[整理]高中函數(shù)值域的求法-文庫(kù)吧資料
2025-07-02 03:30本頁(yè)面
【正文】 。3} ∴再檢驗(yàn) y=1 代入①求得 x=2 ∴y185。 定義域 { x| x185。1時(shí) ∵x206。因此，用判別式求函數(shù)值域時(shí)，變形過(guò)程必須等價(jià)，必須考慮原函數(shù)得定義域，判別式存在的前提，并注意檢驗(yàn)區(qū)間端點(diǎn)是否符合要求。故函數(shù)得值域?yàn)?。錯(cuò)因：解法中忽視了新變?cè)獫M(mǎn)足條件。四、注意變量代換中新、舊變量取值范圍的一致性例4：求函數(shù)的值域。由函數(shù)得定義域?yàn)橐字?，因此函?shù)得最小值不可能為。故函數(shù)得值域?yàn)?。三、注意變形后函?shù)值域的變化例3：求函數(shù)的值域。錯(cuò)因：解中函數(shù)式化為方程時(shí)產(chǎn)生了增根（與雖不在定義域內(nèi)，但是方程的根），因此最后應(yīng)該去掉與時(shí)方程中相應(yīng)的值。綜合（1）、（2）知此函數(shù)的值域?yàn)槎⒆⒁夂瘮?shù)式變形中自變量的取值范圍的變化例2：求函數(shù)的值域。事實(shí)上，時(shí)，方程（＊）的二次項(xiàng)系數(shù)為0，顯然不能用“”來(lái)判定其根的存在情況。錯(cuò)解：原式變形為 （＊）∵，∴，解得。一、判別式法求值域的理論依據(jù)例 求函數(shù)的值域象這種分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)可以考慮用判別式法求值域。一是不理解為什么可以這樣做，二是學(xué)生對(duì)哪些函數(shù)求值域可以用判別式法，哪些函數(shù)不能也比較模糊。小結(jié)：已知分式函數(shù) ，如果在其自然定義域內(nèi)可采用判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為（選）的形式，采用部分分式法，進(jìn)而用基本不等式法求出函數(shù)的最大最小值；如果不滿(mǎn)足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性去解。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 求的值域；例5 （三角換元法）求函數(shù)的值域解： 設(shè) 小結(jié)：（1）若題目中含有，則可設(shè) （2）若題目中含有則可設(shè)，其中（3）若題目中含有，則可設(shè)，其中（4）若題目中含有，則可設(shè)，其中 （5）若題目中含有，則可設(shè)其中3 平方法例5 （選）求函數(shù) 的值域解：函數(shù)定義域?yàn)椋? 4 分離常數(shù)法 例6 求函數(shù) 的值域由 ，可得值域小結(jié)：已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對(duì)變量的要求）內(nèi)，值域?yàn)?；如果是條件定義域（對(duì)自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為，用復(fù)合函數(shù)法來(lái)求值域。它的應(yīng)用十分廣泛。(答案：｛y|y≥3｝)2 換元法例4 求函數(shù) 的值域 解：設(shè)，則 點(diǎn)評(píng)：將無(wú)理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域?！嗪瘮?shù)的值域?yàn)椤 ? 求函數(shù) 的值域 解： 對(duì)稱(chēng)軸 1 單調(diào)性法例3 求函數(shù)y=4x－(x≤1/3)的值域。 求值域問(wèn)題利用常見(jiàn)函數(shù)的值域來(lái)求（直接法）一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；反比例函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x0}，值域?yàn)閧y|y0}；二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)a0時(shí)，值域?yàn)閧}；當(dāng)a0時(shí)，值域?yàn)閧}.例1 求下列函數(shù)的值域① y=3x+2(1x1) ② ③ （記住圖像） 解：①∵1x1，∴33x3，∴13x+25，即1y5，∴值域是[1，5]②略③ 當(dāng)x0，∴=，當(dāng)x0時(shí)，=－∴值域是[2，+).（此法也稱(chēng)為配方法）函數(shù)的圖像為：二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)：例2 求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：①； ②；③； ④； 解：∵，∴頂點(diǎn)為(2,3)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2
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