【正文】 9。image(X)。)。 %對(duì)新的小波分解結(jié)構(gòu) [nc， s]進(jìn)行重構(gòu) xx=waverec2(nc,s,39。s39。d39。)。,c,s,n,p,39。 nc=wthcoef2(39。s39。h39。 %提取小波分解中第一層的低頻圖像，即實(shí)現(xiàn)了低通濾波去噪 %設(shè)置尺度向量 n n=[1,2] 設(shè)置閾值向量 p p=[,]。coif339。)。 title(39。image(X)。,init) x=X+10*randn(size(X))。randn(39。)。 title(39。image(X)。 load facets。由于原始圖像中只喊有較少的高頻噪聲，如果按照上一個(gè)例子把高頻噪聲全部濾掉的方法將損壞圖像中固有的高頻有用信號(hào)。從去噪的結(jié) 果可以看出，它具有 15 較好的去噪效果。 axis square。第二次去噪圖像 39。image(a2)。,2)。,c,s,39。 %提取小波分解中第二層的低頻圖 像，即實(shí)現(xiàn)了低通濾波去噪 %相當(dāng)于把第一層的低頻圖像經(jīng)過(guò)再一次的低頻濾波處理 a2=wrcoef2(39。)。 title(39。 %畫(huà)出去噪后的圖像 subplot(223)。sym439。a39。)。 %下面進(jìn)行圖像的去噪處理 %用小波函數(shù) sym4對(duì) x進(jìn)行 2層小波分解 [c,s]=wavedec2(x,2,39。)。 title(39。image(x)。,init) x=X+38*randn(size(X))。randn(39。)。 title(39。image(X)。 load wmandril。由于圖像所含的噪聲主要是白噪聲，而且主要集中在圖像的高頻部分，所以我們可以通過(guò)全部濾掉圖像中的高頻部分實(shí)現(xiàn)圖像的去噪。 axis square 輸出結(jié)果從圖中 3 個(gè)圖像的比較可以看出， Matlab 中的 ddencmp 和 wdencmp 函數(shù)可以有效地進(jìn)行去噪處理。去噪后的圖像 39。image(Xdenoise)。,2,thr,sorh,keepapp)。,c,s,39。 [Xdenoise,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp(39。wv39。den39。)。 axis square %用 sym5小波對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行二層的小波分解 [c,s]=wavedec2(X,2,39。含噪聲的圖像 Xnoise39。image(wcodemat(X,192))。原始圖像 X39。image(wcodemat(X,192))。 %顯示原始圖像及它的含噪聲的圖像 colormap(map)。,init)。 rand(39。 Matlab 的去噪函數(shù)有 ddencmp， wdencmp 等，其去噪過(guò)程可以按照如下程序進(jìn)行。根據(jù)小波分解的第 N 層的低頻系數(shù)和經(jīng)過(guò)修改的從第一層到第 N 層的各層高 頻系數(shù)計(jì)算二維信號(hào)的小波重構(gòu)。對(duì)于從 1 到 N 的每一層，選擇一個(gè)閾值，并對(duì)這一層的高頻系數(shù)進(jìn)行軟閾值量化處理。選擇一個(gè)小波和小波分解的層次 N，然后計(jì)算信號(hào) s 到第N 層的分解。 e(i,j) i,j=0,1,?， m1 其中， e 是標(biāo)準(zhǔn)偏差不變的高斯白噪聲。 小波分析用于圖像去噪 對(duì)二維圖像信號(hào)的去噪方法 同樣適用于一維信號(hào)，尤其是對(duì)于幾何圖像更適合。 最后需要說(shuō)明的一點(diǎn)，對(duì)高頻成分很多的圖像，小波包的分解細(xì)節(jié)信息的特點(diǎn)尤其能發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)。在將小波包用于信號(hào)壓縮的過(guò) 程中， ddencmp 命令返回的最優(yōu)小波樹(shù)標(biāo)準(zhǔn)都是閾值化標(biāo)準(zhǔn)。 plot(treed)。%39。零系數(shù)成分 39。%39。能量成分 39。)。title(39。 subplot(122)。原始圖像 39。image(wcodemat(X,nbc))。 ％更改索引表為 pink 索引表 colormap(pink(nbc))。sym439。wp39。cmp39。 