【正文】 力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 在圓周上， r = a，速度分量為： 相應(yīng)的壓強(qiáng)系數(shù)為： ??????? s i n2s i n)1(10c o s)1(2222?????????????????VaaVrVaaVrV r?222si n411 ?????VVCp* 繞圓流動(dòng)在表面上只有周向速度 ， 沒(méi)有徑向速度 Folie52 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 在圓周前后駐點(diǎn)， θ=0176。這樣位函數(shù)和流函數(shù)可以寫(xiě)為： ψ=0是一條特殊的流線 。圓的半徑可以從 駐點(diǎn) A的坐標(biāo)定出來(lái)。再把一個(gè)軸線指向負(fù) x 的偶極子放在坐標(biāo)原點(diǎn)處。 Folie48 直均流加變強(qiáng)度點(diǎn)源 直均流加等強(qiáng)度點(diǎn)源、點(diǎn)匯 用分布的點(diǎn)源、點(diǎn)匯構(gòu)造物面 直均流加偶極子 實(shí)驗(yàn)演示的直均流加點(diǎn)源和點(diǎn)匯的其他例子 Folie49 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 直勻流加偶極子（無(wú)環(huán)量的圓柱繞流） 只有當(dāng)正源和負(fù)源的總強(qiáng)度等于零時(shí)，物形才是封閉的。這是大多鈍頭物體低速流動(dòng)的特點(diǎn)。這一點(diǎn)稱(chēng)最大速度點(diǎn)，或最低壓強(qiáng)點(diǎn)。從駐點(diǎn)往后， Cp迅速下降，在距 A不很遠(yuǎn)的地方， Cp 降到零，該點(diǎn)流速已達(dá)遠(yuǎn)前方的來(lái)流速度。這個(gè)半無(wú)限體在 +x 無(wú)限遠(yuǎn)處，其寬度（ y 向尺寸）趨向一個(gè)漸近值 D 為： ??VQD2Q??Folie46 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 通常將壓強(qiáng)表為無(wú)量綱的 壓強(qiáng)系數(shù) Cp ，其定義是當(dāng)?shù)仂o壓減去來(lái)流靜壓再除以來(lái)流的動(dòng)壓頭。所以，我們可以把外部流動(dòng)看作是在直勻流中放了一個(gè) BAB′那樣形狀的物體所造成的流動(dòng)。流線是氣流不可逾越的線。它像一道圍墻一樣，把流場(chǎng)劃分成為兩部分。由流函數(shù)表達(dá)： CQyV ??? ? ??? 2由駐點(diǎn)坐標(biāo)（ y=0,θ=π) 定常數(shù) c，得 c＝ Q / 2 ，從而得流線 BAB′的方程為： )(2 ??? ???VQy用直角坐標(biāo)表達(dá)，注意到反正切的值域?yàn)?[π/2,π/2]： )32()41(像限、像限、xya rc t gxya rc t g??????Folie44 )41()(2 象限、xya r c t gVQy ?????該流線與 y 軸交于 處，當(dāng) ?? VQ4????? VQyx 2時(shí)，即流線在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于寬度為 的直線。 對(duì)于 的流線方程為： 得到解為： 說(shuō)明是通過(guò)駐點(diǎn)的一條水平流線。 r Vθ＝ ω r Vθ＝ k / r r0 p Folie39 bxay ???byax ???rQ ln2 ?? ?點(diǎn)源： ??? 2Q?22 yxxM???偶極子： 22yMxy? ?? ?直勻流： ??? 2??點(diǎn)渦： rln2 ?? ???x y 基本解位函數(shù)、流函數(shù)小結(jié)： a b Folie40 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 1 、直勻流加點(diǎn)源 在一個(gè)平行于 x 軸由左向右流去的直勻流里，加一個(gè)強(qiáng)度為 Q的源，把坐標(biāo)原點(diǎn)放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是： 兩個(gè)分速是： 在 x 軸線上有一個(gè)合速為零的點(diǎn) ， 即駐點(diǎn) A。 20 12 rrv?? ?????Folie38 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 一般地說(shuō) ， 這個(gè)尺寸不大 ， 我們作外部流場(chǎng)的計(jì)算時(shí) ， 可以不管它 ， 把它看作很微小就行了 。核內(nèi)是有旋流，核外是無(wú)旋流。結(jié)果， 實(shí)際渦總是有一個(gè)核，核內(nèi)流體的不是與 r 成反比，而 是與 r 成正比。當(dāng) r →0 時(shí)，速度趨近于無(wú)窮大，相應(yīng)的壓強(qiáng)也趨于負(fù)無(wú)限大，這是不現(xiàn)實(shí)的。 ? ? ? ?22 l n22 ya r c t g x yx ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ????????????????????)(222222 2233112211IJGICDEFCDABIJGNEFCDAB rrrrrrrrrr?????????????????Folie37 2022年版本 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 這種點(diǎn)渦其實(shí)應(yīng)該看作是一根在 z 方向無(wú)限長(zhǎng)的直渦線。