【正文】 關(guān)函數(shù) )(krxx 的無偏估計且是漸近一致的，即當(dāng) k 為有限值時， )(? krxx 是 )(krxx 的一致估計。 設(shè) }1,1,0),({ ?? Nnnx ?為實隨機(jī)序列 )}({ nx 的一批樣本，共有 N 個值。 (39) ????? ?????MMn xxM krknxnxEknxnxM )()]()(*[)()(*121l i m (310) 我們實際所能得到的隨機(jī)序列的樣本數(shù)總是有限的，由有限個樣本通過某種運(yùn)算求出的序列的均值和自相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計特征值叫做它們的估計值。 相關(guān)函數(shù)的估計 自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性 一般說來，嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)過程允許我們用時間平均來代替系綜平均（集合平均或統(tǒng)計平均），用時間平均作為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程均值的估計。所以 222/12/1 )()( xfjxxxx dfekrfP ?? ?? ??? ， 這表明它在各頻率上是完全平坦的。 我們經(jīng)常會遇到的一種過程是離散白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)（ ACF）定義為： )()( 2 kkr xxx ??? ，其中 )(k? 是離散沖激函數(shù)。令 )2e xp ()e xp ( fjjz ?? ?? ，得到相應(yīng)的功率譜表達(dá)： )()()( 2 ??? xxyy PHP ? 或 )()()( 2 fPfHfP xxyy ? ，上述關(guān)系對以后討論譜估計問題是很有用的。 當(dāng)一平穩(wěn)隨機(jī)序列 )}({ nx 通過一個脈沖響應(yīng)為 )(nh 的線性非時變系統(tǒng)時，其輸出序列 )}({ ny 也是一平穩(wěn)隨機(jī)序列。 自相關(guān)函數(shù)（ ACF）和互相關(guān)函數(shù)（ CCF）的 z變換定義為： (33) ????????kkxyxy zkrzP )()( (34) 若令 ff,2??? 為歸一化頻率，頻率區(qū)間 2121 ??? f 為基本周期。 當(dāng) )(nx 為實序列時， )(?xxP 為非負(fù)實對稱函數(shù)，即 )()( ?? xxxx PP ?? 和0)( ??xxP 。 相關(guān)函數(shù)的極大值出現(xiàn)在 0?k 處，即 )0()( xxxx rkr ? 。廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列 )}({ nx 的相關(guān)函數(shù) )(krxx 和它的功率譜密度 )(?xxP 之間是傅立葉變換對的關(guān)系，即 (31) (32) 這一關(guān)系式常稱為維納 —— 辛欽定理。 譜估計與相關(guān)函數(shù) 相關(guān)函數(shù)和功率譜 若 ?? xx mnm )( 常數(shù)， 即 ，則稱 )}({ nx 為廣義平穩(wěn)序列。 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 第三章 經(jīng)典功率譜估計 經(jīng)典譜估計方法是以傅里葉變換為基礎(chǔ)的方法，主要有兩類：周期圖法和自相關(guān)法（布萊克曼 — 圖基法，簡稱 BT法）。由 相合性定義可以看出，若 ?是 θ的相合估計 ，當(dāng)樣本容量很大時似值。進(jìn)一步地，可以證明 :只要相應(yīng)的總體矩存在，矩估計必定是相合估計。根據(jù)大數(shù)定律，無論總體 X服從納什分布，只要其 k 階原點矩 uk = E(Xk) 存在。 定義：設(shè) ? = ?（ x1,X2 ?） 是總體參數(shù) θ的估計量，如果對任意 ω 0都有l(wèi)imn→∞p|? ?θ|,則稱 ?是 θ的相合估計量（或者一致估計量）。由 于 估計量 ?和樣本容量 n有關(guān)，我們自然希望當(dāng)。 定義： 設(shè)與 ?2=θ2（ X1,X2,?Xn)都是總體參數(shù) θ的無偏估計，若 D(θ1)≤ D(θ2)，則稱 θ1比 θ2更有 效。無偏估計的實際意義就是無系統(tǒng)偏差，估計量是否無偏是評價估計量好壞的一個重要標(biāo)準(zhǔn)， E? ≠ θ，但是有l(wèi)imn→∞E? ≠ θ,則稱 ?是 θ的漸進(jìn)無偏量估計。一個估計 量如果不是無偏的 就稱它 已是有偏估計量。也就是說， 盡管在一次抽樣中得到的估計值不一定恰好等 于 待估參數(shù)的真值，但在大量重復(fù) 抽樣時，所得到的估計值平均起來應(yīng)與待估參數(shù)的真值相同，換句話說，我們希望估計量的均值 (數(shù)學(xué)期望 )應(yīng)等 于 未知參數(shù)的真值，這就是所謂無偏性 (Unbiasedness)的要求。 當(dāng) Sx(ω)是 ω的有理函數(shù)時，其形式必為 Sx(ω)= a2nω2n+a2n?2ω2n ?2+?ω2n+b2n?2ω2n ?2+? (212)其中 a2n， b2m為常數(shù)，且 a2n 0， m ??,分母無實根。 