。 ? 定義樣本函數(shù)的功率譜密度 ? 式中， 為截取函數(shù) 的頻譜。 21( , ) l im ( , )2XT TG e x eT?????21( , ) l im ( , )2XT TG e x eT?????( , )Txe? ( , )Tx t e? 又 ∵ 隨機(jī)過程是由一族樣本函數(shù)組成，即 ? 顯然對每一個(gè)樣本函數(shù)，按照上面類似的方法都呆以求出它的一個(gè)樣本函數(shù)的功率譜密度，于是對所有的樣本函數(shù)取統(tǒng)計(jì)平均就可給出隨機(jī)過程的功率譜密度定義。 ? 定義隨機(jī)過程的功率譜密度： 1( ) { ( ) , , ( ) , }nX t x t x t?221( ) [ ( , ) ] l im ( , )21l im ( , )2X X TTTTG E G e E x eTE X eT? ? ?????????? ?????????? 隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)的平均功率的表示形式，有兩種 ? 類似的，可求出 X(t)的所有樣本函數(shù)的平均功率表示形式，然后取統(tǒng)計(jì)平均，則可以給出隨機(jī)過程的平均功率定義，定義隨機(jī)過程的平均功率： 11 l im ( , )22eT TW x e dT ??????? ??? ?21l im ( , )2TeT TTW x t e d tT ???? ?211[ ] l im ( , )22eT TW E W E x e dT ??????? ???????????211 l im ( , )22 TTE x e dT??????? ??????????1 ()2 XGd???????? ?21[ ] l im ( , )2Te TTW E W E x t e d tT ??????????? ?221l im [ | ( , ) | ]21l im [ ( ) ]2TTTTTTE x t e dtTE x t d tT??????????? 由隨機(jī)過程平均功率定義可知，要求隨機(jī)過程的平均功率可用兩種方法，一種方法是求出 ，即過程的功率譜密度，然后再積分，另一種方法是先求出過程的增方值 ，再積分。 ? 特別地，當(dāng)我們研究的隨機(jī)過程是平穩(wěn)過程時(shí)，此時(shí)的平穩(wěn)過程平均功率可表示為： ? ∵ X(t)平穩(wěn) ∴ ()xG ?2[ ( )]E X t22[ ( ) ] ( 0 )XXE X t R???2221l im [ ( ) ]21l im2TTTTXXTTW E X t d ttdtT?????????????21l im 2 ( 0 )2 XXT TRT ??? ???∴ ? 該式說明：平穩(wěn)過程的平均功率等于該過程的均方值，也可由隨機(jī)過程的功率譜密度在全頻域上積分得到。若隨機(jī)過程再各態(tài)歷經(jīng)，則各態(tài)歷經(jīng)過程的功率譜密度可用一個(gè)樣本函數(shù)的功率譜密度來表示： 2 1[ ( ) ] ( 0 ) ( )2XXW E X t R G d???????? ? ? ?21( ) ( , ) l im ( , )2X s TTG G e x eT? ? ??????例 隨機(jī)過程 ?式中， 是常數(shù)， 上均勻分布隨機(jī)變量，求 的平均功率。 ?解 ∵ ? ∴ 0( ) ( ) c o s ( )X t X t t? ? ???為0,a ?2?? 是 在 (0 , )()Xt21l im [ ( ) ]2TTTW E X t d tT???? ?2 2 2 00[ ( ) ] [ c o s ( ) ]E X t E a t????22022200220c os( 2 2 )222c os ( 2 2 )22sin( 2 )2aaEtaatdaat???? ? ??????? ? ?????? ? ????顯然該過程不平穩(wěn)。 ?∴ 2 2 201l im s in ( )2 2 2TTTaW t d tT?? ???????? ? ? ?????? 功率譜密度與協(xié)方差函數(shù)的關(guān)系 通過對隨機(jī)過程的分析，我們知道隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)是從時(shí)間有度描述了過程的重要統(tǒng)計(jì)特性，而隨機(jī)過程的功率譜密度是從頻率角度描述了過程的統(tǒng)計(jì)特性，二者是異曲同工，研究的都是一個(gè)對象，于是人們自然提出一個(gè)問題，隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)和它的功率譜密度之間是否存在一定關(guān)系，我們說當(dāng)隨機(jī)過程平穩(wěn)且滿足一定條件時(shí)，它們之間存在一定關(guān)系。 ?定理 如果平穩(wěn)過程 X(t)的相關(guān)函數(shù) 絕對可積，即 則過程 X(t)的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度之間存在付氏變換，即 ()XR ?()XRd??????? ? ??( ) ( ) jXXG R e d??? ? ??? ???? ?1( ) ( )2jXXR G e d??? ? ? ??????? ? ? ? ? ??11( ) ( )[ ( ) ] ( )[ ( ) ] ( )FxXFXXXXRGF R GF G R?????????????? 例 設(shè) X(t)是平穩(wěn)過程，共相關(guān)函數(shù) ? ，其中 、 是正數(shù)， X(t)的譜密度 。 ? 解 ? 最后需要指出，在實(shí)際問題中常常碰到一些平穩(wěn)過程，它的協(xié)方差函數(shù)或功率譜密度在通常意義可能付氏變換不存在。如果我們允許協(xié)方差函數(shù)或功率譜密度函數(shù)含有函數(shù)定義下協(xié)方差函數(shù)與功率譜密度存在付氏變換。 ||()XRe ???? ??()XG ?? ?( ) ( ) jXXG R e d??? ? ??? ???? ?||222je e d? ? ? ?????????????????? 定義函數(shù)： 如果函數(shù) 滿足 ?則稱函數(shù) 為 函數(shù)。 ? 性質(zhì) 若 為無窮次可微函數(shù)，則 ?或 ?例 求 的付氏變換。 ()t?_0i ) ( ) , ii ) ( ) 100tt t d tt?? ????????? ?? ?()t? ?()ft( ) ( ) ( 0 )t f t d t f????? ??00( ) ( ) ( )t t f t d t f t????????0( ) , ( )t t t?? ?0[ ( ) ] ( ) 1j t j ttF t t e d t e???? ?? ?????? ? ???例 求 的付氏逆變換。 解 ∵ 又 ∵ ∴ 0000[ ( ) ] ( )jtj t j tttF t t t t e d t e e ????? ?? ????? ?? ? ? ? ??0( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )FF? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?和1 1[ ( ) ] 2 ( )2jtF F e d?? ? ? ? ????????? ?( ) 1jte ??????????01001[ 2 ( ) ] 2 ( )2jtjtF e d e ??? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ??01 02 ( )jt FFe? ? ? ? ????? ?0 0 0()j t j t jjtF e e e d t e d t? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??? ???? ???例 若隨機(jī)過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)為 解 01( ) c o s2XR ? ? ??000( ) ( )1c o s21()2jXXjjj jG R e dede e e d????? ? ? ? ??? ? ?? ? ??????????????? ??????????00( ) ( )00001144112 ( ) 2 ( )44[ ( ) ( ) ]2j j de d e? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 謝謝收看