【正文】 1=∠2，AE=AN，∵∠BAD=90176?！唷螦BE=180176。它的兩邊AM、AN分別交CB、DC與點M、N，連接MN，作AH⊥MN，垂足為點H（1）如圖1，猜想AH與AB有什么數(shù)量關系？并證明；（2）如圖2，已知∠BAC=45176?！螧EF+∠DEA=90176。=135176?！連F平分∠CBM，AN=AE，∴∠EBF=90176。﹣45176?！唷螻DE=∠BEF，∴△DNE≌△EBF，∴DE=EF；（2）DE=EF，證明：連接NE，在DA邊上截取DN=EB，∵四邊形ABCD是正方形，DN=EB，∴AN=AE，∴△AEN為等腰直角三角形，∴∠ANE=45176?！唷螪NE=∠EBF，∵∠NDE+∠DEA=90176。+45176。=135176。∴∠DNE=180176。∴∠BAE=∠HEF，∵AE=EF，∴△ABE≌△EHF，∴AB=EH，BE=FH，∴AB=BC=EH，∴BE+EC=EC+CH，∴CH=BE=FH，∴∠FCN=45176。∴∠DAG=∠BAE，∴△ADG≌△ABE；（2）過F作BN的垂線，設垂足為H，∵∠BAE+∠AEB=90176?！唷螩AB=∠FBD，在RT△ACB和RT△BFD中，∵，∴RT△ACB≌RT△BFD，∴AC=BF，BC=DF，設AC=x，則OM==，CM==，在RT△OCM中，OM2+CM2=OC2，即2（）2=18，解得：x=4，即AC的長度為4．故選C．點評：此題考查了正方形的性質、勾股定理、梯形的中位線定理、全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是正確作出輔助線，構造全等三角形，難度較大．　16．如圖，已知正方形ABCD，點E是BC上一點，以AE為邊作正方形AEFG．（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；（2）連接FC，求證：∠FCN=45176。．　15．在直角三角形ABC中，∠C=90176。．∵四邊形ABDI是正方形，∴AD=AB．又∵四邊形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=AB．∴當∠BAC=135176。且AG=AD．由（2）知，當∠DAG=90176。即當∠BAC=135176。﹣90176。﹣45176。．則∠BAC=360176。﹣∠BAC=180176。﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45176。﹣∠BAC﹣45176。﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360176。．∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45176。且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性質證得，AC=AB．解答：解：（1）圖中四邊形ADEG是平行四邊形．理由如下：∵四邊形ABDI、四邊形BCFE、四邊形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90176。．然后由周角的定義求得∠BAC=135176。即BM⊥DF，∴（1）中的結論仍成立．點評：本題考查了正方形的性質和全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出△FAD≌△MAB，本題具有一定的代表性，主要培養(yǎng)學生運用性質進行推理的能力和猜想能力．　14．以△ABC的各邊，在邊BC的同側分別作三個正方形．他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：（1）如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說明理由．（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？考點：正方形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定；矩形的判定．2097170分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的對應邊DE=AG．然后利用正方形對角線的性質、周角的定義推知∠EDA+∠DAG=180176?！唷螰AM+∠DAM=∠DAB+∠DAM，即∠FAD=∠MAB，∵在△FAD和△MAB中，∴△FAD≌△MAB，∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45176。=90176?！唷螰DB=45176?！唷螰AM﹣∠DAM=∠DAB﹣∠DAM，即∠FAD=∠MAB，∵在△FAD和△MAB中，∴△FAD≌△MAB，∴BM=DF，∠FDA=∠ABD=45176。求出∠ADB=45176。即可；（2）根據(jù)正方形性質求出AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90176。