全等三角形中做輔助線總結(jié)-文庫吧資料
2025-07-01 04:30本頁面
【正文】 變換中的“對折”．2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小. 3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.中考應用（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖① 當為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(090)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．（二）、截長補短，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點E，求證。求證：AM⊥DC。BADC862 如圖，AB=CD，E為BC的中點，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE。分析：要證AB+AC2AD，由圖想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE∵AD為△ABC的中線（已知）∴BD=CD（中線定義）在△ACD和△EBD中BD=CD（已證）∠1=∠2（對頂角相等）AD=ED（輔助線作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形對應邊相等）∵在△ABE中有：AB+BEAE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB+AC2AD。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中?！唷螰DM=∠EDF=90176。（平角的定義）∴∠3+∠2=90176。證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90176。又∠1+∠F=∠3+∠F=90176。證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90176。BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E?！逜B//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。證明：延長AD到E，使DE=AD。例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90176。解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=22=4。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點為M，連結(jié)ME、MF，∵ME是ΔBCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵MF是ΔABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。（二）、由中點應想到利用三角形的中位線例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。解：因為AD是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=2=1，又因CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=1=。例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。求證：BD=DE+CE四、 由中點想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。EDCBA，△ABC中，∠BAC=90176。CM^AB于M，AT平分208。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G 證明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC如圖，AD為的中線，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求證：提示：方法1：在DA上截取DG=BD，連結(jié)EG、FG 證明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF≌ΔDGF 所以BE=EG、CF=FG 利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長ED至H，連結(jié)CH、FH 證明FH=EF、CH=BE 利用三角形兩邊之和大于第三邊已知：如圖，DABC中，208。求證：CD=DB。MBDCA例4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90176。BD平分ABC。例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180186。DAECB例1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180176。分析：要證：ABACPBPC，想到
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