【文章內容簡介】 )8000/2s in()8000/2s in()(21 nfnfnx ?? ?? () 兩個頻率 f1,f2 唯一確定了被按壓的鍵。具體數字對應的兩個頻率如表 所示。 6 表 21 DTMF撥號頻率 （第四列常被省略） 1209Hz 1336Hz 1477Hz 633Hz 697Hz 1 2 3 A 770Hz 4 5 6 B 852Hz 7 8 9 C 942Hz * 0 D 形成上面序 列的方法有兩種，即計算法和查表法。用計算法求正弦波的序列值容易，但實際中要占用一些計算時間，影響運行速度。查表法是預先將正弦波的各序列值計算出來，寄存在存儲器中，運行時只要按順序和一定的速度取出便可。這種方法要占用一定的存儲空間，但是速度快。 因為采樣頻率是 8000Hz，因此要求每 125ms 輸出一個樣本，得到的序列再送到 D/A 變換器和平滑濾波器，輸出便是連續(xù)時間的 DTMF 信號。 DTMF 信號通過電話線路送到交換機 。 雙音多頻（ DTMF）信號的 檢測 在接收端， 要對收到的 將收到的 雙音多頻信號進行檢測，即檢測 兩個 正弦波的頻率，以判斷其對應的十進制數字或者符號。用數字方法進行檢測，需要將接收到的 模擬音頻信號進行 A/D 變換，恢復為數字信號，然后檢測其中的音頻頻譜來確定所發(fā)送的數字。 檢測方法有兩種，一種是 用一組濾波器來提取所需頻率 ，判斷對應的數字或符號；另一種是用 快速傅立葉變換（ FFT）算法的 DFT 對雙音多頻信號進行頻譜分析 ， 有信號的幅度譜，判斷信號的兩個頻率，最后確定對應的數字或符號 。以下章節(jié)對兩種方法進行分析并對 Goertzel 算法進行詳細的推導。 由上面可以知道一個 DTMF 信號是由兩個不通頻率 f1 和 f2 的正弦波 組成，它可以用下式表示 )8000/2s in()8000/2s in()( 21 nfnfnx ?? ?? () 7 我們可以考慮通過離散傅立葉變換進行信號的頻譜分析來檢測離散的雙音 高 頻 低 頻 多頻碼。這是因為只有時域及頻域都是離散的情況下，才能適合于在計算機上運算；也就是周期的離散時間信號與離散頻率間的變換對。 周期性離散時間信號 x（ n） 的離散傅立葉變換－周期性離散頻率函數 X（ k）兩 相 鄰 譜線 分 量之 間 的角 頻 率增 量 與周 期 pt 之 間 的 關系 可表 示 為Ft p ?? 212 ??? ， ptF 1? 代表信號的基頻。 取樣頻率 sf 與取樣周期 T 的關系是 Tfs 1? 取樣角頻率 T?2?? T 為時域取樣間隔 ，在一個周期內取樣點數為 N。在自變量為 t 及 f 的情況下，在 一個時域中對函數進行取樣，兩取樣點間增量的倒數，必是另一個域中函數的周期?，F序列的周期為 NT，所以對頻譜取樣的間距是 NT1 。以數字頻率表示時，則頻譜間距是 kN?? 20 ? k＝ 0， 1， …… ， N－ 1 令 NjNW?2??? 并稱之為 NW 因子。離散傅立葉變換 （ DFT） 可寫成如下形式： ????? 10 )()]([)( Nn knNWnxnxD F TkX ， 0 ≤k≤N－ 1 () DFT 的表達式可以直接寫成： ??? ???? 10 2)()( Nn NknjnxkX ??， k＝ 0， 1， …… ， N－ 1 ( ) 一般來說， x（ n） 和 nkNW 都是復數， X（ k） 也是復數，每計算一個 X（ k） 值，需要 N 次復數乘法 (x（ n） 與 nkNW 相乘 )以及 (N－ 1)次復數加法。而 X（ k） 一共有 N 個點（ k 從 0取到 N－ 1），所以完成整個 DFT 運算總共需要 2N 次 8 復數乘法及 N（ N－ 1） 次復數加法。復數運算實際上是由實數運算來完成的，因此上式可寫成： ???? 