【正文】 將懲罰因子統(tǒng)一用表示，則混合法的懲罰函數(shù)又可表達(dá)為或 當(dāng)受約束于時，則混合法的懲罰函數(shù)的表達(dá)式為或混合法與內(nèi)點(diǎn)法及外點(diǎn)法一樣，屆于序列無約束極小化(SUMT)方法中的一種。它是將內(nèi)點(diǎn)法與外點(diǎn)法的懲罰函數(shù)形式結(jié)合在一起，用來求解既有不等式約束又有等式約束條件的最優(yōu)化問題的。5） 檢驗＞R？若＞R，再用靠近約束面附近的條件極值點(diǎn)的移動距離作為迭代終止準(zhǔn)則來檢驗，即當(dāng) 時，則停止迭代；若或上式不成立，則取=C；=；k=k+1，并轉(zhuǎn)向步驟2）。2） 從點(diǎn)出發(fā)用無約束最優(yōu)化方法求解： 得 其中3） 計算點(diǎn)違反約束的最大量： 4） 檢驗迭代終止準(zhǔn)則：如果滿足則可以認(rèn)為點(diǎn)已接近約束邊界，停止迭代。2．2．3．2 懲罰函數(shù)外點(diǎn)法的迭代步驟：1） 選擇參數(shù)：初始懲罰因子＞0(例如取＝1)；允許誤差 (均應(yīng)大于零)；遞增系數(shù)C(C＝，C＝5一10，可取8)；初始點(diǎn) (可在可行域外部或內(nèi)部任意選擇，不論怎樣選擇，的無約束極值點(diǎn)均在可行域外)；懲罰因子的控制量R，當(dāng)＞R時即可判別是否達(dá)到收斂精度要求?？梢詫土P函數(shù)無約束極值問題的最優(yōu)解看作是以為參數(shù)的一條軌跡，當(dāng)取0……時．點(diǎn)列就沿著這條軌跡趨于原目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)解。同樣有： 0……(當(dāng)時)在懲罰項中：(當(dāng)時) 當(dāng)約束條件中尚包括 (v＝1，2，…，p)的等式約束時，則在式中的右邊尚需加進(jìn)第三項——懲罰項。這就保證了在可行域內(nèi)與是等價的。對于目標(biāo)函數(shù)受約束于的最優(yōu)化設(shè)計問題．利用外點(diǎn)法求解時，作為無約束新目標(biāo)函數(shù)的懲罰函數(shù)，其一般表達(dá)式為 式中右邊第二項——懲罰項； ——構(gòu)造懲罰項函數(shù)的指數(shù)，其值將影響函數(shù)等值線在約束面處的性質(zhì)，一般?。?； ——懲罰因子，是大于零的一個遞增數(shù)列，即應(yīng)滿足： 0…… (當(dāng)時）在懲罰項中：(當(dāng)時） 由此可見，當(dāng)探索點(diǎn)在可行城內(nèi)時，懲罰項為零；若不在可行域內(nèi)，則不為零，且愈大，則受到的“懲罰”亦愈大。2．2．2．2 DFP變尺度法的計算步驟1) 選定初始點(diǎn)并給定計算精度，維數(shù)n；2) 置k＝0，＝(0)＝I(單位矩陣)，計算，這時探索方向為： = 3) 進(jìn)行一維探索求，使 4) 計算，如果＜，則即為極小點(diǎn)，停止迭代，否則轉(zhuǎn)下一步；5）檢查迭代次數(shù)，若k=n（問題的維數(shù)），則=，并轉(zhuǎn)向步驟2），若kn，則進(jìn)行下一步；6) 構(gòu)造新的探索方向 為此應(yīng)計算然后令 k=k+1，轉(zhuǎn)向步驟3)。對于多維(n＞100)問題，由于收斂快、效果亦佳，被認(rèn)為是無約束極值問題最好的優(yōu)化方法之一。求出(k+1)后，便可按式的方法決定新的探索方向：可以證明，這樣產(chǎn)生的方向也是共扼方向，而且對于非二次函數(shù)來說，它比用其它方法產(chǎn)生的共輛方向共扼性更好。計算時可取(0)＝I，即第l步探索是用負(fù)梯度方向。在迭代過程中應(yīng)逐漸地逼近。因為它是用來代替的，而且從一次迭代到另一次迭代是變化的，故稱為變尺度矩陣。由于這一類方法的迭代形式與牛頓法類似。變尺度法是無約束最優(yōu)化方法在最近二十多年來發(fā)展中最有影響的研究成果之一，它被公認(rèn)為求解無約束極值問題最有效的算法之一，這種方法是在牛頓法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。