高數(shù)同濟(jì)7版教案第一章函數(shù)與極限-文庫(kù)吧資料
2025-04-23 12:56本頁(yè)面
【正文】 數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋畬?duì)于任意的，在上至少可以確定一個(gè)與對(duì)應(yīng)，且滿足．如果把看作自變量，看作因變量，就可以得到一個(gè)新的函數(shù)：．我們稱這個(gè)新的函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，而把函數(shù)稱為直接函數(shù)．說明：一個(gè)函數(shù)若有反函數(shù)，則有恒等式．相應(yīng)地有．例如，直接函數(shù)的反函數(shù)為，并且有，．由于習(xí)慣上表示自變量，表示因變量，于是我們約定也是直接函數(shù)的反函數(shù)．6. 函數(shù)的性質(zhì)（1）有界性有界定義：若有正數(shù)存在，使函數(shù)在區(qū)間上恒有，則稱在區(qū)間上是有界函數(shù)；否則，在區(qū)間上是無(wú)界函數(shù)．上界定義：如果存在常數(shù)（不一定局限于正數(shù)），使函數(shù)在區(qū)間上恒有f(x)M，則稱在區(qū)間上有上界，并且任意一個(gè)的數(shù)都是在區(qū)間上的一個(gè)上界；下界定義：如果存在常數(shù)，使在區(qū)間上恒有，則稱在區(qū)間上有下界，并且任意一個(gè)的數(shù)都是在區(qū)間上的一個(gè)下界．顯然，函數(shù)在區(qū)間上有界的充分必要條件是在區(qū)間上既有上界又有下界．（2）單調(diào)性嚴(yán)格單調(diào)遞增：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的任意兩點(diǎn)，都有（或），則稱在區(qū)間上為嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）的函數(shù)．嚴(yán)格單調(diào)遞增：如果函數(shù)在區(qū)間上的任意兩點(diǎn)，都有（或），則稱在區(qū)間上為廣義單調(diào)增加（或廣義單調(diào)減少）的函數(shù)．廣義單調(diào)增加的函數(shù)，通常簡(jiǎn)稱為單調(diào)增加的函數(shù)或非減函數(shù)；廣義單調(diào)減少的函數(shù)則簡(jiǎn)稱為單調(diào)減少的函數(shù)或非增函數(shù)．例如，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的；在區(qū)間內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的．而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是嚴(yán)格單調(diào)增加的．（3）奇偶性若函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上滿足（或）則稱為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）．偶函數(shù)的圖形是關(guān)于軸對(duì)稱的；奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的．例如，在定義區(qū)間上都是偶函數(shù)．而、在定義區(qū)間上都是奇函數(shù)．（4）周期性對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù),對(duì)一切的均有，則稱函數(shù)為周期函數(shù)．并把稱為的周期．應(yīng)當(dāng)指出的是，通常講的周期函數(shù)的周期是指最小的正周期．7. 初等函數(shù)基本初等函數(shù)圖11 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和常數(shù)這6類函數(shù)叫做基本初等函數(shù)．這些函數(shù)在中學(xué)的數(shù)學(xué)課程里已經(jīng)學(xué)過．（1）冪函數(shù) 它的定義域和值域依的取值不同而不同，但是無(wú)論取何值，冪函數(shù)在內(nèi)總有定義．當(dāng)或時(shí)，定義域?yàn)椋Ｒ姷膬绾瘮?shù)的圖形如圖11所示．圖12（2）指數(shù)函數(shù) 它的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋笖?shù)函數(shù)的圖形如圖12所示．圖13（3）對(duì)數(shù)函數(shù) 定義域?yàn)?，值域?yàn)椋畬?duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)．其圖形見圖13．在工程中，常以無(wú)理數(shù)e＝ 281 828…作為指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底，并且記，而后者稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)．（4）三角函數(shù)三角函數(shù)有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)．其中正弦、余弦、正切和余切函數(shù)的圖形見圖14．圖14（5）反三角函數(shù)反三角函數(shù)主要包括反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)等．它們的圖形如圖15所示．圖15 圖166．常量函數(shù)為常數(shù) （為常數(shù)）定義域?yàn)椋瘮?shù)的圖形是一條水平的直線，如圖16所示．初等函數(shù) 通常把由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的并用一個(gè)解析式表達(dá)的函數(shù)，稱為初等函數(shù)．非初等函數(shù)經(jīng)常遇到．例如符號(hào)函數(shù)，取整函數(shù)等分段函數(shù)就是非初等函數(shù)．在微積分運(yùn)算中，常把一個(gè)初等函數(shù)分解為基本初等函數(shù)來研究，學(xué)會(huì)分析初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)是十分重要的．作業(yè) P16 第1題的（1）、（3）、（5）、（7）、（9）小結(jié)與思考：本節(jié)復(fù)習(xí)了中學(xué)學(xué)過的各種函數(shù)，應(yīng)該熟記六種基本初等函數(shù)的性態(tài)，為后繼課的學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備．1．是否為初等函數(shù)？ 第二節(jié) 數(shù)列的極限一、 數(shù)列極限的定義極限概念是由于求某些實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的．引例 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法——割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用．設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為；再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為；循此下去，每次邊數(shù)加倍，一般地把內(nèi)接正邊形的面積記為．這樣，就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：它們構(gòu)成一列有次序的數(shù)．當(dāng)越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，從而以作為圓面積的近似值也越精確．但是無(wú)論取得如何大，只要取定了，終究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積．因此，設(shè)想無(wú)限增大（記為，讀作趨于無(wú)窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加，在這個(gè)過程中，內(nèi)接正多邊形無(wú)限接近于圓，同時(shí)也無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值，這個(gè)確定的數(shù)值就理解為圓的面積．這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)列）當(dāng)時(shí)的極限．在圓面積問題中我們看到，正是這個(gè)數(shù)列的極限才精確地表達(dá)了圓的面積．在解決實(shí)際問題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數(shù)學(xué)中的一種基本方法，因此有必要作進(jìn)一步的闡明．?dāng)?shù)列的概念 如果按照某一法則，有第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)，…這樣依次序排列著，使得對(duì)應(yīng)著任何一個(gè)正整數(shù)有一個(gè)確定的數(shù)，那么，這列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)．例如：都是數(shù)列的例子，它們的一般項(xiàng)依次為．以后，數(shù)列也簡(jiǎn)記為數(shù)列．?dāng)?shù)列極限定義一般地：如果數(shù)列與常數(shù)有下列關(guān)系：對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么小），總存在正整數(shù)，使得對(duì)于時(shí)的一切，不等式都成立，則稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于，記為或 ．如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的．如：．例1 已知，證明數(shù)列的極限是0。R, g(x)=sin x, 映射，對(duì)每個(gè)．則映射g和f構(gòu)成復(fù)映射f o g: R174。 D f .（2）映射的復(fù)合是有順序的,f o g有意義并不表示g o f 也有意義. 即使它們都有意義,f o g與g o f也未必相同.例3 設(shè)有映射 g : R174。Z, (f o g)(x)=f[g(x)], x206。X映射成f[g(x)]206。Z, 其中Y1204。例如, 映射其逆映射為復(fù)合映射定義
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