load julia ％求顏色索引表長(zhǎng)度 nbc=size(map,1)。而壓縮的核心思想既是盡可能去處各小波域系數(shù)之間的信息關(guān)聯(lián)，最大限度體現(xiàn)時(shí)頻局部化的信息，因此，實(shí)際的壓縮算法多采用小波包算法，而小波樹(shù)的確定則是根據(jù)不同的信息論準(zhǔn)則，以達(dá)到分解系數(shù)表達(dá)的信息密度最高。全局閾值化方法作用的信息粒度太大，不夠精細(xì)，所以很難同時(shí)獲得高的壓縮比和能量保留成分，在作用的 11 分層閾值以后，性能明顯 提高，因?yàn)榉謱娱撝蹈荏w現(xiàn)信號(hào)固有的時(shí)頻局部特性。但是要很好的進(jìn)行圖像的壓縮，需要綜合的利用多種其他技術(shù)，特別是數(shù)據(jù)的編碼與解碼算法等，所以利用小波分析進(jìn)行圖像壓縮通常需要利用小波分析和許多其他相關(guān)技術(shù)共同完成。)。 perf0 disp(39。小波分解系數(shù)中置 0的系數(shù)個(gè)數(shù)百分比 ： 39。)。colormap(map) title(39。 %將壓縮后的圖像與原始圖像相比較，并顯示出來(lái) subplot(222)。db339。gbl39。,X)。,39。 %使用 wavedec2函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像的壓縮 [thr,sorh,keepapp]=ddencmp(39。db339。)。colormap(map) title(39。 %顯示圖像 subplot(221)。 原始圖像50 100 150 200 25050100150200250分解后低頻和高頻信息100 200 300 400 500100200300400500第一次壓縮20 40 60 80 100 12020406080100120第二次壓縮20 40 60204060 圖 3 利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮 下面再給出用 wdenemp 函數(shù)對(duì)一個(gè)圖像（文件名 ）進(jìn)行壓縮的程序。在上面的例子中，我們還可以只提取小波分解第 ?層的低頻信息。可以看出，第一次壓縮提取的是原始圖像中小波分解第一層的低頻信息，此時(shí)壓縮效果較好，壓縮比較小（約為 1/3）：第二次壓縮是提取第一層分解低頻部分的低頻部分（即小波分解第二層的低頻部分），其壓縮比較大（約為 1/12），壓縮效果在視覺(jué)上也基本過(guò)的去。ca239。)。 disp(39。第二次壓縮 39。colormap(map)。 subplot(224)。,0)。 %首先對(duì)第 二層信息進(jìn)行量化編碼 ca2=wcodemat(ca2,440,39。39。ca139。)。 disp(39。第一次壓縮 39。colormap(map)。 subplot(223)。,0)。 ca1=wcodemat(ca1,440,39。39。)。 axis square title(39。 %顯示分解后各頻率成分的信息 subplot(222)。 c1=[a1,h1。39。d39。,1)。,c,s,39。 v1=wrcoef2(39。39。h39。,1)。,c,s,39。 %分別對(duì)各頻率成分進(jìn)行重構(gòu) a1=wrcoef2(39。d39。,c,s,1)。 cv1=detcoef2(39。h39。,1)。 %提取小波分解結(jié)構(gòu)中第一層低頻系數(shù)和高頻系數(shù) ca1=appcoef2(c,s,39。39。X39。)。 8 axis square disp(39。原始圖像 39。image(X)。 load wbarb。對(duì)一個(gè)圖像來(lái)說(shuō)，表現(xiàn)一個(gè)圖像最主要的部分是低頻部分，所以一個(gè)最簡(jiǎn)單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。一個(gè)圖像作小波分解后，可得到一系列不同分 辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對(duì)應(yīng)的頻率是不相同的。小波分析用于圖像壓縮具有明顯的優(yōu)點(diǎn)。 利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮 二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面。 