【正文】 解 ∵ 又 ∵ ∴ 0000[ ( ) ] ( )jtj t j tttF t t t t e d t e e ????? ?? ????? ?? ? ? ? ??0( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )FF? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?和1 1[ ( ) ] 2 ( )2jtF F e d?? ? ? ? ????????? ?( ) 1jte ??????????01001[ 2 ( ) ] 2 ( )2jtjtF e d e ??? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ??01 02 ( )jt FFe? ? ? ? ????? ?0 0 0()j t j t jjtF e e e d t e d t? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??? ???? ???例 若隨機(jī)過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)為 解 01( ) c o s2XR ? ? ??000( ) ( )1c o s21()2jXXjjj jG R e dede e e d????? ? ? ? ??? ? ?? ? ??????????????? ??????????00( ) ( )00001144112 ( ) 2 ( )44[ ( ) ( ) ]2j j de d e? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 謝謝收看 。 ? 性質(zhì) 若 為無窮次可微函數(shù)，則 ?或 ?例 求 的付氏變換。如果我們?cè)试S協(xié)方差函數(shù)或功率譜密度函數(shù)含有函數(shù)定義下協(xié)方差函數(shù)與功率譜密度存在付氏變換。 ?定理 如果平穩(wěn)過程 X(t)的相關(guān)函數(shù) 絕對(duì)可積，即 則過程 X(t)的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度之間存在付氏變換，即 ()XR ?()XRd??????? ? ??( ) ( ) jXXG R e d??? ? ??? ???? ?1( ) ( )2jXXR G e d??? ? ? ??????? ? ? ? ? ??11( ) ( )[ ( ) ] ( )[ ( ) ] ( )FxXFXXXXRGF R GF G R?????????????? 例 設(shè) X(t)是平穩(wěn)過程，共相關(guān)函數(shù) ? ，其中 、 是正數(shù)， X(t)的譜密度 。 ?解 ∵ ? ∴ 0( ) ( ) c o s ( )X t X t t? ? ???為0,a ?2?? 是 在 (0 , )()Xt21l im [ ( ) ]2TTTW E X t d tT???? ?2 2 2 00[ ( ) ] [ c o s ( ) ]E X t E a t????22022200220c os( 2 2 )222c os ( 2 2 )22sin( 2 )2aaEtaatdaat???? ? ??????? ? ?????? ? ????顯然該過程不平穩(wěn)。 ? 特別地，當(dāng)我們研究的隨機(jī)過程是平穩(wěn)過程時(shí)，此時(shí)的平穩(wěn)過程平均功率可表示為： ? ∵ X(t)平穩(wěn) ∴ ()xG ?2[ ( )]E X t22[ ( ) ] ( 0 )XXE X t R???2221l im [ ( ) ]21l im2TTTTXXTTW E X t d ttdtT?????????????21l im 2 ( 0 )2 XXT TRT ??? ???∴ ? 該式說明：平穩(wěn)過程的平均功率等于該過程的均方值，也可由隨機(jī)過程的功率譜密度在全頻域上積分得到。 21( , ) l im ( , )2XT TG e x eT?????21( , ) l im ( , )2XT TG e x eT?????( , )Txe? ( , )Tx t e? 又 ∵ 隨機(jī)過程是由一族樣本函數(shù)組成，即 ? 顯然對(duì)每一個(gè)樣本函數(shù)，按照上面類似的方法都呆以求出它的一個(gè)樣本函數(shù)的功率譜密度，于是對(duì)所有的樣本函數(shù)取統(tǒng)計(jì)平均就可給出隨機(jī)過程的功率譜密度定義。 ? 在上式中，令 ? 則稱（ ）式為隨機(jī)過程 X(t)的樣本函數(shù)的 功率譜密度函數(shù)。因此，不同的試驗(yàn)結(jié)果，就意味著隨機(jī)過程可能取不同的樣本函數(shù)，亦即樣本函數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)，為此，可將樣本函數(shù)進(jìn)一步表示為 ，當(dāng)然該樣本函數(shù)的截取函數(shù)也可相應(yīng)表示為 ，顯然它的傅氏變換也可表示為 。 ? ∴ 存在付氏變換，即 ? 這里 稱 為的頻譜函數(shù)。稱 為原樣本函數(shù) 的截取函數(shù)，如圖 。 ? 這樣，對(duì)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)而方，雖然研究它的頻譜沒有意義，但研究它的平均功率確有意義。