最小二乘法的原理及在建模中的應(yīng)用分析-文庫(kù)吧資料
2025-07-05 03:36本頁(yè)面
【正文】 測(cè)第十三年和第十四年的招生人數(shù).分析此題,是根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),預(yù)測(cè)出第十三年和第十四年的招生人數(shù),所以此題可用最小二乘法進(jìn)行擬合,并進(jìn)行預(yù)測(cè).. 研究生散點(diǎn)圖由圖形看不出有明顯規(guī)律,所以對(duì)此題做以下幾種擬合,所以只做一次、二次、三次以及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的擬合.模型一:一次函數(shù)擬合由Matlab擬合程序如下%求一次函數(shù)擬合系數(shù)x=[1:12]y=[,]polyfit(x,y,1)%運(yùn)行結(jié)果ans = %擬合后兩圖的對(duì)比x=[1:12]y=[,]y0=*x+plot(x,y,39。, , 且互相獨(dú)立.仍采用最小二乘法估計(jì)參數(shù),即求使達(dá)到最小的,可以利用微分法,建立正規(guī)方程組,并令其為0,得p+1個(gè)方程, 非線性最小二乘估計(jì)就是上時(shí)的解. 設(shè)一發(fā)射源的發(fā)射強(qiáng)度公式為與的數(shù)據(jù)如表12.表12 發(fā)射源數(shù)據(jù)表試用最小二乘法確定.由公式(14)和(15),先求數(shù)據(jù)表如表13所示.表13 與的數(shù)據(jù)表由最小二乘擬合原理,得則其解為所以即發(fā)射強(qiáng)度公式近似為. 發(fā)射源指數(shù)擬合圖 總結(jié)綜上所述,最小二乘法就是以最小二乘原理為依據(jù),同時(shí)解出一組未知參量的最佳值,它所做出的曲線擬合能夠清晰地表現(xiàn)出變量間的函數(shù)關(guān)系,建立模型函數(shù),根據(jù)經(jīng)驗(yàn),有以下圖作參考,. 函數(shù)圖形 函數(shù)圖形 函數(shù)圖形 函數(shù)圖形 函數(shù)圖形 函數(shù)圖形 函數(shù) 圖形 函數(shù)圖形由實(shí)際數(shù)據(jù),建立出比較合適的模型,在求解模型的系數(shù)中可以借助計(jì)算機(jī)軟件,如matlab,最終得到比較理想的擬合函數(shù).當(dāng)然,有些時(shí)候也可以先把擬合的模型化為比較好處理的函數(shù),例如,對(duì)函數(shù),可以令,只要擬合和的函數(shù),再把x和y回代即可,以下給出常用函數(shù)與之間的變換,如表14所示.表14 線性化變化函數(shù)線性化形式變量與常數(shù)變換在實(shí)際中,由于數(shù)據(jù)的不確定性與不穩(wěn)定性,因?yàn)榻o出的函數(shù)過(guò)于簡(jiǎn)單往往并不能真實(shí)反映實(shí)際問(wèn)題,而過(guò)于復(fù)雜,對(duì)不同的實(shí)際問(wèn)題,應(yīng)靈活建立數(shù)學(xué)模型,結(jié)合計(jì)算機(jī)軟件,準(zhǔn)確的擬合出模型函數(shù).第二章 最小二乘法在建模中的應(yīng)用隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,. 應(yīng)用舉例 已知一組離散數(shù)據(jù)如表21,試用二次多項(xiàng)式進(jìn)行曲線擬合,并求出誤差.表21 數(shù)據(jù)表012340首先將數(shù)據(jù)點(diǎn)描于坐標(biāo)紙上,. 散點(diǎn)圖然后利用公式計(jì)算內(nèi)積,寫(xiě)出法方程,其法方程為解得故擬合所得的曲線為經(jīng)計(jì)算所得的誤差為對(duì)于給定的離散數(shù)據(jù)也可以用二次多項(xiàng)式擬合,故當(dāng)其是二次多項(xiàng)式時(shí),經(jīng)計(jì)算得法方程為解得故擬合曲線為.經(jīng)計(jì)算得誤差為故從誤差可以看出,. 一次函數(shù)與二次函數(shù)對(duì)比圖 病態(tài)方程在最小二乘解法中,當(dāng)取時(shí),。是自變量。2)對(duì)非負(fù)的連續(xù)函數(shù),若則在上就稱(chēng)為區(qū)間上的權(quán)函數(shù). 設(shè)上的權(quán)函數(shù),積分稱(chēng)為函數(shù)與在 上的內(nèi)積. 內(nèi)積若滿足下列四條公理:1)2),為常數(shù)3)4),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),則其內(nèi)積定義為 設(shè)為非奇異矩陣,稱(chēng)為矩陣的條件數(shù),(1)如果條件數(shù)很大,則稱(chēng)為病態(tài)方程組(或?yàn)椴B(tài)).(2)當(dāng)相對(duì)較小時(shí),稱(chēng)為良態(tài)方程組(或是良態(tài)的). 設(shè)在給定函數(shù)系,若滿足條件則稱(chēng)函數(shù)系是上帶權(quán)為的正交函數(shù)系. 對(duì)于給定的函數(shù),若次多項(xiàng)式滿足關(guān)系 (11)其中為所有不超過(guò)次的多項(xiàng)式,則稱(chēng)為在區(qū)間上的次最佳平方逼近多項(xiàng)式. 對(duì)于給定函數(shù),如果存在使 (12)則稱(chēng)是在空間中的最佳平方逼近函數(shù). 最佳平方逼近問(wèn)題最佳平方逼近問(wèn)題就是對(duì)于給定的一個(gè)函數(shù), 最佳平方逼近圖由公式(11)和公式(12)要求在給定的函數(shù)類(lèi)中中找到一個(gè)函數(shù) 使?jié)M足,是上給定的權(quán)函數(shù),它表示不同的點(diǎn)地位的強(qiáng)弱,它的地位越重要,:Step1 做出函數(shù)圖形并尋找規(guī)律Step2 設(shè)定數(shù)學(xué)模型,給出函數(shù)空間Step3 利用最佳平方逼近原理求出,滿足表示為是權(quán)函數(shù),具體的求出,相當(dāng)于求解法方程Step4 求出誤差Step5 分析并找出模型的優(yōu)缺點(diǎn),求誤差,若誤差大,則應(yīng)重新建立函數(shù)空間,最佳平方逼近流程圖見(jiàn)附錄A. 曲線擬合問(wèn)題曲線擬合就是對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù),. 曲線擬合圖要求在給定的函數(shù)類(lèi)中找到一個(gè)函數(shù) (nm)使?jié)M足這里.實(shí)用中,為了使問(wèn)題提法更具有一般性,常
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