【文章內(nèi)容簡介】 式中： 為平穩(wěn)過程的協(xié)方差函數(shù)； 為平穩(wěn)過程的數(shù)學期望。 ? ?2 201l im 1 ( ) 02T XXT R M dTT ? ???? ??? ? ??????()XR ? XM?例 已知隨機電報信號 X(t)，它的 ， ，問 X(t)是否均值各態(tài)歷經(jīng)。 解 ∵ [ ( ) ] 0E X t ? ()XRe ??? ??? ?2 201l im 1 ( )2T XXT R M d rTT ? ??? ?????????2||02||0222201l im 1 [ 0]21l im 121 1 1l im 02TTTTTTTe drTTedTTeT T T?????????????????????? ? ??????????????? ?? ? ?????????∴ X(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。 ?性質(zhì) 平衡過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)具備各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是 式中 平穩(wěn)過程 X(t)和 Y(t)的互相關函數(shù)具有聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件（ ）式相似，只是將（ ）式中相應的協(xié)方差函數(shù)改為互相關函數(shù)即可。 2 211101l im 1 [ ( ) ( ) ] 02 XTTB R dT ? ? ? ??????? ? ??????1 1 1( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]B E X t X t X t X t? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 性質(zhì) 對于高斯平穩(wěn)過程，如果它的均值為零，協(xié)方差函數(shù)連續(xù)，則該過程各態(tài)歷經(jīng)的一個充分條件是 綜上所述，對一個平穩(wěn)隨機過程 X(t)通過性質(zhì) 2判定以后，如果 X(t) 各態(tài)歷經(jīng)了，則對于該過程的數(shù)字特征，即求 ，我們可用 0 | ( ) |XR d r??? ???[ ( ) ] , ( )XE X t R ?11( ) [ ( ) ] l im ( )2TTTX t E X t x t d tT ????? ?111( ) ( ) ( ) l im ( ) ( )2TX TTR X t X t x t x t d tT? ? ????? ? ? ??? 也就是當 X(t)各態(tài)歷經(jīng)時，我們可用一個樣本函數(shù)的時間均值和時間協(xié)方差函數(shù)作為過程 X(t)的數(shù)學期望、協(xié)方差函數(shù)的近似。 ? 最后順便說明，對于許多實際問題，如果要從理論上判定一個過程是否為各態(tài)歷經(jīng)過程，往往是比較困難。因此工程上經(jīng)常都是憑經(jīng)驗把各態(tài)歷經(jīng)性作為一種假設，在后根據(jù)實驗來檢驗這個假設是否合理。 ? 在實際應用一般不可能給出隨機過程 X(t)的樣本函數(shù) x(t)的表達式，因此，確定各態(tài)歷經(jīng)過程的數(shù)學期望、協(xié)方差函數(shù)，有兩種方法： ? 第一種方法用模擬協(xié)方差分析儀，自動畫出協(xié)方差曲線。 ? 這種儀器的功能是當輸入樣本函數(shù)時， XY記錄儀自動描繪出協(xié)方差函數(shù)的曲線。它的工作原理如圖 。 圖 第二種方法用數(shù)字處理方法（即近似計算方法）。 如圖 [0， T]等分為 N個長為 的小區(qū)間，再在時刻 ， 取樣，得 N個函數(shù)值 。于是再把積分表過式表示為基本區(qū)間上的和，就有數(shù)字估計式（ ）。類似可以寫出在 時的協(xié)方差函數(shù)估計式（ ）式，由這個估計式可算出協(xié)方差函數(shù)的一系列近似值，從而可作出協(xié)方差函數(shù)的近似圖形，見圖 。 TtN??1()2kt k t? ? ? 1 , 2 , , ( )k N x t? 對( ) , 1 , 2 , ,kkx x t k N??r rt? ??? 最后指出，工程上遇到的很多平穩(wěn)過程，我們一般都把它看成各態(tài)歷經(jīng)過程，然后用各態(tài)歷經(jīng)的方法來確定過程 X(t)的統(tǒng)計特性，看處理出來的結果是否與實際相符合，如果不相符合，再對過程的假設作修改。 111[ ( ) ] ( ) l im ( )2NTkTTkE X t x t X t d t xTN??? ?? ? ? ??1( ) ( ) ( ) l im ( ) ( )2TX TTR X t X t X t X t d rT? ? ????? ? ? ??11( ) ,0 , 1 , 2 , , ( )NrX r k k rkR x xNrr m m n??????????? 1. 平穩(wěn)過程協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì) 對于一個隨機過程，它的基本數(shù)字特征是數(shù)學期望和相關函數(shù)，但是當隨機過程為平穩(wěn)過程時，它的數(shù)學期望是一個常數(shù)，經(jīng)中心化后可以變?yōu)榱?，所以當過程 X(t)平穩(wěn)后其基本數(shù)字特征實際上就是相關函數(shù)。