最后需要說(shuō)明的是本例只是為了演示小波分析應(yīng)用在圖像局部壓縮的方法，在實(shí)際的應(yīng)用中，可能不會(huì)只做一層變換，而且作用閾值的方式可能也不會(huì)是將局部細(xì)節(jié)系數(shù)全部清除，更一般的情況是在 N層變換中 通過(guò)選擇零系數(shù)比例或能量保留成分作用不同的閾值，實(shí)現(xiàn)分片的局部壓縮。 ％ 求壓縮信號(hào)的能量成分 per=norm(rx)/norm(X) per = ％求壓縮信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差 7 err=norm(rxX) err = 原始圖像50 100 150 200 25050100150200250一層分解后各層系數(shù)圖像100 200 300 400 50020406080100120壓縮圖像50 100 150 200 25050100150200250處理后各層系數(shù)圖像100 200 300 400 50020406080100120 圖 2 利用小波變換的局部壓縮圖像 從圖 1可以看出， 小波域的系數(shù)表示的是原圖像各頻率段的細(xì)節(jié)信息，并且給我們提供了一種位移相關(guān)的信息表述方式，我們可以通過(guò)對(duì)局部細(xì)節(jié)系數(shù)處理來(lái)達(dá)到局部壓縮的效果。處理后各層系數(shù)圖像 39。image(codrx),colormap(map)。)。title(39。 subplot(223)。一 層分解后各層系數(shù)圖像 39。image(codx),colormap(map)。)。title(39。 subplot(221)。sym439。 codrcd1=wcodemat(rcd1,192)。 codrch1=wcodemat(rch1,192)。 rcd1(33:97,33:97)=zeros(65,65)。 ％將三個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)的中部置零 rch1(33:97,33:97)=zeros(65,65)。 rcv1=cv1。 ％將四個(gè)系數(shù)圖像組合為一個(gè)圖像 codx=[codca1,codch1,codcv1,codcd1] ％復(fù)制原圖像的小波系數(shù) rca1=ca1。 codcv1=wcodemat(cv1,192)。 codca1=wcodemat(ca1,192)。sym439。 下面我 們利用小波變化的時(shí)頻局部化特性，舉一個(gè)局部壓縮的例子，可以通過(guò)這個(gè)例子看出小波變換在應(yīng)用這類問(wèn)題上的優(yōu)越性。 但是這種應(yīng)用的需求是很廣泛的，比如遙感測(cè)控圖像，要求在整幅圖像有很高壓縮比的同時(shí)，對(duì)熱點(diǎn)部分的圖像要有較高的分辨率，例如醫(yī)療圖像，需要對(duì)某個(gè)局部的細(xì)節(jié)部分有很高的分辨率，單純的頻域分析的方法顯然不能達(dá)到這個(gè)要求，雖然可以通過(guò)對(duì)圖像進(jìn)行分快分解，然后對(duì)每塊作用不同的閾值或掩碼來(lái)達(dá)到這個(gè)要求，但分塊大小相對(duì)固定，有失靈活。 (8)Meyer 小波 Meyer 小波函數(shù) ? 和尺度函數(shù) ? 都是在頻率域中進(jìn)行定義的，是具有緊支撐的正交小波。 (7)Mexican Hat（ mexh）小波 Mexican Hat 函數(shù)為 2/24/1 2)1(32)( xexx ?? ??? ? (14) 它是 Gauss 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，因?yàn)樗衲鞲缑钡慕孛?，所以有時(shí) 稱這個(gè)函數(shù)為墨西哥帽函數(shù)。 Symlets 函數(shù)系通常表示為 symN（ N=2， 3，?， 8）的形式。從支撐長(zhǎng)度的角度看， coifN 具有和 db3N 及 5 sym3N 相同的支撐長(zhǎng)度；從消失矩的數(shù)目來(lái)看， coifN 具有和 db2N 及 sym2N 相同的消失矩?cái)?shù)目。 Biorthogonal函數(shù)系通常表示為 的形式： Nr=1 Nd=1， 3， 5 Nr=2 Nd=2， 4， 6， 8 Nr=3 Nd=1， 3， 5， 7， 9 Nr=4 Nd=4 Nr=5 Nd=5 Nr=6 Nd=8 其中， r 表示重構(gòu)， d 表示分解。假設(shè) ?????? 101)( NkkkNk yCyP ，其中， kNkC ??1 為二項(xiàng)式的系數(shù)，則有 )2(s in)2(c os)( 2220 ??? Pm N? (13) 其中 ??