【正文】 — — — 分?jǐn)?shù)詞冪將由Ａ的特征值決定． 若是對矩陣的每個元素進(jìn)行冪，用 .^,如 X = A.^2 A = 1 1 1 1 4 9 1 9 36 sqrtm(A)計(jì)算 A^(1/2)，但要更精確，而 sqrt(A)則 計(jì)算 A.^(1/2),是一個元素一個元素的算． dx/dt=Ax,可以表示為 x(t)=exp(tA)*x(0)。\b) 復(fù)雜度由 O(n^3)變?yōu)?O(n^2)。 讓我們臨時把 A 變一變 : A = pascal(6) A = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 A 是二項(xiàng)式系數(shù) ,每一項(xiàng)是其左方與上方系數(shù)之和 ,求其 Cholesky 分解系數(shù)有 : R = chol(A) R = 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 0 0 1 3 6 10 0 0 0 1 4 10 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 1 Ｒ認(rèn)識二項(xiàng)式系數(shù)． 這樣對于線性方程便可化簡： A*x = b R39。o39。–39。 Y = [ones(size(T)) exp(–T)]*c。 若函數(shù)形式是 :y(t)=c1+c2*exp(t)。*x 稱 內(nèi)積 或 點(diǎn)積 . 下面的語句產(chǎn)生 單位矩陣 eye(m,n) 若用 eye(n)則產(chǎn)生 n*n 的方陣 解線性方程 情況一 : x = A\u x = 10 —12 5 又如： X = A\B X = 19 –3 —1 —17 4 13 6 0 —6 情況二； y 是不同時刻 t 時的觀測值 : t = [0 .3 .8 ]39。 X = 8 3 4 1 5 9 6 7 2 如ｘ與ｙ均是列向量，則 x*y 無解 ,但下二表達(dá)式卻可以 : x39。 1。Frequency [Hertz]39。Phase [Degrees]39。Abs. Magnitude39。*99/length(y)。 p = unwrap(angle(y))。 y = fft(x)。 period(index) ans = 變換后的幅度和相位 abs()和 angle()是用來計(jì)算幅度和相位的 先創(chuàng)建一信號 ,再進(jìn)行分析 ,unwarp()把相位大于π的變換為 2π的補(bǔ)角 : t = 0:1/99:1。 plot(freq,power), grid on xlabel(’cycles/year’) title(’Periodogram’) 上面的圖看起來不大方便 ,下面我們畫出頻譜 周期圖 period = 1./freq。 nyquist = 1/2。 Y(1) = []。 plot(year,wolfer) title(’Sunspot Data’) 現(xiàn)在來看看其 FFT: Y = fft(wolfer)。,2) 實(shí)現(xiàn)所表示的就是濾波后的數(shù)據(jù) ,它代表了 4 小時的平均車流量 MatLab 的信號處理工具箱中提供了很多用來濾波的函數(shù) ,可用來處理實(shí)際問 題 ! 快速傅立葉變換 (FFT) 傅立葉變換能把信號按正弦展開成不同的頻率值 ,對于取樣信號 ,用的是離散傅立葉變換 . FFT 是離散傅立葉變換的一種高速算法 ,在信號和圖像處理中有極大的用處 ! fft 離散傅立葉變換 fft2 二維離散傅立葉變換 fftn n 維離散傅立葉變換 ifft 離散傅立葉反變換 ifft2 二維離散傅立葉反變換 ifftn n 維離散傅立葉反變換 abs 幅度 angle 相角 unwrap 相位按弧度展開 ,大于π的變換為 2π的補(bǔ)角 fftshift 把零隊(duì)列移至功率譜中央 cplxpair 把數(shù)據(jù)排成復(fù)數(shù)對 nextpow2 下兩個更高的功率 向量 x 的 FFT 可以這樣求 : x = [4 3 7 –9 1 0 0 0]’ y = fft(x) y = – – – – + – – – + + x雖然是實(shí)數(shù) ,但 y是復(fù)數(shù) ,其中 ,第一個是因?yàn)樗浅?shù)相加的結(jié)果 ,第五個則對應(yīng)于奈奎斯特頻率 ,后三個數(shù)是由于負(fù)頻率的影響 ,它們是前面三個數(shù)的共軛值 ! 下面 ,讓我們來驗(yàn)證一下太陽黑子活動周期是 11 年 !Wolfer數(shù)記錄了 300年太陽黑子的數(shù)量及大小 : load year = sunspot(:,1)。