Sx(ω) = limT→∞ 12T E ,| Fx(ω,T)|2 (29) 為 X（ t）的功率譜密度，簡稱譜密度。 平穩(wěn)隨機(jī)信號自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) :設(shè) X （ t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為Rxx(τ)，自一辦方差函數(shù) Cxx(τ)，則它們有如下 性質(zhì) : (1) τ = 0時的自相關(guān)函數(shù)等于均方差，自協(xié)方差函數(shù)等于方差， Rxx(τ) = R(?τ) 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） Cxx(0) = Qx2 (2)當(dāng)平穩(wěn)隨機(jī)信號是實函數(shù)時，其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即 : Rxx(τ)= R(?τ) Cxx(τ)= C(?τ) (3)當(dāng) T=O時的自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)取最大值，即 Rxx(0) ≥ | Rxx(?τ)| Cxx(0) = |Cxx(?τ)| (4)若 X(t)=X(t+T)，則其自相關(guān)數(shù)也是周期為 T,的周期 h 函 數(shù)，即 Rxx(τ)≥ R(t+ τ) Cxx(τ)= Cxx(t+τ) (5)若均 值 mx = 0，當(dāng) τ → ∞，時， X (t) 與 X( t+ τ)相 互獨 立，有l(wèi)im|x|→0 Rxx(τ)= 0，對 于 零均值 的 平穩(wěn)隨機(jī)信號，當(dāng)時 時間間 T很大時， X(t)與 X（ t+τ)相互獨立，互不相關(guān)。 (5)對變化迅速的信號 (寬帶隨機(jī)過程 )，相關(guān)的程度在 :很小時就完全喪失。用 t1和 t1 + τ兩時刻瞬時值乘積的總體平均值得到 : Rxx (t1,t1 +τ)limk→01N∑xkNk=1(t1)xk((t1 +τ) (2?6) 自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) : (3)自相關(guān)函數(shù)是 r 的偶函數(shù) Rx(τ)= Rx(?τ)； (2)當(dāng) τ = 0時，自相關(guān)函數(shù)具有最大值， Rx(0)= σ2 +ux2 (3)周期信號的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號，但不保留原信號的相位信息。隨機(jī)過程在某一時刻 t1的均值 (一階矩 )可將總體中 樣本函數(shù)在 t1的瞬時值相加，然后除以樣本函數(shù)的個數(shù)而得到 。本論文若不加特別說明，平穩(wěn)過程均指寬平穩(wěn)過程 。不難著出，嚴(yán)平穩(wěn)過程一定是寬平穩(wěn)過程，反之不一定。即若一個隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及方差與時間無關(guān)，向其相關(guān)函數(shù)僅與 τ有關(guān)，即我們就稱這個隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)的。 平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及方差與 t 無關(guān)，它 的自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔 tlt2=τ有關(guān) 。 2) D[X(t)]= Q2x，平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差與時間無關(guān) 。 (1)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義 : 如果 于 任意 n和 t1,t2， ...以及 τ有 ?(x1,x2 ???) 則稱 X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，或稱狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 (1)均方有界 。統(tǒng)個「 定義為： P(x) = limx→0 prob,x??(t)≤x+?xT = limx→0 1?x [limT→∞ txT] (23) 瞬時值 x（ t)小 于 或等 于 謀值 x的概率定義為概率分布函數(shù)或累計概率分布函數(shù) P(x) = prod,x(t)≤ ∫ P(ξ)dξ +∞?∞ (24) 表 征了一個隨機(jī)過程自身在不同時刻的狀態(tài)間，或者兩個隨機(jī)過程在某個時 刻狀態(tài)間線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。 設(shè) E 是一個隨機(jī)試驗，樣本空間是 Ω = *e+,設(shè) X=X（ e）和 Y=Y(e)是定義在 Ω上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個向量 (X,Y)叫 做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī) 變量 (注 :二維隨機(jī)向量 (x,y)功的性質(zhì)不僅與 X 和 Y 有關(guān)，而且還依賴 這 這 兩個隨機(jī)變量的相互關(guān)系。 