【正文】 matlab函數(shù)把直接型系數(shù)化成級(jí)聯(lián)型二階節(jié)的系數(shù)：G＝數(shù)組SOS的每行表示一個(gè)二階節(jié)的系數(shù)，第1～3列分別是分子上、的系數(shù)，第4～6列分別是分母上、的系數(shù)。(3)運(yùn)算的累計(jì)誤差較大。a,b分別為分母與分子的系數(shù)，即得到的直接型表示為 (＝1) (322) 將系統(tǒng)函數(shù)由直接型化成級(jí)聯(lián)型由于直接型具有一些共同缺點(diǎn)[16]：(1)系數(shù)對(duì)濾波器的性能控制作用不明顯。 圖312階橢圓濾波器的幅頻相應(yīng)和相頻響應(yīng) 圖312階橢圓濾波器的零極圖圖36說(shuō)明12階橢圓濾波器很好的滿足了給定的阻帶和通帶的衰減。[z,p,k]=ellip(n,rp,rs,wn)。[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn)。Nn=512。 ――把截止頻率轉(zhuǎn)成弧度表示rp=3。wp=[45 55]*2/fs。綜上考慮，采用橢圓函數(shù)濾波器最為適宜。而在IIR濾波器中，橢圓濾波器的階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。借助Matlab仿真，可以得到設(shè)計(jì)成不同類型的濾波器所需的階數(shù)：表3采用不同類型濾波器實(shí)現(xiàn)所需的階數(shù)濾波器類型最低階數(shù)穩(wěn)定性FIR濾波器Kaiser窗函數(shù)201穩(wěn)定Blackman窗函數(shù)180穩(wěn)定Equirpple86穩(wěn)定IIR濾波器Butterworth濾波器26穩(wěn)定ChebishevⅡ?yàn)V波器16穩(wěn)定橢圓濾波器12穩(wěn)定 可見，F(xiàn)IR濾波器階數(shù)過(guò)高，導(dǎo)致的直接結(jié)果是消耗的資源較多，成本增加。其它類型的FIR濾波器和IIR濾波器也都可以使用FDATool來(lái)設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)完成后將結(jié)果保存為*.fda文件。Window Specifications選項(xiàng)，當(dāng)選取采用窗函數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，該選項(xiàng)可定義，它包含了各種窗函數(shù)，在通帶內(nèi)的衰減為6dB。例如設(shè)計(jì)帶通濾波器時(shí)，可以定義Wstop1(頻率Fstop1處的幅值衰減)、Wpass(通帶范圍內(nèi)的幅值衰減)、Wstop2(頻率Fstop2處的幅值衰減)。采用窗函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，由于過(guò)渡帶是由窗函數(shù)的類型和階數(shù)所決定的，所以只需要定義通帶截止頻率，而不必定義阻帶參數(shù)。Frenquency Specifications選項(xiàng)，可以詳細(xì)定義頻帶的各參數(shù)，包括采樣頻率Fs和頻帶的截止頻率。Filter Order(濾波器階數(shù))選項(xiàng)，定義濾波器的階數(shù)，包括Specify Order(指定階數(shù))和Minimum Order(最小階數(shù))。Design Filter部分主要分為：Filter Type(濾波器類型)選項(xiàng)，包括Lowpass(低通)、Highpass(高通)、Bandpass(帶通)、Bandstop(帶阻)和特殊的FIR濾波器。它操作簡(jiǎn)單，方便靈活。 Analysis Tool)是MATLAB信號(hào)處理工具箱里專用的濾波器設(shè)計(jì)分析工具，(Filter Design Toolbox)。利用MATLAB設(shè)計(jì)濾波器，可以隨時(shí)對(duì)比設(shè)計(jì)要求和濾波器特性調(diào)整參數(shù)，直觀簡(jiǎn)便，極大的減輕了工作量，有利于濾波器設(shè)計(jì)的最優(yōu)化。利用MATLAB信號(hào)處理工具箱(Signal Processing Toolbox)[1214]可以快速有效的設(shè)計(jì)由軟件組成的常規(guī)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法。 當(dāng)Ωc、Ωs、ε和A確定后，階次N的確定方法為 ： 確定參數(shù)確定參量N=式中K(k)= 為第一類完全橢圓積分。 圖中ε和A的定義與切比雪夫?yàn)V波器相同。 L越大，ΩL也變大。 圖3 N=5時(shí) 的特性曲線 (315)c. 階數(shù)N—由阻帶的邊界條件確定。 振幅平方函數(shù)為 (37)式中 —有效通帶截止頻率—與通帶波紋有關(guān)的參量,大,波紋大,0 1。 切比雪夫?yàn)V波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化?？