,39。), grid on legend(39。,t,y,39。 plot(t,x,39。 y = filter(b,a,x)。 b = [1/4 1/4 1/4 1/4]。r:39。r:39。g–39。+39。 [pop2,del2] = polyval(p2,sdate,S2)。+39。 grid on r = pop – 10.^(polyval(logp2,sdate))。+39。–39。 logpred2 = 10.^polyval(logp2,sdate)。+39。 grid on logres2 = log10(pop) –polyval(logp2,sdate)。+39。–39。 logpred1 = 10.^polyval(logp1,sdate)。+39。) res4 = pop – pop4。,cdate,pop,39。 plot(cdate,pop4,39。 figure, plot(cdate,res2,’+’) p = polyfit(sdate,pop,4)。+39。–39。 pop2 = polyval(p,sdate)。+39。) res1 = pop – pop1。,cdate,pop,39。 plot(cdate,pop1,39。), grid on 在上面的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化中，也可以有別的算法，如令１７９０年的人口數(shù)為０． 余量分析 p1 = polyfit(sdate,pop,1)。,cdate,pop,39。 plot(cdate,pop4,39。o39。–39。 Y = [ones(size(T)) exp(– T) (– T)]*a。,), grid on 結(jié)果令人失望，但我們可以增加階數(shù)來提高精確度，但更明智的選擇是用別的方法． 線性參數(shù)回歸 形如： y=a0+a1*exp(t)+a2*t*exp(t) 計(jì)算方法同上： X = [ones(size(t)) exp(– t) t.*exp(– t)]。,t,y,39。 plot(T,Y,39。 plot(t,y,’o’), grid on 多項(xiàng)式回歸 由圖可以看出應(yīng)該可以用多項(xiàng)式來表達(dá)： y=a0+a1*t+a2*t^2 系數(shù) a0,a1,a2可以由最小平方擬合來確定，這一步可由反除號＂＼＂來完成 解下面的三元方程組可得： X = [ones(size(t)) t t.^2] X = 0 0 a = X\y a = – a 即為待求的系數(shù)，畫圖比較可得 T = (0::)’。 點(diǎn)這 看看答案 回歸與曲線擬合 我們經(jīng)常需要把觀測到的數(shù)據(jù)表達(dá)為函數(shù)，假如有如下的對時間的觀測： t = [0 .3 .8 ]’。 nout = sum(outliers) nout = 1 0 0 count(any(outliers39。 sigma = std(count)。 消掉 NaN X(any(isnan(X)’ ),:) = []。 x = x(i) 先找出值不是 NaN 的項(xiàng)的下標(biāo) ,將這些元素保留 x = x(find( ~ isnan(x))) 同上 ,去掉 NaN x = x( ~ isnan(x))。 a(2,2) = NaN a = 8 1 6 3 NaN 7 4 9 2 sum(a) ans = 15 NaN 15 在做統(tǒng)計(jì)時，常需要將 NaN 轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的數(shù)字或去掉 ,以下是幾種方法 : 注 :判斷一個值是否為 NaN,只能用 isnan(),而不可用 x==NaN。Vehicle Count39。Time39。Location 339。Location 239。Location 139。defaultaxeslinestyleorder’,’||.’) set(0,39。 plot(t,y) 則有如下圖形 : 尋求幫助 下面的函數(shù)在尋求幫助時十分有用 : help 列出你所尋求幫助的函數(shù)的功能描 述； lookfor 列出所有函數(shù)的功能描述中含有你所輸入的內(nèi)容的函數(shù)的簡介 如 : help inverse 顯示 not found. 但如輸入 lookfor inverse 則顯示 INVHILB Inverse Hilbert matrix ACOSH Inverse hyperbolic cosine ERFINV Inverse of the error function INV Matrix inver