所以在求解時，應(yīng)對做幾次試算，以取得最合適值。這時應(yīng)當(dāng)加大值。通常，當(dāng)初始點(diǎn)是一個嚴(yán)格的內(nèi)點(diǎn)時，則應(yīng)使懲罰項在新目標(biāo)函數(shù)中所起的作用與原目標(biāo)函數(shù)的作用相當(dāng)，于是得 倘若約束區(qū)域是非凸的且初始點(diǎn)亦不靠近約束邊界，則的取值可更小些，約為上式算得值的0．1——0．5倍。相反，若值取得太大，則開始幾次構(gòu)造的懲罰函數(shù)的無約束極值點(diǎn)就會離約束邊界很遠(yuǎn)，將使計算效率降低。2） 初始懲罰參數(shù)的選擇 的選擇對SUMT法的計算效率影響很大，在SUMT法中是個比較重要的環(huán)節(jié)，選擇時需有一定的技巧和經(jīng)驗。求初始可行點(diǎn)的另一種常用方法，可按下述迭代計算步驟進(jìn)行：I） 任取一點(diǎn)，（例如?。?，令k=0；II） 定出下標(biāo)集與： III） 檢查是否為空集，若是則停止迭代，并取塞為初始內(nèi)點(diǎn)，否則進(jìn)行下一步；IV) 以為初始點(diǎn)，解問題受約束于 令所得的這個問題的最優(yōu)解為，轉(zhuǎn)下一步；V） 令＝ (C可取為0．1一0．5，常取0．1亦可取0．02)，令k＝k+1，轉(zhuǎn)向步驟II）。在計算中一旦取得即可以停機(jī)以節(jié)省時間，這樣得到的點(diǎn)作為初始點(diǎn)至少比原初始點(diǎn)要多滿足一個約束條件。但當(dāng)約束條件多而復(fù)雜時，要確定一個初始可行點(diǎn)也并不十分容易。內(nèi)點(diǎn)法的計算程序框圖如圖22所示： 圖22 內(nèi)點(diǎn)法程序框圖2．2．1．3 應(yīng)注意的問題：1） 初始點(diǎn)的選擇因為內(nèi)點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)，故要求嚴(yán)格滿足全部約束條件，且應(yīng)避免位于邊界上，即應(yīng)使。2．2．1．2 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法的迭代步驟：1) 取初始懲罰因子＞0(例如?。?)，允許誤差c＞0；2) 在可行域內(nèi)選取初始點(diǎn)，令k＝l；3) 從點(diǎn)出發(fā)用無約束最優(yōu)化方法求解： 的極值點(diǎn)X*()； 4) 檢驗迭代終止準(zhǔn)則：如果滿足 和 則停止迭代計算，并以X*()為原目標(biāo)函數(shù)的約束最憂解，否則轉(zhuǎn)入下一步；5) ?。紺，＝X*()，k＝k+1，轉(zhuǎn)向步驟3）。因此，懲罰因子又稱為懲罰參數(shù)。為了取得約束面上的最優(yōu)解，在迭代過程中就要逐漸減小懲罰因子的值，直至為零，這樣才能迫使的極值點(diǎn)X*()收斂到原函數(shù)的約束最優(yōu)點(diǎn)X*。因此，第二項使約束邊界成為探索點(diǎn)的一個不能跳出可行域之外的障礙，所以又稱為障礙項或障礙函數(shù)，也有稱圍墻函數(shù)的。只要設(shè)計點(diǎn)x在探索過程中始終保持為可行點(diǎn)，則懲罰項必為正值，且當(dāng)設(shè)計點(diǎn)又由可行域內(nèi)部遠(yuǎn)離約束邊界處移向邊界()時，則懲罰項的值就要急劇增大并趨向無窮大，于是懲罰函數(shù)亦隨之急劇增大直至無窮大。通常?。?．0，0．1，0．01，0．001，…。2．2．1．1 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法原理對于目標(biāo)函數(shù)受約束于的最優(yōu)化問題，利用內(nèi)點(diǎn)法求解時．懲罰函數(shù)的一般表達(dá)式為 =或 =而對于受約束于的最優(yōu)化問題，其懲罰函數(shù)的一般表達(dá)式為 =或