三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)-文庫(kù)吧資料
2025-08-01 12:09本頁(yè)面
【正文】 2cosx, 1), b=(cosx, 3 sin2x), x?R. (1)若 f(x)=1 3 且 x?[ , ], 求 x 。 (4)判斷它的周期性 , 如果是周期函數(shù) , 求出它的一個(gè)周期 . 1 2 解 : (1)由 sinxcosx0, 即 2sin(x )0 得 : 4 ? 2k?+ x2k?+ , k?Z 4 ? 4 5? {x | 2k?+ x2k?+ , k?Z}. 4 ? 4 5? ∴ f(x) 的定義域?yàn)? ∵ sinxcosx= 2sin(x )≤ 2 , 4 ? ∴ f(x)=log (sinxcosx)≥ log 2 = . 1 2 1 2 1 2 ∴ f(x) 的值域?yàn)?[ , +∞ ). 1 2 (2)∵ y=sinxcosx 在 f(x) 的定義域上的單調(diào)遞增區(qū)間是 (2k?+ , 2k?+ ](k?Z)。 (2)判斷它的單調(diào)區(qū)間 。 返回目錄 y=sin4x+2 3 sinxcosxcos4x 的最小正周期和最小值 ,并寫出該函數(shù)在 [0, ?] 上的單調(diào)增區(qū)間 . 解 : ∵ y=sin4x+2 3 sinxcosxcos4x =(sin2xcos2x)(sin2x+cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2xcos2x 6 ? =2sin(2x ) 故該函數(shù)的最小正周期是 ?, 最小值是 2. 3 ? 在 [0, ?] 上的單調(diào)增區(qū)間是 [0, ] 和 [ , ?]. 6 5? 由 2k? ≤ 2x ≤ 2k?+ (k?Z) 得 : 2 ? 2 ? 6 ? k? ≤ x≤ k?+ (k?Z). 3 ? 6 ? 令 k=0, 1 即得函數(shù) y=sin4x+2 3 sinxcosxcos4x 返回目錄 ： 再如 f(x)= Asin(?x+?) 為奇函數(shù) ? =k? (k?Z) 解法一： 解法二： ? ? ? ?zkkf ?????? ??? 0s i n00f(x)= Asin(?x+?) 為偶函數(shù) ? =k? + (k?Z) 2 ? f(x)= Acos(?x+?) 為奇函數(shù) ? =k? + (k?Z) 2 ? ? =k? (k?Z) f(x)= Acos(?x+?) 為偶函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?? ?zkkxAxAxAxAxAxAxAxAxfxf?????????????????????20c o s0si n,0c o ssi n2,si nc o sc o ssi nsi nc o sc o ssi n,si nsi n??????????????????? ? ? ? ?zkkAf ????????? 21s i n0 ????? ? ? ? ? ? ? ?? ?zkkxAxosAxAxAxAxAxAxAxfxf?????????????????????????????????????????0s i n0c o s,0s i nc2,s i nc o sc o ss i ns i nc o sc o ss i n,s i ns i n P94例 f(x)=sin(?x+?)(?0, 0≤ ?≤ ?) 是 R 上的偶函數(shù) , 其圖象關(guān)于點(diǎn) M( , 0) 對(duì)稱 , 且在區(qū)間 [0, ] 上是單調(diào)函數(shù) , 求 ? 和 ? 的值 . 4 3? 2 ? 答案 返回目錄 觀察得到：可類比正弦曲線 和余弦曲線的奇偶性， 奇變偶不變 解 : ∵ f(x)=sin(?x+?)(?0, 0≤ ?≤ ?) 是 R 上的偶函數(shù) , ∴ f(0)=177。的周期是（ ） π B f(x)= Asin(?x+?) 性質(zhì)的方法：類比研究 y=sinx的性質(zhì)，只需將 ωx+φ看成 x，但在求 f(x)=Asin(?x+?) 的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意 A和 ω的符號(hào)，通過(guò)誘導(dǎo)公式先將 ω化正。 ② f(x)= Asin(?x+?) 和 f(x)=Acos(?x+?)的最小正周期都是 T= . ?f(x)=Atan(?x+?)的最小正周期都是 T= ④ f(x)= |Asin(?x+?)| ,f(x)=|Acos(?x+?)|的最小正周期都是 T= （即取絕對(duì)值后周期減半）， f(x)=|Atan(?x+?)|的最小正周期是 T= （即取絕對(duì)值后周期不變） 。 1 2 6 ? 1 2 5 4 ④將所得圖象向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 , 得到 y= sin(2x+ ) + 的圖象 。 6 ? 6 ? ②將所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍 (縱坐標(biāo)不變 ), 得到 y=sin(2x+ ) 的圖象 。 2 1 返回目錄 y = 3 s i n xxyy = s i n xO 方法 1： y=sinx 縱向伸長(zhǎng) 3倍 y=3sinx 3?y = 3 s i n ( x + )3?－ y = 3 s i n ( 2 x + )3?) 6?
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