推出∠FAD=∠MAB，證△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45176。∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90176。AB=AC，∴∠ABC=45176。．∵∠BAC=90176。即FC⊥BC，也就是FC⊥BD．（2）當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結合∠BAC=90176。﹣∠DAC=∠FAC，這樣就構成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因為∠B+∠ACB=90176?！嘣凇螻AM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，∴△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ，BN=NU，DQ=UQ，∴點U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正確．故選D．點評：本題利用了正方形的性質，四點共圓的判定，圓周角定理，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質求解．　12．（1）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90176?！唷螦NM=∠NAM=45176。∴A，B，N，M四點共圓，∴∠NAM=∠DBC=45176。在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ=90176?！唷?=∠2，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF；（2）．點評：本題是一個動態(tài)幾何題，考查了正方形性質、矩形的性質、全等三角形的判定以及性質，三角形相似的條件和性質及進行有條理的思考和表達能力，還考查按要求畫圖能力．　11．如圖，邊長一定的正方形ABCD，Q為CD上一個動點，AQ交BD于點M，過M作MN⊥AQ交BC于點N，作NP⊥BD于點P，連接NQ，下列結論：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④為定值．其中一定成立的是（　?。．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；確定圓的條件．2097170專題：動點型．分析：由題可知A，B，N，M四點共圓，進而可得出∠ANM=∠NAM=45176。PG=PH，∠PGE=∠PHF=90176?！螮PB+∠FPQ=90176。PM=PE，∴四邊形AMPE是正方形，∴AM=PM=PE=AE，∵AP=，∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE2+PE2=（）2，解得：AE=AM=PE=PM=1，∴DF=1，設AB=BC=CD=AD=a，則BE=PF=a﹣1，∵∠BEP=∠PFQ=∠BPQ=90176。∴B、C、Q、P四點共圓，∴∠PBC=∠PQD，∠BPC=∠BQC，∴①正確；③正確；過P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，則E、P、F三點共線，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC=BC，∠DAC=∠BAC，∠DAB=90176?！逷Q⊥PB，∴∠BPQ=90176?！螿PE+∠QPF=90176?！唷螧PE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ；（2）PB=PQ，證明：過P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C為正方形對角線AC上的點，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90176?！郟F=PE，∴四邊形PECF為正方形，∵∠BPE+∠QPE=90176。∴∠EOF=90176。．∴四邊形PEBF是矩形，∴BE=PF．（5分）∴BE=FC．∴△OBE≌△OCF，∴OE=OF，∠BOE=∠COF，（7分）∵∠COF+∠BOF=90176。PF=FC．∵正方形ABCD，∠ABC=90176。（4分）∵PF⊥BC，∠BCO=45176?！唷鱋FC≌△OED，∴OE=OF，CF=DE=3cm，則AE=DF=4，根據(jù)勾股定理得到EF==5cm．故答案為5．點評：根據(jù)已知條件以及正方形的性質求證出兩個全等三角形是解決本題的關鍵．　7．在圖1到圖3中，點O是正方形ABCD對角線AC的中點，△MPN為直角三角形，∠MPN=90176?！哒叫蜛BCD∴∠COF+∠DOF=90176?！