ux = E(X) = ∑ xkk pk式中的 pk是 X 取值為 xk時的概率。若 X 為離散型隨機(jī)變量，則上述的求均值運(yùn)算將有積分改為求和。 (2) 歸一性 :對任意賣數(shù) x， 0F(X)1，且 limx→∞F limx→∞(x)= 0,F(+∞)= limx→∞F(x)= 1 (3) 左連續(xù)性：對任意實數(shù) x， 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） F(x0)=F(x) 、方差、標(biāo)準(zhǔn)差 定義： ux = E(x)= ∫ x+∞?∞ P(x)dx， 為 x 的數(shù)學(xué)期望值，或者簡稱均值。記為 F(x)，即 f(x)= p*X ??+,易知，對任意實數(shù) a,b,(ab)，P{aXb}=P{xb}p{xa}。例如某地區(qū)男性健康成人的身長值、體重值，一批傳染性肝炎患者的血清轉(zhuǎn)氮酶測定值等。例如某地區(qū)某年人口的出生數(shù)、死亡數(shù)，某藥治療某病病人的有效數(shù)、無效數(shù)等。隨機(jī)變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差別在 于 ，后者的測定結(jié)果仍具有不確定性，即模糊性。隨機(jī)變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的。例如某一 個 時間內(nèi)公共汽車站等車乘客人數(shù)，電話交換合在一定時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)等 等，都是隨機(jī)變量的實例。同時論文將通過 對經(jīng)典譜估計和現(xiàn)代譜估計的實現(xiàn)方法及仿真圖的比較，得出 經(jīng)典功率譜估計方法的方差性較差，分辨率較低， 而 現(xiàn)代譜估計的目標(biāo)正是在于努力改善譜估計的分辨率， 因此能得到較好的譜估計效果。 課題內(nèi)容 本論文研究了功率譜估計的幾種常用的方法，包括經(jīng)典譜估計和現(xiàn)代譜估計的各種方法。 課題意義 數(shù)字信號處理重要的應(yīng)用領(lǐng)域之一，是建立在周期信號和隨機(jī)信號基礎(chǔ)上的功南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 率譜估計 。定理、 譜 估 計 自相關(guān)法 BT 法等。 Yule的 工 作使人們重新想起了早在 1795年 Prony提出的指數(shù)擬介法，從 而 Prony 方法形成了現(xiàn)代 譜 估計的又一重要內(nèi)容。 Yule 在 1927 年提出了用線性回歸方程來模擬啦一個時間序列，從而發(fā)現(xiàn)隱含在該時間序列中的周期，進(jìn)而 發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代譜估計中最重要的方法 — 參數(shù)模型法。后來，鑒 于 圖的起伏劇烈，提出了平均周 期圖的概念，并 提出了在對有限長數(shù)據(jù)計算傅里葉系數(shù)時所存在的邊瓣問題，這就是后來我們所熟悉的窗函數(shù)的影響。傅里葉級數(shù)首先在觀察自然界中的周期現(xiàn)象得到應(yīng)用，但傅里葉的計 算 的 比較復(fù)雜，促使人們研制相應(yīng)的機(jī)器來計算傅里葉級數(shù)。 功率 譜 估計 (PSD)是用有限長的數(shù)據(jù)來估計信號的功率 譜 ， 它對于 認(rèn)識一個 隨機(jī)信號或其他 應(yīng)用方而來 講 都是極其重要的，是數(shù)字信號處理的重要研究內(nèi) 容之一，在軍事、生物醫(yī)學(xué)、通信等領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用 。 The Periodogram； the BT methods. 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 目 錄 1. 緒論 課題背景 研究意義 研究內(nèi)容 2. 功率譜估計 的概述 隨機(jī) 變量 平穩(wěn)隨機(jī)信號 平穩(wěn)隨機(jī)信號 定義 平穩(wěn)隨機(jī)信號 特征 平穩(wěn)隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù) 平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜 估計質(zhì)量的評價標(biāo)準(zhǔn) 3. 經(jīng)典功率譜估計 譜估計與相關(guān)函數(shù) 相關(guān)函數(shù)和功率譜 相關(guān)函數(shù)的估計 周期圖法 周期圖法的定義 周期圖的性能 周期圖法改進(jìn)措施 自相關(guān)法 直接法和間接法的關(guān)系 本章小結(jié) 4. 現(xiàn)代譜估計 平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型 AR 模型的正則方程與參數(shù)計算 正則方程求導(dǎo) AR 模型參數(shù)求解的經(jīng)典算法 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（