【正文】 .３形成總剛的常用方法 ４ .５ .４總剛的性質(zhì)及其應(yīng)用 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 平面問(wèn)題的有限元法 ４ .６位移邊界條件的處理 ４ .６ .１總剛的奇異性 ４ .６ .２處理位移邊界條件的常用方法 ４ .７應(yīng)力計(jì)算 ４ .７ .１基本公式 ４ .７ .２變溫應(yīng)力的計(jì)算 ４ .７ .３應(yīng)力的表示方法 ４ .７ .４主應(yīng)力和主方向 ４ .８解題示例與公式推廣 ４ .８ .１解題示例 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 平面問(wèn)題的有限元法 ４ .８ .２ 位移型有限元法求解線彈性靜力問(wèn)題的普遍公式 ４ .９ 斜邊界問(wèn)題的處理 ４ .１０六節(jié)點(diǎn)三角形單元 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 引 言 一 為什么先進(jìn)行平面問(wèn)題的有限元法： １ .平面問(wèn)題的有限元分析較簡(jiǎn)單，具有典型性 ２ .在工程應(yīng)用中有其實(shí)際意義，主要表現(xiàn)在在滿足工程精度的要求 下，降低問(wèn)題的復(fù)雜性，提高分析問(wèn)題的效率。 因而，圣維南原理指出：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換成為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同）那麼近處的應(yīng)力分布將顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。 物理方程 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 邊界條件與圣維南原理 邊界 位移邊界： 應(yīng)力邊界： 混合邊界：既有位移，又有應(yīng)力 vvuu ss ?? ,YlmXmlsxysysyxsx????)()()()(????南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 邊界條件與圣維南原理 前提： （ 1）求解彈力問(wèn)題時(shí)，使應(yīng)力分量，形變分量，位移分量完全滿足 基本方程并不困難，但使邊界條件得到完全滿足卻有很大困難。 其中： Ｅ ——彈性模量（拉壓） Ｇ ——彈性模量（剪切） ?——泊松常數(shù)（泊松比） ????????????????xyxyxyxyyyxxEGEE????????????)1(21)(1)(1南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 在應(yīng)變問(wèn)題中 如將 即可得相同方程 )(0 yxzz ????? ????物理方程 ???????????????????xyxyxyyyxxEEE???????????????)1(2)1(1)1(122????????????11 2EE南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 以上我們介紹了 8 個(gè)方程，可當(dāng)作平面問(wèn)題中的基本方程。因而為了完全確定位移，就必須有三個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件來(lái)確定這三個(gè)常數(shù)。 既然物體在形變?yōu)榱銜r(shí)可以有剛體位移，可見(jiàn)，當(dāng)物體發(fā)生一定形變時(shí)，由約束條件的不同，它可能有不同的剛體位移，因而它的位移并不是完全確定的。同理 PB的正應(yīng)變 PA與 PB間直角的改變，即剪應(yīng)變： ?xy由兩部分組成 (1)由 y向位移 v引起的，即 x向 PA的轉(zhuǎn)角 (2)由 x向位移 u引起的，即 y向 PB的轉(zhuǎn)角 xudxuxuux ????????)(?xyy ????xdxdxx???????? ?????)(xu????南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 幾何方程與剛體位移 ?， ?減小為正 ?剪應(yīng)變 則上式為幾何方程： 平動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng) 000???yuxxy ???????? ????yuxyxuxyyx??????????????????000????南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 由上式可知：位移分量完全確定時(shí)，形變分量完全 確定，反之則不成立。 平面問(wèn)題中的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 1111111 c o s)90c o s (c o ss inlmtg ????????? ?)2()( 121242 ????? ??????? llN南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 幾何方程與剛體位移 現(xiàn)從幾何學(xué)方面考慮平面問(wèn)題，介紹形變分量與位移分量之間 的關(guān)系式， 即幾何方程。 