【正文】 將懲罰因子統(tǒng)一用表示，則混合法的懲罰函數(shù)又可表達為或 當受約束于時，則混合法的懲罰函數(shù)的表達式為或混合法與內(nèi)點法及外點法一樣，屆于序列無約束極小化(SUMT)方法中的一種。它是將內(nèi)點法與外點法的懲罰函數(shù)形式結合在一起，用來求解既有不等式約束又有等式約束條件的最優(yōu)化問題的。5） 檢驗＞R？若＞R，再用靠近約束面附近的條件極值點的移動距離作為迭代終止準則來檢驗，即當 時，則停止迭代；若或上式不成立，則取=C；=；k=k+1，并轉(zhuǎn)向步驟2）。2） 從點出發(fā)用無約束最優(yōu)化方法求解： 得 其中3） 計算點違反約束的最大量： 4） 檢驗迭代終止準則：如果滿足則可以認為點已接近約束邊界，停止迭代。2．2．3．2 懲罰函數(shù)外點法的迭代步驟：1） 選擇參數(shù)：初始懲罰因子＞0(例如?。?)；允許誤差 (均應大于零)；遞增系數(shù)C(C＝，C＝5一10，可取8)；初始點 (可在可行域外部或內(nèi)部任意選擇，不論怎樣選擇，的無約束極值點均在可行域外)；懲罰因子的控制量R，當＞R時即可判別是否達到收斂精度要求?？梢詫土P函數(shù)無約束極值問題的最優(yōu)解看作是以為參數(shù)的一條軌跡，當取0……時．點列就沿著這條軌跡趨于原目標函數(shù)的約束最優(yōu)解。同樣有： 0……(當時)在懲罰項中：(當時) 當約束條件中尚包括 (v＝1，2，…，p)的等式約束時，則在式中的右邊尚需加進第三項——懲罰項。這就保證了在可行域內(nèi)與是等價的。對于目標函數(shù)受約束于的最優(yōu)化設計問題．利用外點法求解時，作為無約束新目標函數(shù)的懲罰函數(shù)，其一般表達式為 式中右邊第二項——懲罰項； ——構造懲罰項函數(shù)的指數(shù)，其值將影響函數(shù)等值線在約束面處的性質(zhì)，一般?。?； ——懲罰因子，是大于零的一個遞增數(shù)列，即應滿足： 0…… (當時）在懲罰項中：(當時） 由此可見，當探索點在可行城內(nèi)時，懲罰項為零；若不在可行域內(nèi)，則不為零，且愈大，則受到的“懲罰”亦愈大。2．2．2．2 DFP變尺度法的計算步驟1) 選定初始點并給定計算精度，維數(shù)n；2) 置k＝0，＝(0)＝I(單位矩陣)，計算，這時探索方向為： = 3) 進行一維探索求，使 4) 計算，如果＜，則即為極小點，停止迭代，否則轉(zhuǎn)下一步；5）檢查迭代次數(shù)，若k=n（問題的維數(shù)），則=，并轉(zhuǎn)向步驟2），若kn，則進行下一步；6) 構造新的探索方向 為此應計算然后令 k=k+1，轉(zhuǎn)向步驟3)。對于多維(n＞100)問題，由于收斂快、效果亦佳，被認為是無約束極值問題最好的優(yōu)化方法之一。求出(k+1)后，便可按式的方法決定新的探索方向：可以證明，這樣產(chǎn)生的方向也是共扼方向，而且對于非二次函數(shù)來說，它比用其它方法產(chǎn)生的共輛方向共扼性更好。計算時可取(0)＝I，即第l步探索是用負梯度方向。在迭代過程中應逐漸地逼近。因為它是用來代替的，而且從一次迭代到另一次迭代是變化的，故稱為變尺度矩陣。由于這一類方法的迭代形式與牛頓法類似。變尺度法是無約束最優(yōu)化方法在最近二十多年來發(fā)展中最有影響的研究成果之一，它被公認為求解無約束極值問題最有效的算法之一，這種方法是在牛頓法的基礎上發(fā)展起來的。所以在求解時，應對做幾次試算，以取得最合適值。這時應當加大值。通常，當初始點是一個嚴格的內(nèi)點時，則應使懲罰項在新目標函數(shù)中所起的作用與原目標函數(shù)的作用相當，于是得 倘若約束區(qū)域是非凸的且初始點亦不靠近約束邊界，則的取值可更小些，約為上式算得值的0．1——0．5倍。相反，若值取得太大，則開始幾次構造的懲罰函數(shù)的無約束極值點就會離約束邊界很遠，將使計算效率降低。2） 初始懲罰參數(shù)的選擇 的選擇對SUMT法的計算效率影響很大，在SUMT法中是個比較重要的環(huán)節(jié)，選擇時需有一定的技巧和經(jīng)驗。求初始可行點的另一種常用方法，可按下述迭代計算步驟進行：I） 任取一點，（例如?。頺=0；II） 定出下標集與： III） 檢查是否為空集，若是則停止迭代，并取塞為初始內(nèi)點，否則進行下一步；IV) 以為初始點，解問題受約束于 令所得的這個問題的最優(yōu)解為，轉(zhuǎn)下一步；V） 令＝ (C可取為0．1一0．5，常取0．1亦可取0．02)，令k＝k+1，轉(zhuǎn)向步驟II）。在計算中一旦取得即可以停機以節(jié)省時間，這樣得到的點作為初始點至少比原初始點要多滿足一個約束條件。但當約束條件多而復雜時，要確定一個初始可行點也并不十分容易。內(nèi)點法的計算程序框圖如圖22所示： 圖22 內(nèi)點法程序框圖2．2．1．3 應注意的問題：1） 初始點的選擇因為內(nèi)點法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)，故要求嚴格滿足全部約束條件，且應避免位于邊界上，即應使。2．2．1．2 懲罰函數(shù)內(nèi)點法的迭代步驟：1) 取初始懲罰因子＞0(例如?。?)，允許誤差c＞0；2) 在可行域內(nèi)選取初始點，令k＝l；3) 從點出發(fā)用無約束最優(yōu)化方法求解： 的極值點X*()； 4) 檢驗迭代終止準則：如果滿足 和 則停止迭代計算，并以X*()為原目標函數(shù)的約束最憂解，否則轉(zhuǎn)入下一步；5) ?。紺，＝X*()，k＝k+1，轉(zhuǎn)向步驟3）。因此，懲罰因子又稱為懲罰參數(shù)。為了取得約束面上的最優(yōu)解，在迭代過程中就要逐漸減小懲罰因子的值，直至為零，這樣才能迫使的極值點X*()收斂到原函數(shù)的約束最優(yōu)點X*。因此，第二項使約束邊界成為探索點的一個不能跳出可行域之外的障礙，所以又稱為障礙項或障礙函數(shù)，也有稱圍墻函數(shù)的。只要設計點x在探索過程中始終保持為可行點，則懲罰項必為正值，且當設計點又由可行域內(nèi)部遠離約束邊界處移向邊界()時，則懲罰項的值就要急劇增大并趨向無窮大，于是懲罰函數(shù)亦隨之急劇增大直至無窮大。通常取＝1．0，0．1，0．01，0．001，…。2．2．1．1 懲罰函數(shù)內(nèi)點法原理對于目標函數(shù)受約束于的最優(yōu)化問題，利用內(nèi)點法求解時．懲罰函數(shù)的一般表達式為 =或 =而對于受約束于的最優(yōu)化問題，其懲罰函數(shù)的一般表達式為 =或