【文章內(nèi)容簡介】 據(jù)估計(jì)出來的相關(guān)函數(shù)，求它的傅立葉變換，就可以得到功率譜的估計(jì)值。 譜估計(jì)與相關(guān)函數(shù) 相關(guān)函數(shù)和功率譜 若 ?? xx mnm )( 常數(shù)， 即 ，則稱 )}({ nx 為廣義平穩(wěn)序列。 若 )}({ nx 和 )}({ ny 均為廣義平穩(wěn)序列，且 即它的式子 ，則稱 )}({ nx 和 )}({ ny 為廣義聯(lián)合平穩(wěn)序列。廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列 )}({ nx 的相關(guān)函數(shù) )(krxx 和它的功率譜密度 )(?xxP 之間是傅立葉變換對(duì)的關(guān)系，即 (31) (32) 這一關(guān)系式常稱為維納 —— 辛欽定理。 由自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的定義，不難得出它們的一些基本性質(zhì)，主要有： 當(dāng) )}({ nx 為復(fù)序列時(shí)， )(*)( krkr xxxx ?? ；若 )}({ nx 為實(shí)序列，則相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即 )()( krkr xxxx ?? 。 相關(guān)函數(shù)的極大值出現(xiàn)在 0?k 處，即 )0()( xxxx rkr ? 。 )(),( 2121 nnrnnr xxxx ?? )](*)([)( nxknxEkrxx ??)(),( 2121 nnrnnr xyxy ??)](*)([)( nyknxEkrxy ???????? ?? k kjxxxx dekrP ?? ?)()(??? ?? ? ??? dePkr kjxxxx )(21)(南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 若 )(nx 含有周期性分量，則 )(krxx 也含有同一周期的周期性分量，否則，當(dāng) ??k 時(shí)， 0)( ?krxx 。 當(dāng) )(nx 為實(shí)序列時(shí)， )(?xxP 為非負(fù)實(shí)對(duì)稱函數(shù)，即 )()( ?? xxxx PP ?? 和0)( ??xxP 。 平穩(wěn)隨機(jī)序列 )}({ nx 的自相關(guān)函數(shù) )0(xxr 是實(shí)的且為正，而且對(duì)任一 )(na 序列和任一 M ，自相關(guān)函數(shù)（ ACF）滿足： ? ?? ?? ???? ??? 10 10210 0)()()(*})()(*{ Mm xxMnMn nmrnamanxnaE ，這個(gè)函數(shù)稱為半正定的。 自相關(guān)函數(shù)（ ACF）和互相關(guān)函數(shù)（ CCF）的 z變換定義為： (33) ????????kkxyxy zkrzP )()( (34) 若令 ff,2??? 為歸一化頻率，頻率區(qū)間 2121 ??? f 為基本周期。則上述兩式功率譜密度又可分別表示為： ????????kfkjxxxx ekrfP ?2)()( (35) ????????kfkjxyxy ekrfP ?2)()( (36) 其中， )(fPxx 是實(shí)的，且非負(fù)。 當(dāng)一平穩(wěn)隨機(jī)序列 )}({ nx 通過一個(gè)脈沖響應(yīng)為 )(nh 的線性非時(shí)變系統(tǒng)時(shí)，其輸出序列 )}({ ny 也是一平穩(wěn)隨機(jī)序列。它的自相關(guān)函數(shù)為： )(kryy )()()( * krkhkh xx???? (37) ?????? ?? k kxxxx zkrzP )()(南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） )()*1(*)()( zPzHzHzP xxyy ? (38) 若 )(nh 為實(shí)系統(tǒng)，則 )1()*1(* zHzH ? 。令 )2e xp ()e xp ( fjjz ?? ?? ，得到相應(yīng)的功率譜表達(dá)： )()()( 2 ??? xxyy PHP ? 或 )()()( 2 fPfHfP xxyy ? ，上述關(guān)系對(duì)以后討論譜估計(jì)問題是很有用的。 ???? ??2/12/1 )()(21)0( dffPdPr yyyy?? ???為輸出過程 )}({ ny 的平均功率。 我們經(jīng)常會(huì)遇到的一種過程是離散白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)（ ACF）定義為： )()( 2 kkr xxx ??? ，其中 )(k? 