紤]到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知DF的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點(diǎn)(SP3，SP4，SP5)組成的，它們分別為： (33)系統(tǒng)函數(shù)為： (34)令 ，得歸一化的三階BF： (35)如果要還原的話，則有 (36) 切比雪夫?yàn)V波器巴特奧茲低通濾波器的幅頻特性隨Ω的增加而單調(diào)下降，當(dāng)N較小時(shí)，阻帶幅頻特性下降較慢，要想使其幅頻特性接近理想低通濾波器，就必須增加濾波器的階數(shù)，這就將導(dǎo)致模擬濾波器使用的原件增多，線路趨于復(fù)雜。Ω=Ωc, ,幅度衰減，相當(dāng)于3db衰減點(diǎn)。通帶內(nèi)，分母Ω/Ωc1, ( Ω/Ωc)2N1，A(Ω2)→1。其幅度平方函數(shù)： (31)N為濾波器階數(shù)，如圖31圖3 巴特沃斯濾波器振幅平方特性通帶： 使信號(hào)通過(guò)的頻帶阻帶：抑制噪聲通過(guò)的頻帶過(guò)渡帶：通帶到阻帶間過(guò)渡的頻率范圍 Ωc ：截止頻率。但按一定規(guī)則構(gòu)成的實(shí)際濾波器的幅頻特性可逼近理想濾波器的幅頻特性，例如巴特奧茲(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)濾波器和橢圓濾波器等。第3章 數(shù)字濾波器的算法設(shè)計(jì)及仿真 由模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器在之前的部分中已經(jīng)說(shuō)明，理想的濾波器是非因果的，即物理上不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。分析本次要討論的問(wèn)題，根據(jù)需要，從技術(shù)指標(biāo)上來(lái)看兩種均可實(shí)現(xiàn)；從實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)方法來(lái)看，IIR較為合適；從完成設(shè)計(jì)所用的硬件成本來(lái)看，IIR更為適宜。而且，目前已經(jīng)有很多FIR濾波器的計(jì)算機(jī)程序可供使用。FIR濾波器則靈活很多，例如頻率抽樣法可適應(yīng)各種幅度特性和相位特性的要求。一般FIR濾波器設(shè)計(jì)僅有計(jì)算機(jī)程序可資利用，因而要借助于計(jì)算機(jī)。FIR濾波器則一般沒有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式。(5) 從設(shè)計(jì)上看，IIR濾波器可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的現(xiàn)成的閉合公式、數(shù)據(jù)和表格，可以用完整的設(shè)計(jì)公式來(lái)設(shè)計(jì)各種選頻濾波器。(4) 對(duì)于FIR濾波器，由于沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，因此可以用快速傅里葉變換算法，這樣運(yùn)算速度可以快得多。IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點(diǎn)必須在z平面單位圓內(nèi)才能穩(wěn)定。就這一點(diǎn)來(lái)看，F(xiàn)IR濾波器優(yōu)于IIR濾波器。對(duì)于IIR濾波器，選擇性越好，其相位的非線性越嚴(yán)重。這就是說(shuō)FIR濾波器的階數(shù)要高5～10倍左右。在相同的技術(shù)指標(biāo)要求下，由于IIR數(shù)字濾波器存在輸出對(duì)輸入的反饋，因此可以用較少的階數(shù)來(lái)滿足要求，所用的存儲(chǔ)單元少，運(yùn)算次數(shù)少，較為經(jīng)濟(jì)。 IIR濾波器與FIR濾波器的分析比較前面已經(jīng)介紹了IIR和FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，選擇哪一種濾波器取決于每種類型濾波器的優(yōu)點(diǎn)在設(shè)計(jì)中的重要性。 為了提高逼近質(zhì)量，減少通帶邊緣由于抽樣點(diǎn)的陡然變化而引起的起伏振蕩。缺點(diǎn)：抽樣頻率只能等于 2π/N 的整數(shù)倍，或等于2π/N 的整數(shù)倍加上π/N。頻率抽樣法則是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng) 加以等間隔抽樣得到 ，然后以此 作為實(shí)際FIR濾波器的頻率特性的抽樣值H(k)，即 (216) a、窗譜主瓣盡可能窄，以獲取較陡的過(guò)渡帶；b、盡量減小窗譜的最大旁瓣的相對(duì)幅度；即能量集中于主瓣，使肩峰和波紋減小，增大阻帶的衰減。(4)對(duì)窗函數(shù)的要求(2)在截止頻率的兩邊的地方即過(guò)渡帶的兩邊，出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。 其中,為矩形窗譜, 是FIR濾波器頻率響應(yīng).窗函數(shù)設(shè)計(jì)法： FIR濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)的特點(diǎn)：其單位沖激響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)(),系統(tǒng)函數(shù)為： (212)在有限Z平面有(N1)個(gè)零點(diǎn)，而它的(N1)個(gè)極點(diǎn)均位于原點(diǎn)z=0處。 