【正文】 說(shuō)，的約束極大值將一定出現(xiàn)在有效區(qū)域內(nèi)部而不會(huì)是在有效區(qū)域的開(kāi)的下邊界上。然而當(dāng)時(shí)，因此包含原點(diǎn)以及其它軸上的點(diǎn)。以每一個(gè)變量對(duì)求偏導(dǎo)并令其為零：我們可以獲得該函數(shù)的三個(gè)相應(yīng)的上邊界：從而我們得到有效區(qū)域：和顯然處處連續(xù)。為了使條件1的含義更加明確，我們給出一個(gè)3維效用函數(shù)的例子。盡管條件1看上去十分復(fù)雜，其做含義卻是簡(jiǎn)單的。在上不存在任何臨界點(diǎn)（critical point）確保了在上邊界、從而也在整個(gè)有效區(qū)域上不存在飽和點(diǎn)。我們先處理相對(duì)比較簡(jiǎn)單的第2個(gè)條件，然后再解釋復(fù)雜一些的第一個(gè)條件。證明：附錄II。(3) 在上嚴(yán)格遞增：。即對(duì)任意：(a) ，否則(b) ，并且 ，并且 。證畢（EUF判據(jù)）：令連續(xù)可微，并且為其第i個(gè)邊界函數(shù)，我們定義E及其上邊界如下：。：，如果成立，那么在S上連續(xù)。如果，則獨(dú)立于，從而第i個(gè)邊界函數(shù)可能不存在，或者僅僅包含象這樣一些點(diǎn)使得成立。：令為一連續(xù)可微函數(shù)，如果l1元函數(shù)滿足下列條件：，并且對(duì)于任意的不存在象這樣的點(diǎn)使得，則我們稱為的第i個(gè)邊界函數(shù)。我們將在第5節(jié)給出這種效用函數(shù)的一個(gè)例子。然而這樣的約束對(duì)某個(gè)EUF的原函數(shù)是無(wú)效的，因?yàn)橥耆珱](méi)有必要要求在整個(gè)消費(fèi)集合上代表一個(gè)真實(shí)的偏好次序，我們只關(guān)心它在一個(gè)EUF有效區(qū)域上的性質(zhì)。一個(gè)真實(shí)原函數(shù)與一個(gè)原函數(shù)的區(qū)別在于：前者一定對(duì)應(yīng)了一個(gè)以E為有效區(qū)域的真實(shí)偏好，而后者則不必如此。表示“”在E上的限制。我們稱為的一個(gè)真實(shí)原函數(shù)。在下文中，為了方便起見(jiàn)，我們將一個(gè)EUF簡(jiǎn)寫(xiě)成。：令為一代表偏好“?”的效用函數(shù)，E是該偏好、因而也是的有效區(qū)域?；谏鲜鲇^點(diǎn)，我們來(lái)建立有效效用函數(shù)（EUF）的概念。而效用函數(shù)在其有效區(qū)域外的特性將不會(huì)對(duì)由之導(dǎo)出的需求函數(shù)的特性產(chǎn)生任何影響。這意味著消費(fèi)者預(yù)算約束下的最優(yōu)選擇只能出現(xiàn)在其有效區(qū)域內(nèi)部。他們完全排斥了對(duì)某些物品存在飽和需求的可能性，從而使一些能夠?qū)С隽夹孕枨蠛瘮?shù)的效用函數(shù)看上去卻不可接受。在傳統(tǒng)消費(fèi)者理論中，為了保證效用函數(shù)可用，通常要求效用函數(shù)為一個(gè)NUF，即要么在整個(gè)消費(fèi)集合上嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格準(zhǔn)凹；要么在消費(fèi)集合的內(nèi)點(diǎn)上嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格準(zhǔn)凹，同時(shí)所有邊界點(diǎn)不優(yōu)于原點(diǎn)（）。EUF的概念為效用函數(shù)確立了一個(gè)比原有的由NUF提供的判據(jù)弱得多的新的標(biāo)準(zhǔn)。167。而這恰恰是新古典偏好或者相應(yīng)的NUF所唯一允許的情形。所以，需求函數(shù)的值域只有當(dāng)有效區(qū)域擴(kuò)展到整個(gè)消費(fèi)集合時(shí)才會(huì)覆蓋消費(fèi)集合。證明：。令為從u導(dǎo)出的需求函數(shù)，其值域?yàn)?。則對(duì)于任意的p?0和m0，我們有。證明：。的第i條上邊界定義為：，從而我們也有了的上邊界的定義：。如果，則x一定位于有效區(qū)域內(nèi)，以或E表示。說(shuō)明：表示集合的極小值。：屬于的最小滿意需求稱為屬于的相對(duì)飽和需求，以表示: ，則稱為上的相對(duì)飽和點(diǎn)。位于通過(guò)a并且平行于第i個(gè)坐標(biāo)軸的半直線上的點(diǎn)的集合稱為a在X的上的第i個(gè)坐標(biāo)子集合，以表示。本節(jié)定義和證明，請(qǐng)參考圖1。