是離散沖激函數(shù)。這就是說，各樣本之間彼此是不相關(guān)的。所以 222/12/1 )()( xfjxxxx dfekrfP ?? ?? ??? ， 這表明它在各頻率上是完全平坦的。換句話說，白噪聲的所有頻率分量均具有相同的功率。 相關(guān)函數(shù)的估計(jì) 自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性 一般說來，嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)過程允許我們用時(shí)間平均來代替系綜平均（集合平均或統(tǒng)計(jì)平均），用時(shí)間平均作為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程均值的估計(jì)。 ????? ???MMn xM nxEnxM ?)}({)(121lim 。 (39) ????? ?????MMn xxM krknxnxEknxnxM )()]()(*[)()(*121l i m (310) 我們實(shí)際所能得到的隨機(jī)序列的樣本數(shù)總是有限的，由有限個(gè)樣本通過某種運(yùn)算求出的序列的均值和自相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值叫做它們的估計(jì)值。下面討論隨機(jī)序列有限個(gè)樣本的相關(guān)函數(shù)的估計(jì)問題。 設(shè) }1,1,0),({ ?? Nnnx ?為實(shí)隨機(jī)序列 )}({ nx 的一批樣本，共有 N 個(gè)值。有時(shí)簡稱之為長度為 N的隨機(jī)序列 )(nx 。 方法一：根據(jù)假定的自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性（或遍歷性），可用下式估計(jì)它的自相關(guān)函數(shù)，即 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） ???? ???10 )()(1)(? kNnxx nxknxkNkr (311) ])()([1)](?[ 10???? ???kNnxx nxknxEkNkrE (312) ? ?? ? ??? 10 )()(1 kN n xxxx krkrkN 當(dāng) ??N 時(shí)， 0)}(?var{ ?krxx ，因此 )(? krxx 是相關(guān)函數(shù) )(krxx 的無偏估計(jì)且是漸近一致的，即當(dāng) k 為有限值時(shí)， )(? krxx 是 )(krxx 的一致估計(jì)。 方法二：有限長度序列 }1,1,0),({ ?? Nnnx ?的相關(guān)函數(shù) )(krxx 的另一種估計(jì)方法可表示為 : ???? ??10 )()(1)(? kNnxx nxknxNkr （ 313） )()]()([1)](?[ 10 krN kNnxknxENkrE xxkN nxx ? ?? ? ???? (314) 可見，它是相關(guān)函數(shù) )(krxx 的有偏估計(jì)。但是，當(dāng) ??N ，估計(jì)值是漸近無偏的。 當(dāng) ??N 時(shí)， 0)}(?var{ ?krxx ，即（ 31）式的 )(? krxx 也是 )(krxx 的一致估計(jì)。（ 315）式所定義的相關(guān)函數(shù)取傅立葉變換求功率譜估計(jì)時(shí)，在計(jì)算上有某些方便之處，以后的討論中，如不作特別申明，將采用這種有偏估計(jì)表示式求相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式。 功率譜密度的另一個(gè)定義 : 可以證明，功率譜密度（ PSD）的一個(gè)近似等效的定義是 })2(e x p)(121{lim)( 2fnjnxMEfP MMnMxx ???? ????? （ 315） 上式定義的 PSD 與維納一辛欽定理 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） ?????? ?? k xxxx fkjkrfP )2e x p ()()( ? （ 316） 是等效的。 由（ 315）式和由（ 316）式維納一辛欽定理給出的 PSD 的等效定義將作為經(jīng)典譜估計(jì)方法的基礎(chǔ)。 周期圖法 周期圖法的定義 周期圖法，它是把隨機(jī)序列 x(n)的 N個(gè)觀測數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計(jì)算 x(n)的離散傅立葉變換，得 X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以 N，作為序列 x(n)真實(shí)功率譜的估計(jì)。 