此外，相關函數(shù)不僅可向我們提供隨機過程各狀態(tài)間的關聯(lián)特性的信息，而且也是求取隨機過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息工具。為此下面我們專門研究一下平穩(wěn)過程相關函數(shù)的性質(zhì)。 167。 協(xié)方差函數(shù)和功率譜密度 ?性質(zhì) ?證 ∵ ?當 ， ?即平穩(wěn)過程的均方值可自由相關函數(shù) 得到。 ?性質(zhì) ，即平穩(wěn)過程的協(xié)方差函數(shù)為偶函數(shù)。 ?同理 ?證 ∵ 2( 0 ) [ ( ) ]XR E X t?( ) [ ( ) ( ) ]XR E X t X t????2( 0 ) [ ( ) ]XR E X t?0??()XR ??令 =0( ) ( )XXRR????( ) ( )XXCC????( ) [ ( ) ( ) ] , ( )[ ( ) ( ) ] ,XXR E X t X t RE X t X t u t? ? ???? ? ?? ? ? ?? 性質(zhì) 平穩(wěn)過程 X(t)協(xié)方差函數(shù)的最大點在 處 ，即 ?證 ∵ 任何非負函數(shù)的數(shù)學期望恒為非負值， 的平方均值，即 ?∴ ?∴ ?∴ ? 又 ∵ X(t)平穩(wěn)， ∴ ?∴ 0? ?(0 ) | ( ) |XXRR ?≥( ) ( )X t X t ???2{ | ( ) ( ) | } 0E X t X t ??? ≥22[ ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ]E X t X t X t X t??? ? ? ? ≥ 0[ ( ) ] 2 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] 0E X t E X t X t E X t??? ? ? ? ≥22[ ( ) ] 2 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] 0E X t E X t X t E X t??? ? ? ? ≥[ ( ) ( ) ] ( )XE X t X t R????22[ ( ) ] 2 ( ) [ ( ) ] 0xE X t R E X t??? ? ? ?? ∵ 平穩(wěn)隨機過程的一維率密度函數(shù)不隨時間的平緩而變化，即 ? ∴ ? ∴ ? ∴ ? 同理 22[ ( ) ] ( , )XE X t x P x t d x??????? ? ??( 。 ) ( 。 )XXP x t P x t ???22[ ( ) ] [ ( ) ] ( 0 )XE X t E X t R?? ? ?2 (0 ) 2 ( ) 0XXRR ?? ≥( 0 )XXRR ?≥ | ( )|( 0 )XXCC ?≥ | ( )|22[ ( ) ] ( , )XE X t x P x t d x????? ??對于 ?性質(zhì) 周期平穩(wěn)過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)是周期函數(shù)，且與周期平穩(wěn)地程的周期相同，即 ?證 設 ?∵ ?性質(zhì) 非周期平穩(wěn)過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)滿足 ( ) ( )XXR t T R ???( ) ( )X t X t T??( ) [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ] ( )xXR T E X t X t TE X t X t R????? ? ? ?? ? ?2l i m ( ) ( )X X XR R M? ??? ? ? ?222[ ( ) ] ( 0 ) ( )[ ( ) ] [ ( ) ]X X XD X t R RE X t E X t? ? ? ? ???? 例 非周期平穩(wěn)過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)。 ?求 。 ?解 ∵ ?∴ ?∴ ? 為了方便表征隨機過程在兩個不同時刻狀態(tài)之間的線性關聯(lián)程度，我們給出協(xié)方差系定義： ? 定義協(xié)方差系數(shù)： 29( ) 1 613XR ? ??? ?[ ( ) ] , [ ( ) ]E X t D X t229l im ( ) l im 1 6 1 61XXMR ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ??????4XM ??2 ( 0 ) ( ) 2 5 1 6 9X X XRR? ? ? ? ? ? ?222( ) ( )() X X XXXXC R M?????????? 特別取 ， ? 一般有 ? 顯然，協(xié)方差系數(shù)越接近 1，狀態(tài)之間的關聯(lián)程度越高。也可以說，當狀態(tài)與狀態(tài)之間的時間間隔越小，狀態(tài)之間的關系越高。因此相關系數(shù)可直觀地說明隨機過程不同兩個狀態(tài)的協(xié)方差程度的強弱或隨機過程起伏的快慢。 0? ?222( 0 ) ( 0 )( 0 ) 0X X XXXXC R M????? ? ?2 2 222[ ( ) ] 1XXXXE X t M ????? ? ?| ( ) | 1X?? ≤? 相關時間 是另一個表示隨機過程相關程度的量，它是利用相關系數(shù)來定義的。 ? 一般相關時間的定義有兩種，一種是把滿足時的 作為相關時間 。其物理意義為：若隨機過程 X(t)的相關