【正文】 1 或 x m ＋ 1. 又 ∵ ? p 是 ? q 的充分而不必要條件， ∴????? m － 1 ≥ 1 ，m ＋ 1 ≤ 5. ∴ 2 ≤ m ≤ 4. 解 : 由題意 p ：－ 2 ≤ x － 3 ≤ 2 ， ∴ 1 ≤ x ≤ 5. ∴ ? p ： x 1 或 x 5. q ： m － 1 ≤ x ≤ m ＋ 1 ， ∴ ? q ： x m － 1 或 x m ＋ 1. 又 ∵ ? p 是 ? q 的充分而不必要條件， ∴ ????? m － 1 ≥ 1 ，m ＋ 1 ≤ 5. ∴ 2 ≤ m ≤ 4. 主頁 三、解答題 8 . 設(shè) p ：實數(shù) x 滿足 x 2 － 4 ax ＋ 3 a 2 0 ，其中 a 0 ； q ：實數(shù) x 滿足 x 2 － x － 6 ≤ 0 ，或 x 2 ＋ 2 x － 8 0 ，且 ? p 是 ? q 的必要不充分條件，求 a 的取值范圍 . 解 ： 設(shè) A ＝ { x | p } ＝ { x | x 2 － 4 ax ＋ 3 a 2 0 , a 0 } ＝ { x |3 a x a , a 0 } ， B ＝ { x | q } ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0 或 x 2 ＋ 2 x － 8 0} ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0} ∪ { x | x 2 ＋ 2 x － 80 } ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 3} ∪ { x | x － 4 或 x 2 } ＝ { x | x － 4 或 x ≥ － 2 } . ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分條件， 解 ： 設(shè) A ＝ { x | p } ＝ { x | x 2 － 4 ax ＋ 3 a 2 0 , a 0 } ＝ { x |3 a x a , a 0 } ， B ＝ { x | q } ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0 或 x 2 ＋ 2 x － 8 0} ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0} ∪ { x | x 2 ＋ 2 x － 80 } ＝ { x |－ 2 ≤ x ≤ 3} ∪ { x | x － 4 或 x 2 } ＝ { x | x － 4 或 x ≥ － 2 } . ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分條件， 解 ： 設(shè) A ＝ { x | p } ＝ { x | x 2 － 4 ax ＋ 3 a 2 0 , a 0 } ＝ { x |3 a x a , a 0 } ， B ＝ { x | q } ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0 或 x 2 ＋ 2 x － 8 0} ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0} ∪ { x | x 2 ＋ 2 x － 80 } ＝ { x |－ 2 ≤ x ≤ 3} ∪ { x | x － 4 或 x 2 } ＝ { x | x － 4 或 x ≥ － 2 } . ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分條件， 解 ： 設(shè) A ＝ { x | p } ＝ { x | x 2 － 4 ax ＋ 3 a 2 0 , a 0 } ＝ { x |3 a x a , a 0 } ， B ＝ { x | q } ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0 或 x 2 ＋ 2 x － 8 0} ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0} ∪ { x | x 2 ＋ 2 x － 80 } ＝ { x |－ 2 ≤ x ≤ 3} ∪ { x | x － 4 或 x 2 } ＝ { x | x － 4 或 x ≥ － 2 } . ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分條件， 解 ： 設(shè) A ＝ { x | p } ＝ { x | x 2 － 4 ax ＋ 3 a 2 0 , a 0 } ＝ { x |3 a x a , a 0 } ， B ＝ { x | q } ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0 或 x 2 ＋ 2 x － 8 0} ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0} ∪ { x | x 2 ＋ 2 x － 80 } ＝ { x |－ 2 ≤ x ≤ 3} ∪ { x | x － 4 或 x 2 } ＝ { x | x － 4 或 x ≥ － 2 } . ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分條件， 解 ： 設(shè) A ＝ { x | p } ＝ { x | x 2 － 4 ax ＋ 3 a 2 0 , a 0 } ＝ { x |3 a x a , a 0 } ， B ＝ { x | q } ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0 或 x 2 ＋ 2 x － 8 0} ＝ { x | x 2 － x － 6 ≤ 0} ∪ { x | x 2 ＋ 2 x － 80 } ＝ { x |－ 2 ≤ x ≤ 3} ∪ { x | x － 4 或 x 2 } ＝ { x | x － 4 或 x ≥ － 2 } . ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分條件， 且 .q p p q? ? ? ? ? ?191。0,1 2 ,1 1 0 .mmm??? ???? ???≤或 ≥ 9 9 ,mm ?