10 )()( Nn nkNWnxkX }][]R e [}{)]([)](R e [{10 nkNNn nkN WmjWnxmjnx ????? ? ??]}R e [)]([][)](( R e [])[)]([]R e [)]({ ( R e [10nkNnkNNnnkNnkNWnxmWmnxjWmnxmWnx???????? ??? () 由此可見，一次復數乘法需用四次實數乘法和兩次實數加法；一次復數加法則需兩次復數加法。因而每運算一個需要 4N 次復數乘法和 2N＋ 2（ N1） =2(2N1)次實數加法。 所以，直接計算 DFT，乘法次數和加法次數都是和 2N 成正比的，當 N很大時，運算量是很可觀的，例如，當 N＝ 8 時， DFT 需 64 次復數乘法，而當N＝ 1024 時， DFT 所需復數乘法為 1， 048， 576 次，即一百多萬次復數乘法運算，這對實時性很強的信號處理來說，對計算速度的要求太高了。因而需要改進對 DFT 的計算方法，以大大減少運算次數。仔細觀察 DFT 的運算量可以看出，利用系數的以下固有特性，可以減少 DFT 的運算量。 (1) nkNW 的 共軛 對稱性： ??? ?? )()( knNknNnNKN WWW (2) nkNW 的周期性： )()( NknNkNnNnkN WWW ?? ?? (3) nkNW 的可約性： mnk mNm n kmNnkN WWW //?? 由此得出 nkNknNNkNnN WWW ??? ?? )()( ， 12 ?NNW ， kNNkN WW ??? )2( 這樣，（ 1）利用這些特性，使 DFT運算中有些項可以合并；（ 2）利用 nkNW 的周期性和對稱性，可以將長序列的 DFT 分解為短序列的 DFT。而前面已經說到，DFT 的運算量使與 2N 成正比的，所以 N 越小越有利，因而小點數的 DFT 比大 9 點數的 DFT 的運算量要小。 基于這樣的思路，快速傅立葉變換（ FFT）發(fā)展起來了。如果按時間抽取的FFT 算法，系統(tǒng)的運算量是 NN 2log ，運算量明顯比 DFT運算 量減少。但它有一個缺點，需要全部抽樣數據到達時，才能進行計算；不適合雙音多頻信號頻譜的計算，滿足不了雙音撥號系統(tǒng)實時性的要求。因此開發(fā)出了適合于 DMFT 的特殊算法－ Goertzel 算法。 10 3 戈澤爾 (Goertzel)算法 戈澤爾 (Goertzel)算法原理 戈澤爾算法利用 DFT 中的旋轉因子 nkNW 的周期性，將 DFT 的運算轉換成一種線性濾波運算。下面推導戈澤爾算法的計算公式和實現結構。 假設長度為 N 的序列 x（ n） 的 N 點 DFT 用 X（ k） 表示，因為12)2( ???? eeW kkNNjkNN ?? （ ） 因此 ?? ?? ????? ?? 10 )(10 )()()( Nn nNkNNn knNkNN WWW nxnxkX k=0,1,12,? ,N1 () 按照上式定義序列 ??? ??? 10 )()()( Nm mnkNk Wy mxn （ ） 這個方程可以解釋為有限長序列 x(n)， 10 ??? Nn ，與序列 )(nWknN ?? 的卷積，因此表示為 W knNnxnyk *)()( ? （ ） 令 ?)(nhk WknN? （ ） 則 *)()( nxnyk ? )(nhk （ ） 由上式，將 )(nyK看成是序列 x（ n） 通過單位脈沖響應為 ?)(nhk WknN?的濾波器的輸出，根據式（ ） 和式 （ ） ，得到 Nnk nykX ?? |)()( () 那么， x（ n） 的 DFT 的第 k 點就是序列 x(n)通過濾波器 )(nhk 輸出的第 n=N 點