我們要研究的隨機(jī)過程，由于持續(xù)時(shí)間是無限的，所以其總能量也是無限的，即 ? 所以隨機(jī)過程的頻譜不存在。巴塞伐公式理解為時(shí)間域上的總能量可用頻率域上的頻譜能量表示。 由積分變換的巴塞伐能量公式有 1 [ ( ) ] ( )F S S t?? ?()S ? * ( ) ( )SS????2 2 *。 ? 定理 設(shè) S(t)是一個(gè)確定信號(hào)，且在 上，則 S(t)的傅氏變換存在，或者說具有頻譜 記為 ()St( , )?? ??()S?( ) ( ) jtS S t e d t?? ?? ???? ?1( ) ( )2jtS t S e d????????? ?1( ) ( )FFS t s ?????[ ( ) ] ( )F S t S ??? 一般頻譜 是一個(gè)復(fù)數(shù)，且有 ，*表示共軛。但是，對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行某種處理后，同樣可對(duì)隨機(jī)過程施行傅里葉變換。此外，很多隨要過程的樣本函數(shù)極不規(guī)則，無法用方程描述。 ? 是不是任何一個(gè)時(shí)間函數(shù)都可以將其通過傅氏變換變到頻率域去研究呢？我們說當(dāng)時(shí)間函數(shù) 滿足絕對(duì)可積條件時(shí)可以。即，如果一個(gè)信號(hào)有“高”頻成分，我們?cè)陬l率域內(nèi)就可以看到“快”的變化。傅里葉變換提供了一種方法，就是如何將時(shí)間域的問題轉(zhuǎn)換到頻率域，進(jìn)而使問題簡化。 ( ) ,X t Y Y?111,( ) ,a X t a ?? ??()Nt1( ) ( ) ( )Y t a X t N t?? ? ?()XYR ?()XYR ?? 5. 設(shè)有隨機(jī)過程 ，其中 A是具有瑞利分布的隨機(jī)變量，其概率密度為 ? 是在（ 0, 2 ）上具有均勻分布且與 A相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， 是一個(gè)常數(shù)，問X(t)是否是寬平穩(wěn)過程。 ①若 X(t)和 Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)，求互相關(guān)函數(shù) 。 ( ) c o s ( )X t t???? ?? ( , )???( ) 2 s i n 2X t A x o s t t? ? ???( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 1E A E B D A D B? ? ? ?( )E A B ?? 3. 設(shè)隨機(jī)過程 是方差不為零的隨機(jī)變量，試討論其各態(tài)歷經(jīng)性。 1( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]2X Y X YR R R? ?≤2211( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ] [ ]22X Y X Y X YC C C? ? ?? ? ?≤()()( 0) ( 0)XYXYXYCCC??? ?( ) 1XY?? ≤ ( ) 0XY?? ? ( ) ( )X t Y t和習(xí)題四 ? 1. 考慮一個(gè)具有隨機(jī)相位的余弦波，它由如下定義的隨機(jī)過程描述： ，其中 是常數(shù)， 服從 上的均勻分布，證明 X(t)是寬平穩(wěn)過程。 ?性質(zhì) 一般情況下，互相關(guān)函數(shù) 是非奇非偶函數(shù)，同理，互協(xié)方差函數(shù) 也是非奇非偶函數(shù)。 0( ) 0 . 0 5X?? ≤0?? 0?0?0??另一種定義相關(guān)時(shí)間方法是將 曲線在 之間的面積等效成 的矩形，如圖 。其物理意義為：若隨機(jī)過程 X(t)的相關(guān)時(shí)間為 ，則認(rèn)為隨機(jī)過程的時(shí)間間隔大于 的兩個(gè)時(shí)刻的取值不相關(guān)。 0? ?222( 0 ) ( 0 )( 0 ) 0X X XXXXC R M????? ? ?2 2 222[ ( ) ] 1XXXXE X t M ????? ? ?| ( ) | 1X?? ≤? 相關(guān)時(shí)間 是另一個(gè)表示隨機(jī)過程相關(guān)程度的量，它是利用相關(guān)系數(shù)來定義的。也可以說，當(dāng)狀態(tài)與狀態(tài)之間的時(shí)間間隔越小，狀態(tài)之間的關(guān)系越高。 ?求 。 ) ( 。 ?性質(zhì) ，即平穩(wěn)過程的協(xié)方差函數(shù)為偶函數(shù)。 167。此外，相關(guān)函數(shù)不僅可向我們提供隨機(jī)過程各狀態(tài)間的關(guān)聯(lián)特性的信息，而且也是求取隨機(jī)過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息工具。 TtN??1()2kt k t? ? ? 1 , 2 , , ( )k N x t? 對(duì)( ) , 1 , 2 , ,kkx x t k N??r rt? ??? 最后指出，工程上遇到的很多平穩(wěn)過程，我們一般都把它看成各態(tài)歷經(jīng)過程