周期圖譜估計(jì)定義為： 210 )2e x p ()(1)(? ??? ??NnPER fnjnxNfP ? 可以證明，周期圖等于估計(jì)出的自相關(guān)序列的傅里葉變換，或 )](?[ fPE PER ????? ??1)1( )2e x p ()(?)(? NNk xxP ER fkjkrfP ? 其中 )(? krxx 是有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，定義為 : ???? ??kNnxx knxnxNkr10 )()(1)(? 周期圖的性能 周期圖的期望值是 : ?)](?[ fPE PER ? ?? ?? 2/1 2/1 )()()}()({ ??? dPfWkrkw xxBxxB （ 317） 式中 )(fWB 是 Bartlett 窗（三角形窗）的傅里葉變換。 由式（ 34）可知周期圖的均值是真實(shí) PSD 和 Bartlett 窗傅里葉變換的卷積，在平均意義上得到真實(shí)功率譜密度（ PSD）的平滑形式。因此對(duì)有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖一般有偏的，但是當(dāng) ??N 時(shí)，它是無偏的 。 )()](?[lim fPfPExxP E RN ???這是由于 )(fWB 收斂到狄拉克 ? 函數(shù)。 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 對(duì)于高斯白噪聲的特殊情況， 22 )(),()( xxxxxx fPkkr ??? ?? ，結(jié)果為 : )()](?[ 2 fPfPE xxxP E R ?? ? 對(duì)于白噪聲情況，即使有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖也是無偏的。對(duì)于白高斯過程， )()](?[ 2 fPfPE xxxP E R ?? ?，方差 )}(?var{ fPPER ])2s in2s in(1)[( 22 fN NffP xx ???? 對(duì) 任 何 非 白 過 程 ， 只 要 記 錄 數(shù) 據(jù) 足 夠 長 ,])2s in2s in(1)[()](?v ar [ 22 fN NffPfP xxPER ???? 對(duì)于不靠近 0或 21? 的頻率，且 ??N 時(shí)，上式近似地退化為： )()](?v a r [ 2 fPfP xxPER ? 可以看出，方差與數(shù)據(jù)長度 N 無關(guān)，即方差不隨 N 的增大而減小至零。由此可得出一個(gè)重要的看法：周期圖估計(jì)器是不可靠的，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差和均值一樣大，因而周期圖不是一致估計(jì)而其均值近似地等于要估計(jì)的量值。 上述論證表明，我們不能寄希望于直接用周期圖方法獲得良好的譜估計(jì)，必須采用適當(dāng)?shù)男拚胧p小估計(jì)方差，才能使之成為一種實(shí)用的方法。 周期圖法改進(jìn)措施 加窗周期圖 周期圖法只用了 N個(gè)樣本，這可以看作是用一長度為 N 的矩形窗函數(shù)與原來無限長的序列相乘的結(jié)果，我們知道，時(shí)域中兩函數(shù)相乘對(duì)應(yīng)于頻域中它們的傅立葉變換的卷積。由此可以想到，當(dāng)用周期圖方法作譜估計(jì)時(shí)，它的譜分辨率約與 N 成反比，且和信號(hào)本身的特征，例如信噪比等無關(guān)。此外，如果序列是由多個(gè)正弦波信號(hào)組成的，而各分量強(qiáng)度不等，則弱信號(hào)分量可能淹沒在強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣中而無法發(fā)現(xiàn)。這種所謂信號(hào)能量（向旁瓣）泄漏現(xiàn)象如果不設(shè)法消除，也將妨礙周期圖譜估計(jì)法的應(yīng)用。因此提出了周期圖的改進(jìn) 方法： 周期圖改進(jìn)的方法之一是將長度為 N 的序列 )(nx 乘以同一長度的數(shù)據(jù)窗)(nw 。 數(shù)據(jù)加窗后的周期圖譜估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望值等于譜的真實(shí)值與窗譜函數(shù)的平方的卷積。顯然它不等于功率譜的真實(shí)值，因而是有偏估計(jì)。 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 若序列為單頻信號(hào)，則 )(fPxx 為 ? 函數(shù)，這樣，數(shù)