第2講向量的數(shù)量積-文庫(kù)吧資料
2025-07-05 17:25本頁(yè)面
【正文】 形.評(píng)述：解本題的關(guān)鍵是由++=0轉(zhuǎn)化出現(xiàn)向量的數(shù)量積，進(jìn)而求夾角.深化拓展本題也可用如下方法證明：以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），則=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3）.由++=0，得∴由||=||=||=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1.∴2+2（x1x2+y1y2）=1.∴||====.同理||=，||=.∴△P1P2P3為正三角形.●闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)=（2，3），b=（－4，7），則a在b方向上的投影為A. B. C. D.解析：a在b方向上的投影為===.答案：C|a|=10，|b|=12，且（3a）=－.∴｜｜||cos∠P1OP2=－，即∠P1OP2=120176。有最小值－8，此時(shí)=（4，2）.（2）當(dāng)=（4，2），即y=2時(shí)，有=（－3，5），=（1，－1）.∴||=，||=.∴cos∠AXB==－.評(píng)述：（1）中最值問(wèn)題不少都轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決，因此解題關(guān)鍵在于尋找變量，（2）中即為數(shù)量積定義的應(yīng)用.【例3】 已知向量、滿足++ =0，||=||=||=1.求證：△P1P2P3是正三角形.剖析：由||=||=||=1知O是△P1P2P3的外接圓的圓心，要證△P1P2P3是正三角形，只需證∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1即可，即需求與，與，++=0變形可出現(xiàn)數(shù)量積，進(jìn)而求夾角.證明：∵++=0，∴+=－.∴|+|=|－|.∴||2+||2+2的最小值，求得的坐標(biāo)，而cos∠AXB是與夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識(shí)易解決.解：（1）設(shè)=（x，y），∵點(diǎn)X在直線OP上，∴向量與共線.又=（2，1），∴x－2y=0，即x=2y.∴=（2y，y）.又=－，=（1，7），∴=（1－2y，7－y）.同樣=－=（5－2y，1－y）.于是c）是與a共線的向量.∴（3）不正確.（4）正確.評(píng)述：判斷上述問(wèn)題的關(guān)鍵是要掌握向量的數(shù)量積的含義，向量的數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律.【例2】 平面內(nèi)有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），點(diǎn)X為直線OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)c）=a|b||c|cosθ（其中α、θ分別為a與b，b與c的夾角）.（ac，則|a||b|cosα=|a||c|cosβ（α、β為a與b，a與c的夾角）.∴|a|（|b|cosα－|c|cosβ）=0.∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ.
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