換句話說(shuō)，在一個(gè)消費(fèi)集內(nèi)有些點(diǎn)將永遠(yuǎn)不會(huì)被選擇，而不管這個(gè)消費(fèi)者多么富有。所以，我們可以得出這樣的結(jié)論：如果消費(fèi)集內(nèi)的某點(diǎn)，其中某個(gè)要素的數(shù)量超過(guò)了消費(fèi)者對(duì)該物品的飽和需求，則此點(diǎn)一定不在需求集合內(nèi)。在現(xiàn)實(shí)中，一個(gè)人所擁有的任何商品一旦超過(guò)一定限度，即他對(duì)此物品的飽和需求，則此后增加的該商品將對(duì)此人變得毫無(wú)用處。167。表示一個(gè)，即一個(gè)以x為球心，以為半徑的一個(gè)開(kāi)球。對(duì)于任意的，如果且，則在x的鄰域（）內(nèi)存在一個(gè)連續(xù)且可微的單值函數(shù)滿足。：如果非空集合是緊致的，則連續(xù)函數(shù)在S上有極大值和極小值，即。：對(duì)于任意定義在X上的連續(xù)偏好“?”,存在一個(gè)連續(xù)的效用函數(shù)，滿足：。：集合的閉包是所有象x這樣的點(diǎn)的集合：V是x的一個(gè)鄰域意味著。：為一個(gè)新古典效用函數(shù)的充分必要條件是：(a) f在X上嚴(yán)格遞增并嚴(yán)格準(zhǔn)凹，否則(b) f在上嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格準(zhǔn)凹，并且滿足。說(shuō)明：表示X的內(nèi)點(diǎn)，表示X的下邊界。：，在上嚴(yán)格準(zhǔn)凹的充分必要條件是加邊海賽因矩陣在任意都是負(fù)半定的，即，（）其中。：稱為在凸集上是嚴(yán)格準(zhǔn)凹的，如果下式成立：?！啊北硎尽皩?duì)于集合S內(nèi)任意兩個(gè)彼此不同的元素x和y”。：如果（或）成立，則偏好次序“?”（或效用函數(shù)u）在S是上嚴(yán)格遞增的。同時(shí)我們也說(shuō)：“?”或u導(dǎo)出。(c) .：令u為代表偏好次序“?”的一個(gè)效用函數(shù)。我們有如下三個(gè)定義：(a) 。：令、及分別表示預(yù)算集、預(yù)算超平面以及從偏好次序“?”導(dǎo)出的需求集合。表示l維歐基理德空間。則該偏好關(guān)系就被稱為一個(gè)連續(xù)的偏好次序。所有相關(guān)內(nèi)容可參閱：Barten和B?hm (1982)，Debreu (1954，1959)，MasColell (1985)，McKenzie (1957)，Mendelson (1962)，Rader (1963)，and Takayama (1986)， Jehle 和Reny (2001)。167。第5節(jié)，我們用兩個(gè)例子來(lái)顯示EUF的概念對(duì)確定一個(gè)良性效用函數(shù)的有效性。EUF可以取代傳統(tǒng)理論中的NUF的概念，它保留了NUF所具有的所有有用信息，但取消了NUF所強(qiáng)加的一些不必要的約束條件。為了方便起見(jiàn)，我們將此稱為飽和定律（the law of satiation）。借助重新定義了的有效區(qū)域的概念，我們將證明：在一定的預(yù)算約束下，一個(gè)具有局部不滿足偏好的消費(fèi)者的最優(yōu)選擇不會(huì)超出其有效區(qū)域。這一假定只要求消費(fèi)者對(duì)一種商品的需求具有不滿足性(Takayama，1986)。問(wèn)題的癥結(jié)在于：要求效用函數(shù)在整個(gè)消費(fèi)集合上嚴(yán)格遞增完全排除了消費(fèi)者對(duì)某些商品飽和需求點(diǎn)存在的可能性。于是，很多良性效用函數(shù)（即那些不滿足NUF限定條件，然而事實(shí)上能夠?qū)С隽夹曰蚓哂辛己脭?shù)學(xué)特性的需求函數(shù)的效用函數(shù)）被判定為不可用。本文假定這一要求已經(jīng)得到滿足。我們稱這樣的函數(shù)為新古典效用函數(shù)（NUF: neoclassical utility function，李子江，1995）。相關(guān)的研究可以追溯到效用函數(shù)的初創(chuàng)時(shí)期，然而在最近的半個(gè)多世紀(jì)以來(lái)卻似乎很少再有人關(guān)注這一問(wèn)題. (Arrow和Enthoven，1961，Hicks 1946)。Effective Utility Function and Its CriterionBy Xiaodong Qi * This paper is originally written in English. The author is ready to send you an English vers