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法IIR濾波器[7]的優(yōu)點(diǎn)是可利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果，缺點(diǎn)是相位是非線性的，若需要線性相位，則要用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行校正。s 平面到z 平面的變換可采用 (25) (26)令 ，有： (27)從s1 平面到z 平面的變換,即 (28)代入上式，得到： (29) 一般來(lái)說(shuō)，為使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可引入代定常數(shù)c， (210)則 (211) 這種s 平面與z 平面間的單值映射關(guān)系就是雙線性變換。雙線性變換法[8]是指首先把s 平面壓縮變換到某一中介平面s1 的一條橫帶(寬度為2πT,即從 πT到πT) ,然后再利用的關(guān)系把s1平面上的這條橫帶變換到整個(gè)z 平面。s z 映射的方法有：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法等。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有完整的設(shè)計(jì)公式，而且還有較為完整的圖表供查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會(huì)給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來(lái)很大方便，IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟是：(1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)；(2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器H(s)；(3)在按一定規(guī)則將H(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。圖2低通濾波器頻率響應(yīng)幅度特性的容限圖與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是周期性的，周期為2π。 1 AP≤| H(ejω)| ≤1 |ω|≤ωc在阻帶中： |H(ejω)| ≤ Ast ωst ≤|ω|≤ωc其中ωc 為通帶截止頻率, ωst為阻帶截止頻率，Ap為通帶誤差, Ast為阻帶誤差。以低通濾波器特性為例，頻率響應(yīng)有通帶、過(guò)渡帶及阻帶三個(gè)范圍。 濾波器的性能指標(biāo)我們?cè)谶M(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。(3)性能分析和計(jì)算機(jī)仿真上兩步的結(jié)果是得到以差分或系統(tǒng)函數(shù)或沖激響應(yīng)描述的濾波器。通常采用理想的數(shù)字濾波器模型。因此，本文中濾波器的設(shè)計(jì)就以線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)為例。對(duì)于相位響應(yīng)指標(biāo)形式，通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具有線性相位。它以分貝值的形式給出要求。它提供對(duì)幅度響應(yīng)函數(shù)的要求，一般應(yīng)用于FIR濾波器的設(shè)計(jì)。幅度指標(biāo)主要以兩種方式給出。在很多實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)字濾波器常常被用來(lái)實(shí)現(xiàn)選頻操作。隨著MATLAB軟件尤其是MATLAB的信號(hào)處理工作箱的不斷完善，不僅數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)有了可能，而且還可以使設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)化。FIR濾波器的沖激響應(yīng)只能延續(xù)一定時(shí)間，在工程實(shí)際中可以采用遞歸的方式實(shí)現(xiàn)，也可以采用非遞歸的方式實(shí)現(xiàn)。IIR濾波器的特征是，具有無(wú)限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)。如圖所示：圖2 FIR濾波器的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)，因而在需要控制傳輸零點(diǎn)時(shí)可以采用這種結(jié)構(gòu)。 