遧1∥l2∥l3，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（AAS）（畫出L1到L2，L2到L3的距離，分別交L2，L3于E，F(xiàn)）∴BF=AE，∴BF2+CF2=BC2，∴BC2=52+72=74．故面積為74．故選B．點評：本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質以及正方形面積的求解方法，能夠熟練掌握．　5．如圖在平面直角坐標系中正方形OABC的邊OC，OA分別在x軸正半軸上和y軸的負半軸上，點B在雙曲線y=﹣上，直線y=kx﹣k（k＞0）交y軸與F．（1）求點B、E的坐標；（2）連接BE，CF交于M點，是否存在實數(shù)k，使得BE⊥CF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由；（3）F在線段OA上，連BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，當F在線段OA上運動時（不與O、A重合），的值是否變化．若變化，求出變化的范圍；若不變，求其值．考點：反比例函數(shù)綜合題．2097170專題：開放型．分析：（1）把正方形的面積用B點坐標表示求解；（2）用分析法求解．根據(jù)直線解析式的特點，求k只需求滿足條件時OF的長；（3）探索：，代換后得結論為1，所以不變化．解答：解：（1）根據(jù)題意，設B（x，﹣x），∵B在y=﹣的圖象上，∴x2=4，x=177。四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90176?！唷螧AO=∠ADE，∵∠AOB=∠DEA=90176。AB=AD．∴∠BAO+∠DAE=90176。﹣∠1，在△ABE和△DCN中，AB=DC，∠ABE=∠DCN，∠AEB=∠DNC=90176。=90176。AD=DC．∴∠MDA+∠NDC=180176。=90176。（垂直的定義）．∴∠MAD+∠MDA=180176。所以∠1+∠MNR=90176?！唷螪GF=90176。試判斷線段PD、PG、BG之間有何關系，并證明你的結論．　28．如圖，一個直角三角形的直角頂點P在正方形ABCD的對角線AC所在的直線上滑動，并使得一條直角邊始終經(jīng)過B點．（1）如圖1，當直角三角形的另一條直角邊和邊CD交于Q點，=　_________　；（2）如圖2，當另一條直角邊和邊CD的延長線相交于Q點時，=　_________??；（3）如圖3或圖4，當直角頂點P運動到AC或CA的延長線上時，請你在圖3或圖4中任選一種情形，求的值，并說明理由．　29．已知，如圖在正方形OADC中，點C的坐標為（0，4），點A的坐標為（4，0），CD的延長線交雙曲線y=于點B．（1）求直線AB的解析式；（2）G為x軸的負半軸上一點連接CG，過G作GE⊥CG交直線AB于E．求證CG=GE；（3）在（2）的條件下，延長DA交CE的延長線于F，當G在x的負半軸上運動的過程中，請問的值是否為定值，若是，請求出其值；若不是，請說明你的理由．　30．如圖，四邊形ABCD位于平面直角坐標系的第一象限，B、C在x軸上，A點函數(shù)上，且AB∥CD∥y軸，AD∥x軸，B（1，0）、C（3，0）．（1）試判斷四邊形ABCD的形狀；（2） 若點P是線段BD上一點PE⊥BC于E，M是PD的中點，連EM、AM．求證：AM=EM；（3）在圖（2）中，連接AE交BD于N，則下列兩個結論：①值不變；②的值不變．其中有且僅有一個是正確的，請選擇正確的結論證明并求其值．　參考答案與試題解析　一．選擇題（共16小題）1．如圖，在正方形ABCD中．（1）若點E、F分別在AB、AD上，且AE=DF．試判斷DE與CF的數(shù)量及位置關系，并說明理由；（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各邊上的點，PQ與MN相交，且PQ=MN，問PQ⊥MN成立嗎？為什么？考點：正方形的性質．2097170專題：探究型．分析：（1）由已知易得△DAE≌△CDF，故有DE=CF．（2）由點N，Q分別向AB，AD作垂線，構造兩直角三角形全等，由角的等量代換，易得QP⊥MN．解答：解：（1）在正方形ABCD中，AD=DC，AE=DF，∠EAD=∠FDC，所以△EAD≌△FDC，故DE=CF，∴∠EDA=∠FCD，又∵∠DCF+∠DFC=90176。（如圖乙），令CG=2BC其他條件不變，結論是否發(fā)生變化，并加以證明；（2）將正方形CGEF繞點C旋轉任意角度后（如圖丙），其他條件不變．探究：線段MD，MF的位置及數(shù)量關系，并加以證明．　【鞏固練習】25．已知點E是正方形ABCD外的一點，EA=ED，線段BE與對角線AC相交于點F，（1）如圖1，當BF=EF時，線段AF與DE之間有怎樣的數(shù)量關系？并證明；（2）如圖2，當△EAD為等邊三角形時，寫出線段AF、BF、EF之間的一個數(shù)量關系，并證明．　26．如圖1，四邊形ABCD為正方形，E在CD上，∠DAE的平分線交CD于F，BG⊥AF于G，交A