[整理]高中函數值域的求法(編輯修改稿)
2025-07-23 03:30 本頁面
【文章內容簡介】 1） 時 不成立2） 時，綜合1）、2）值域解法四：（三角換元法）設，則 原函數的值域為10例14 求函數的值域5解法一：（判別式法）化為1）時，不成立2）時，得綜合1）、2）值域解法二：（復合函數法）令，則 所以，值域例15 函數的值域解法一：（判別式法）原式可化為 解法二：（不等式法）1）當時，2） 時，綜合1）2）知，原函數值域為例16 (選) 求函數的值域解法一：（判別式法）原式可化為 解法二：（不等式法）原函數可化為 當且僅當時取等號，故值域為例17 （選） 求函數的值域解：（換元法）令 ，則原函數可化為。小結：已知分式函數 ，如果在其自然定義域內可采用判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為（選）的形式，采用部分分式法，進而用基本不等式法求出函數的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉化為利用函數的單調性去解。利用判別式求值域時應注意的問題用判別式法求值域是求函數值域的常用方法，但在教學過程中，很多學生對用判別式求值域掌握不好。一是不理解為什么可以這樣做，二是學生對哪些函數求值域可以用判別式法，哪些函數不能也比較模糊。本人結合自己的教學實踐談談對本內容的一點體會。一、判別式法求值域的理論依據例 求函數的值域象這種分子、分母的最高次為2次的分式函數可以考慮用判別式法求值域。解：由得：（y1）x2+(1y)x+y=0 ①上式中顯然y≠1,故①式是關于x的一元二次方程用判別式法求函數的值域是求值域的一種重要的方法，但在用判別式法求值域時經常出錯，因此在用判別式求值域時應注意以下幾個問題：一、要注意判別式存在的前提條件，同時對區(qū)間端點是否符合要求要進行檢驗例：求函數的值域。錯解：原式變形為 （＊）∵，∴，解得。故所求函數的值域是錯因：把代入方程（＊）顯然無解，因此不在函數的值域內。事實上，時，方程（＊）的二次項系數為0，顯然不能用“”來判定其根的存在情況。正解：原式變形為 （＊）（1）當時，方程（＊）無解；（2）當時，∵，∴，解得。綜合（1）、（2）知此函數的值域為二、注意函數式變形中自變量的取值范圍的變化例2：求函數的值域。錯解：將函數式化為（1）當時，代入上式得，∴，故屬于值域；（2）當時， ，綜合（1）、（2）可得函數的值域為。錯因：解中函數式化為方程時產生了增根（與雖不在定義域內，但是方程的根），因此最后應該去掉與時方程中相應的值。所以正確答案為，且。三、注意變形后函數值域的變化例3：求函數的值域。錯解：由已知得 ①，兩邊平方得 ②整理得，由，解得。故函數得值域為。錯因：從①式變形為②式是不可逆的，擴大了的取值范圍。由函數得定義域為易知，因此函數得最小值不可能為?！邥r，∴，故函數的值域應為。四、注意變量代換中新、舊變量取值范圍的一致性例4：求函數的值域。錯解：令，則，∴，由及得值域為。錯因：解法中忽視了新變元滿足條件?！嘣O，。故函數得值域為。綜上所述，在用判別式法求函數得值域時，由于變形過程中易出現不可逆得步驟，從而改變了函數得定義域或值域。因此，用判別式求函數值域時，變形過程必須等價，必須考慮原函數得定義域，判別式存在的前提，并注意檢驗區(qū)間端點是否符合要求。 練習：1 ；解：∵x0，∴y11.另外，此題利用基本不等式解更簡捷：(或利用對勾函數圖像法)2 、0y5.3 、求函數的值域①；
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