其位函數(shù)和流函數(shù)分別為 l n22 r? ? ?????? ? ?1( 2 ) 2v r v r??? ??? ? ?等勢(shì)線是射線，流線是圓 Folie34 由幾何條件可立刻寫(xiě)出 u 、 v 分量： ?? sinVu ??2222c o s yxxrxrVv ?????????? x y u v Vθ θ 位函數(shù)可由上式代入 然后積分求出，但方便的還是利用極座標(biāo)關(guān)系： ux ????rVr ???? 2?????積分后得： xya r ct g???? 22????顯然等位線 Φ =C是 一系列射線 ryr?2???222 yxy?????怎么求位函數(shù)？ Folie35 求流函數(shù)可由極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的柯西－黎曼關(guān)系： 2Vr r r?????? ? ?? ? ? ? ? ???積分得： )l n (4ln2 22 yxr ??????? ???顯然流線 ψ = C 是一系列同心圓，可見(jiàn)點(diǎn)渦與點(diǎn)源的位函數(shù)與流函數(shù)只是對(duì)調(diào)了一下（上述負(fù)號(hào)只是代表渦轉(zhuǎn)向）。 式中的 Γ 是個(gè)常數(shù)，稱(chēng)為點(diǎn)渦的強(qiáng)度，逆時(shí)針 方向?yàn)檎?。如果偶極子軸線和 x 軸成 θ 角，正向指向第三象限，則勢(shì)函數(shù)和對(duì)應(yīng)流函數(shù)分別為： ? ?2 2 2 2c o s s i n ( c o s s i n )MMx y y xx y x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???2222( ) c o s ( ) s in( ) ( )( ) c o s ( ) s in( ) ( )xyMxyyxMxy? ? ? ????? ? ? ????? ? ??? ? ?? ? ???? ? ?如果偶極子位于（ ξ， η），軸線和 x 軸成 θ 角，正向指向第三象限，則勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為： Folie33 2022年版本 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 點(diǎn)渦 點(diǎn)渦是位于原點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)渦的流動(dòng)，流線是一些同心圓。 2 2 22202 2 2 202( , ) l im l n42l im4hhQ x y x h hxyxyQ h x xMx y x y???????? ? ?? ?????????2 2 222 ( )x C x c y cxy ?? ? ??Folie31 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 偶極子的流函數(shù) : 取 h→0 而 Qh/2π=M 保持不變的極限結(jié)果，是 22yMxy? ?? ?? ?12122Qya r c tgxhya r c tgx? ? ????????? 流線也是一些圓，圓心都在 y 軸上，且都過(guò)源點(diǎn) O： 兩個(gè)分速的表達(dá)式是： 合速度為： 2 2 222 ( )y C x y c cxy ?? ? ??222 2 2 22 2 2 2( ) c o s 2()2 sin 2()M y xuMx x y rM x yvMy x y r??????? ? ? ????? ? ? ? ???222rMvuV ???Folie32 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 要注意，偶極子是源匯無(wú)限靠近的極限情況，它是 有軸線方向 的，原來(lái)的源和匯放在哪條直線上，那條直線就是它的軸線。 現(xiàn)在我們考慮一種極限情況，當(dāng) h→0 ，但同時(shí) Q增大，使 ]ln)([ l n2 2222 yxyhxQ ????? ??? ?212 ???? ?? Qhxya r ct g??1? xya r ct g?2?MQh ??2Folie30 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 保持不變的極限情況。從源出來(lái)的流量都進(jìn)入?yún)R。 設(shè)半徑為 r處的流速是 vr，那么這個(gè)源的總流量是 ?vrrvQ ?2?rQvr12??rvx y 流量是常數(shù)，故流速 vr 與半徑成反比。負(fù)源（又名匯）是一種與正源流向相反的向心流動(dòng)。相應(yīng)的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)為 , u a v b?? byvaxu ???????? ?? cbyaxbdyadxdyydxxd???????????????, d d x d y v d x u d yxyV y c V x c?????????? ? ? ? ???? ? ? ??VFolie25 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、幾種簡(jiǎn)單的二維位流 點(diǎn)源 源可以有正負(fù)。 存在條件 物理意義 拉普拉斯方程 獲得途徑