直接由差分方程得出的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖22所示：圖2 橫截型(直接型﹑卷積型)若h(n)呈現(xiàn)對(duì)稱特性，即此FIR濾波器具有線性相位，則可以簡(jiǎn)化加橫截型結(jié)構(gòu)，下面分情況討論：圖2N為奇數(shù)時(shí)線形相位FIR濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu) 圖2N為偶數(shù)時(shí)線性相位FIR濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)(2)FIR濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)將H(z)分解成實(shí)系數(shù)二階因子的乘積形式： (24) FIR濾波器實(shí)現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)有：(1)FIR濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)表示系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的差分方程可寫作： a、直接型 b、并聯(lián)型c、串聯(lián)型圖2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu) FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)FIR濾波器[7]的單位抽樣響應(yīng)為有限長(zhǎng)度，一般采用非遞歸形式實(shí)現(xiàn)。 缺點(diǎn)： 各二階節(jié)零、極點(diǎn)的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運(yùn)算誤差； 簡(jiǎn)化實(shí)現(xiàn)，用一個(gè)二階節(jié)，通過(guò)變換系數(shù)就可實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)； (3)IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響，總的誤差小，對(duì)字長(zhǎng)要求低。 極點(diǎn)位置可單獨(dú)調(diào)整； (2)IIR濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)；特點(diǎn)：然而，當(dāng)需要考慮有限寄存器長(zhǎng)度的影響時(shí)，往往也采用并非最少乘法器和延遲單元的結(jié)構(gòu)。前面已經(jīng)說(shuō)明，對(duì)于一個(gè)給定的線形時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，有著各種不同的等效差分方程或網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。不同的運(yùn)算處理方法決定了濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同。因此，有必要對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有一基本認(rèn)識(shí)。不論軟件實(shí)現(xiàn)還是硬件實(shí)現(xiàn)，在濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程中，由同一系統(tǒng)函數(shù)可以構(gòu)成很多不同的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。IIR(無(wú)限沖激響應(yīng))濾波器與FIR(有限沖激響應(yīng))濾波器在結(jié)構(gòu)上有自己不同的特點(diǎn)，在設(shè)計(jì)時(shí)需綜合考慮。在不考慮量化影響時(shí)，這些不同的實(shí)現(xiàn)方法是等效的；但在考慮量化影響時(shí)，這些不同的實(shí)現(xiàn)方法性能上就有差異。對(duì)于研究系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法，即它的運(yùn)算結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，用框圖表示最為直接。而采用數(shù)字技術(shù)則避免很多類似的難題，當(dāng)然數(shù)字濾波器在其他方面也有很多突出的優(yōu)點(diǎn)，在前面部分已經(jīng)提到，這些都是模擬技術(shù)所不能及的，所以采用數(shù)字濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理是目前的發(fā)展方向。隨著信息時(shí)代數(shù)字時(shí)代的到來(lái)，數(shù)字濾波技術(shù)已經(jīng)成為一門極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。DSP芯片較之單片機(jī)有著更為突出的優(yōu)點(diǎn)，如內(nèi)部帶有乘法器、累加器，采用流水線工作方式及并行結(jié)構(gòu)，多總線，速度快，配有適于信號(hào)處理的指令等，DSP芯片的問(wèn)世及飛速發(fā)展，為信號(hào)處理技術(shù)應(yīng)用于工程實(shí)際提供了可能。目前單片機(jī)的發(fā)展速度很快，功能也很強(qiáng)依靠單片機(jī)的硬件環(huán)境