主應(yīng)力經(jīng)推導(dǎo)可得出： 平面問(wèn)題中的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) yxxyyxyx ??????????? ?????????212221 )2(2南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 而 ?1與 x軸的夾角為 ?1 ，則 ?2與 x軸的夾角為 ?2， ?1與 ?2互相垂直 同時(shí)兩個(gè)主應(yīng)力也就是最大最小的正應(yīng)力。?lds?mds= ?PAB 由 ?Fx=0 ?XN=l ?x +m ?xy ?Fy=0 ?YN=m?y +l ?xy (2)正應(yīng)力 ?N ，剪應(yīng)力為 ?N 投影關(guān)系可得： ?N = l XN +m YN = l 2?z +m 2 ?y +2lm ?xy ?N = l YN –m YN = lm(?y –?x)+(l 2 –m 2 ) ?xy ??南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 如果已知 點(diǎn)處的應(yīng)力分量 ?x ， ?y ， ?xy 就可以求出任意斜面上的正應(yīng)力 ?N，剪應(yīng)力 ?N 。 平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題 從靜力學(xué)角度出發(fā)介紹應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式即平衡微分方程 見(jiàn)圖： 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 通過(guò)中心 C 并平行于 z 軸的直線為矩軸 以 x 軸為投影軸 以 y 軸為投影軸 ? 說(shuō)明： （ 1）三個(gè)未知數(shù) ? （ 2）平面應(yīng)變問(wèn)題中， ?z 不影響方程的建立，同樣適用 00 ?????????? YxyF xyyy ??00 ?????????? XyxF yxxx ??yxxycM ?? ???? 0平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 平面問(wèn)題中的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 繼續(xù)考慮平面問(wèn)題的靜力學(xué)方面，假定已知任一點(diǎn) P出的應(yīng)力分量 ?x ， ?y ， ?xy = ?yx ，求出經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的平行于 z 軸而傾斜 z 于軸， y 軸的任何斜面上的應(yīng)力。 假設(shè)該物體為無(wú)限長(zhǎng)，可以以任 意橫截面為 x 軸，則所有的量都不沿 z 變化，而只是 x , y 的函數(shù)，只有 x , y 的位移而 z 向位移為 0，因?yàn)樗袀€(gè) 點(diǎn)的位移矢都平行于 xy 面，稱(chēng)為平面 位移問(wèn)題，但習(xí)慣上稱(chēng)為平面應(yīng)變問(wèn)題。 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 （ 1）平面應(yīng)力問(wèn)題 設(shè)有很薄的等厚度板，受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力。 在倒出方程時(shí)，可以從三個(gè)方面來(lái)分析： 1 靜力學(xué)方面，建立應(yīng)力，體力，面力之間的關(guān)系 2 幾何學(xué)方面，建立位移，形變，邊界位移之間的關(guān)系 3 物理學(xué)方面，建立形變，應(yīng)力之間的關(guān)系 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 平面問(wèn)題的基本理論 ３ .１平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題 ３ .２平衡微分方程 ３ .３平面問(wèn)題中的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) ３ .４幾何方程與剛體位移 ３ .５物理方程 ３ .６邊界條件與圣維南原理 ３ .７總結(jié) 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題 任何一個(gè)彈性體都是空間的物體，一般的外力都是空間力系。 在彈性力學(xué)的問(wèn)題里，通常已知物體的形狀和大小，（即已知物體的邊界），物體的彈性常數(shù)，物體所受的力，物體邊界上的約束情況或面力，而應(yīng)力分量，形變分量和位移分量則是需求解的。這三個(gè)投影稱(chēng)為該點(diǎn)的位移分量，因次是長(zhǎng)度。因此，這六個(gè)應(yīng)變，稱(chēng)為該點(diǎn)的形變分量，可以完全確定該點(diǎn)的形態(tài)狀態(tài)。 剪應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)。 zyyzzyyzzxyyxz ???? ?????????? 02222彈性力學(xué)中的基本概念 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院機(jī)械振動(dòng)沖擊仿真研究室 (PC:210016) Tel:(025)48922022504 Fax:(025)4895966 各線段的每個(gè)單位長(zhǎng)度的伸縮，即單位伸縮或相對(duì)伸縮稱(chēng)為正應(yīng)變，各線段之間直角的改變，用弧度表示，稱(chēng)為剪應(yīng)變，分別用 ?x , ?xz表示。 為了分析物體在某一點(diǎn)的形態(tài)狀態(tài)，在這一點(diǎn)