【正文】 1 ? ????????????????0000000000001221211121111 kkkkK對(duì)于單元 2 ? ??????????????0000000000002332322232222kkkkK對(duì)于單元 3 ? ??????????????34434333433330000000000000kkkkK 單元?jiǎng)偠染仃嚰傻贸稣w剛度矩陣 ? ? ? ? ? ? ? ?????????????????????34434333433323323222322212212111211132100000043214321kkkkkkkkkkkkKKKK結(jié)點(diǎn)編號(hào)第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 52 整體剛度矩陣的性質(zhì) 整體剛度矩陣 中位于主對(duì)角線上的子塊 ，稱為主子塊，其余 為副子塊。其中 ? ??????????????????344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK 為整體剛度矩 陣。 的上角標(biāo)表示單元編號(hào)，下角標(biāo)表示單元 j端單位位移所引起的 i端相應(yīng)力。 第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 47 用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。 整體剛度矩陣的求解是建立在結(jié)構(gòu) 平衡條件的基礎(chǔ)之上， 因此研究對(duì)象以整體坐標(biāo)系為 依據(jù)。 ??ek? ? ? ?? ? ? ?TTkTk ee ? 和 一樣， 為對(duì)稱陣、奇異陣 。 第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 42 坐標(biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃? 坐標(biāo)變換 在整體坐標(biāo)系中單元結(jié)點(diǎn)力向量和結(jié)點(diǎn)位移列向量 可分別表示成 ? ? ? ?Tjjjiiiejeie vuvu ????? ????????????? ? ? ?Tjjjiiijie MYXMYXFFF ???????? (a) 向量轉(zhuǎn)換分析 (b) 向量轉(zhuǎn)換 圖 38 向量轉(zhuǎn)換示意圖 ?? s inc o s iii vuu ???? c o ss in iii vuv ??ii ?? ?第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 43 ???????????????????? ????????????iiiiiivuvu?????? 1000c o ss i n0s i nc o s對(duì)于梁?jiǎn)卧鐖D 38(b)所示，則有 ?????????????????????????????????????????????????????????????????jjjiiijjjiiivuvuvuvu????????????1000000c o ss i n0000s i nc o s0000001000000c o ss i n0000s i nc o s可簡(jiǎn)寫為 ? ? ? ?? ?ee T ?? ?第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 44 同理 ? ? ? ?? ?ee FTF ?式中 —— 平面剛架梁?jiǎn)卧膹木植孔鴺?biāo)系向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。 d. 單元?jiǎng)偠染仃嚳梢苑謮K矩陣的形式表示。在單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)角線兩側(cè)對(duì)稱位臵上的兩個(gè)元素?cái)?shù)值相等，即，根據(jù)是反力互等定理。僅與單元的橫截面積 A、慣性矩 I、 單元長(zhǎng)度 l、單元的彈性模量 E有關(guān)。 ??? A dy d zA0?? ?? A y dy dzS??? A d y d zyI 2?? ?????????????????????????????????????????????????lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkkkkkejjejieijeiie460260612061200000260460612061200000222323222323第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 39 平面桁架的單元?jiǎng)偠染仃嚍? ? ???????????????????????lEAlEAlEAlEAkkkkk ejjejieijeiie 空間桁架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有 3個(gè)位移分量，其單元結(jié)點(diǎn)位移列向量 ? ? ? ?Tjjjiiijie wuwu ????? ???????? 空間桁架局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀?6 6的 ? ???????????????????????????????????00000000000000000000000000000000lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 40 空間剛架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有 6個(gè)位移分量，其單元結(jié)點(diǎn)位移列向量 ? ? ? ? Tjzjyjxjjjiziyixiiijie wvuwvu ????????? ???????? 空間剛架局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀?12 12的。 ??B? ?? ? exx BEE ??? ??第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 37 平面剛架梁?jiǎn)卧膭偠染仃? 梁?jiǎn)卧?i， j結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移為 ? ? ? ?T******* jjjiiie uu ????? ? 