即 或[8分 ] [12分 ] 思想與方法主頁 方法二 ∵ ? p 是 ? q 的必要而不充分條件， ∴ p 是 q 的充分而不必要條件 . [2 分 ] 由 q ： x 2 － 2 x ＋ 1 － m 2 ≤ 0 ，得 1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m ， ∴ q ： Q ＝ { x |1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m } . [4 分 ] 由 ?? ??1 － x － 13 ≤ 2 ，解得－ 2 ≤ x ≤ 10 ， ∴ p ： P ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 10 } . [6 分 ] ∵ p 是 q 的充分而不必要條件， ∴ P Q ，即????? m 0 ，1 － m ≤ － 2 ，1 ＋ m ≥ 10 ， 解得 m ≥ 9. [ 12 分 ] 方法二 ∵ ? p 是 ? q 的必要而不充分條件， ∴ p 是 q 的充分而不必要條件 . [2 分 ] 由 q ： x 2 － 2 x ＋ 1 － m 2 ≤ 0 ，得 1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m ， ∴ q ： Q ＝ { x |1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m } . [4 分 ] 由 ?? ??1 － x － 13 ≤ 2 ，解得－ 2 ≤ x ≤ 10 ， ∴ p ： P ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 10 } . [6 分 ] ∵ p 是 q 的充分而不必要條件， ∴ P Q ，即????? m 0 ，1 － m ≤ － 2 ，1 ＋ m ≥ 10 ， 解得 m ≥ 9. [ 12 分 ] 方法二 ∵ ? p 是 ? q 的必要而不充分條件， ∴ p 是 q 的充分而不必要條件 . [2 分 ] 由 q ： x 2 － 2 x ＋ 1 － m 2 ≤ 0 ，得 1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m ， ∴ q ： Q ＝ { x |1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m } . [4 分 ] 由 ?? ??1 －x － 13 ≤ 2 ，解得－ 2 ≤ x ≤ 10 ， ∴ p ： P ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 10 } . [6 分 ] ∵ p 是 q 的充分而不必要條件， ∴ P Q ，即????? m 0 ，1 － m ≤ － 2 ，1 ＋ m ≥ 10 ， 解得 m ≥ 9. [ 12 分 ] ∵ p是 q的充分而不必要條件， ≥0,1 2 ,1 1 0 ,mmm???? ? ? ??? ??≥ 以0,1 2 ,1 1 0 .mmm??? ???? ???≤或 ≥ 9 9 ,mm ?即 或[12分 ] .PQ? 220。 .AB? 220。 ，因此 ④ 正確 . 變式訓(xùn)練 2主頁 題 型 三充要條件的證明 例 3. 求證：關(guān)于 x的方程 ax2＋ 2x＋ 1＝ 0至少有一個負(fù)實根的充要條件是 a≤ 1. 證明 ： 充分性： 當(dāng) a ＝ 0 時， 方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 ，其根為 x ＝－ 12 ， 方程有一個負(fù)根，符合題意 . 當(dāng) a 0 時， Δ ＝ 4 － 4 a 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根， 且 1a 0 ，方程有一正一負(fù)根，符合題意 . 當(dāng) 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負(fù)根，符合題意 . 綜上知：當(dāng) a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負(fù)根 . 當(dāng) a 0 時 , Δ ＝ 4 － 4 a 0 , 方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根 , 且 1a 0 ，方程有一正一負(fù)根，符合題意 . 當(dāng) 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ????? －2a 01a 0 ，故方程有兩個負(fù)根，符合題意 . 綜上知：當(dāng) a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負(fù)根 . 證明 ： 充分性： 當(dāng) a ＝ 0 時， 方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 ，其根為 x ＝－ 12 ， 方程有一個負(fù)根，符合題意 . 當(dāng) a 0 時， Δ ＝ 4 － 4 a 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根， 且 1a 0 ，方程有一正一負(fù)根，符合題意 . 當(dāng) 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? －2a 01a 0 ，故方程有兩個負(fù)根，符合題意 . 綜上知：當(dāng) a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負(fù)根 . 當(dāng) 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ????? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負(fù)根，符合題意 . 綜上知：當(dāng) a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負(fù)根 . 當(dāng) a 0 時 ,Δ ＝ 4 － 4 a 0 , 方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根 , 且 1a 0 ，方程有一正一負(fù)根，符合題意 . 當(dāng) 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負(fù)根，符合題意 . 綜上知：當(dāng) a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負(fù)根 . 當(dāng) 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負(fù)根，符合題意 . 綜上知：當(dāng) a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負(fù)根 . 當(dāng) 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? －2a 01a 0 ，故方程有兩個負(fù)根，符合題意 . 綜上知：當(dāng) a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負(fù)根 . 2 0,1 0aa?????? ??且主頁 綜上知：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一負(fù)根，則 a ≤ 1. 故關(guān)于 x 的方程