單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為 ? ? ? ?? ?ex B ** ?? ?由虛功原理有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? d x d y d zF xv xee ??? T*T* ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? eve d x d y d zBEB ?? TT* ???? 由于結(jié)點(diǎn)虛位移 的任意性，故上式可寫成 ? ?e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? eeeve kd xd yd zBEBF ??T???? 上式稱為局部坐標(biāo)下的平面剛架單元的剛度方程，簡(jiǎn)稱為單剛。 軸向應(yīng)變?yōu)? 彎曲應(yīng)變?yōu)? y為梁?jiǎn)卧我饨孛嫔先我恻c(diǎn)至中性軸 (x軸 )的距離。 34 梁?jiǎn)卧矫鎻澢奈灰坪瘮?shù) 梁?jiǎn)卧矫鎻澢鷥H考慮結(jié)點(diǎn)的四個(gè)位移分量 ， ， ， ，由材料力學(xué)知 ,各截面的轉(zhuǎn)角 : 故梁?jiǎn)卧矫鎻澢奈灰票磉_(dá)式可分為僅包含四個(gè)待定系數(shù) ， ， ， 的多項(xiàng)式 單元結(jié)點(diǎn)位移條件 當(dāng) 時(shí) ， 當(dāng) 時(shí) ， i? i? j? j? xv??? ?1? 2? 3? 4? 342321)( xxxxv ???? ????0?x ivv? ixv ??? ? lx? jvv?jxv ??? ?? ? ? ?? ? ? ?????????????????????jijijijiiilvvllvvlv?????????234232112213第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 35 ??????????????????????32233223223322112312231xlxlNxlxlNxlxlxNxlxlNjjviiv??jjjjviiiiv NvNNvNxv ?? ?? ????)(? ? ejjiijuiuNNNNNNvu ?????????????????? 000000? ? ? ?? ?eNf ??稱為形函數(shù)矩陣。 0?xlx?iuu?juu?iu?1? l uu ij ??2?jjuiiu uNNxu ?? ?)(lxNiu ?? 1 lxN ju ?iuN juN 1?iu 0?ju 0?iu 1?ju第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)當(dāng)全部包含在位移函數(shù)中。至于高次項(xiàng)要選取多少項(xiàng)，則應(yīng)視單元的類型而定。 為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下列要求 : a. 單元位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)。對(duì)于任意方向的力學(xué)向量，應(yīng)分解為沿坐標(biāo)軸方向的分量。當(dāng)結(jié)構(gòu)有非結(jié)點(diǎn)載荷作用時(shí)，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其 第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 (a) 結(jié)點(diǎn)載荷處理方式 (b) 等效結(jié)點(diǎn)載荷處理方式 圖 32桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖 29 坐標(biāo)系 圖 33 坐標(biāo)系示意圖 為了建立結(jié)構(gòu)的平衡條件，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析，尚需要建立一個(gè)對(duì)每個(gè)單元都適用的統(tǒng)一坐標(biāo)系，即結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系或稱之為整體坐標(biāo)系、總體坐標(biāo)系 。如若提高計(jì)算精度，也可以在桿件中間增加結(jié)點(diǎn)。 第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 28 c. 變截面桿件可分段處理成多個(gè)單元，取各段中點(diǎn)處的截面近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿進(jìn)行計(jì)算。 b. 結(jié)構(gòu)中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的每一個(gè)等截面直桿可以設(shè)臵為一個(gè)單元。 桿系結(jié)構(gòu)的離散化的要點(diǎn)可參考如下： a. 桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、自由端、集中載荷作用點(diǎn)、支承點(diǎn)以及沿桿長(zhǎng)截面突變處等均可設(shè)臵成結(jié)點(diǎn)。 桿系結(jié)構(gòu)可以由桿單元、梁?jiǎn)卧M成 。 自由度計(jì)算公式 zgjW ??? 2zgjW ??? 3平面桁架 空間桁架 桁架中的結(jié)點(diǎn)數(shù)為 j，桿件數(shù)為 g，支座鏈桿數(shù)為 z，則桁架的自由度 W 為 (2) 平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計(jì)算公式 25 結(jié)構(gòu)離散與向量表示 第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣 坐標(biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃? 整體剛度矩陣 約束處理及求解 計(jì)算示例 ANSYS桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 26 結(jié)構(gòu)離散與向量表示