高考圓錐曲線典型例題必考-文庫(kù)吧資料
2025-04-23 12:54本頁(yè)面
【正文】 9 y216(x－5) 2＋y 2＝1 上的點(diǎn)，則|PM| －|PN |的最大值為( ) 【解析】選 D.題型二 雙曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用【例 2】雙曲線 C： － ＝ 1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為 A，x 軸上有一點(diǎn) Q(2a,0)，若 C 上存在一點(diǎn)x2a2 y2b2P，使 QA?＝0，求此雙曲線離心率的取值范圍 .【解析 】(1， ).62【點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.【變式訓(xùn)練 2】設(shè)離心率為 e 的雙曲線 C： － ＝1( a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為 F，直線 l 過焦點(diǎn) F，x2a2 y2b2且斜率為 k，則直線 l 與雙曲線 C 的左、右兩支都相交的充要條件是 ( )－e 2＞1 －e 2＜1－k 2＞1 －k 2＜1【解析】 ，故選 C.題型三 有關(guān)雙曲線的綜合問題【例 3】(2022 廣東)已知雙曲線 －y 2＝1 的左、右頂點(diǎn)分別為 AA 2，點(diǎn) P(x1，y 1)，Q(x 1，－y 1)是x22雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求直線 A1P 與 A2Q 交點(diǎn)的軌跡 E 的方程；(2) 若過點(diǎn) H(0，h)(h＞1)的兩條直線 l1 和 l2 與軌跡 E 都只有一個(gè)交點(diǎn)，且 l1⊥l 2，求 h 的值.【解析】(1) 軌跡 E 的方程為 ＋y 2＝1，x ≠0且 x≠177。 【 答案】3FB?FA?6【2022 高考江西理 13】橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別是 A,B,左、右焦點(diǎn)分別是)0(2?bayxF1，F(xiàn) 2。＝ b2，12 12 33【點(diǎn)撥】橢圓中△F 1PF2 往往稱為焦點(diǎn)三角形，求解有關(guān)問題時(shí)，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時(shí)，要特別注意橢圓定義(或性質(zhì)) 與不等式的聯(lián)合使用，如 |PF1|1 橢 圓典例精析題型一 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例 1】已知點(diǎn) P 在 以 坐 標(biāo) 軸 為 對(duì) 稱 軸 的 橢 圓 上 ， 點(diǎn) P 到 兩 焦 點(diǎn) 的 距 離 分 別 為 和4 53，過 P 作長(zhǎng)軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程.253【解析】故所求方程為 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1.x25 3y210 3x210 y25【點(diǎn)撥】(1)在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，但是當(dāng)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時(shí)，需要考慮兩種情形，有時(shí)也可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)；(2)在求橢圓中的 a、b、c 時(shí)，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識(shí).【變式訓(xùn)練 1】已知橢圓 C1 的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在 x 軸上，拋物線 C2 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在 x 軸上.小明從曲線 C1，C 2 上各取若干個(gè)點(diǎn)( 每條曲線上至少取兩個(gè)點(diǎn))，并記錄其坐標(biāo)(x，y ).由于記錄失誤，使得其中恰有一個(gè)點(diǎn)既不在橢圓 C1 上，也不在拋物線 C2 ：據(jù)此，可推斷橢圓 C1 的方程為 . ＋ ＝1.x212 y26題型二 橢圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用【例 2】已知 FF 2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P 為橢圓上一點(diǎn)，∠F 1PF2＝60176。.(1)求橢圓離心率的范圍； (2)求證：△F 1PF2 的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).【解析】(1)e 的取值范圍是[ ，1).(2) 21FPS＝ mnsin 60176。|PF2|≤( )|PF1|＋ |PF2|22，|PF 1|≥a－c. 【變式訓(xùn)練 2】已知 P 是橢圓 ＋ ＝1 上的一點(diǎn)，Q，R 分別是圓(x＋4) 2＋y 2＝ 和圓x225 y29 142(x－4) 2＋y 2＝ 上的點(diǎn)，則|PQ|＋|PR| 的最小值是 .【解析】最小值為 9.14題型三 有關(guān)橢圓的綜合問題 【例 3】(2022 全國(guó)新課標(biāo))設(shè) F1，F(xiàn) 2 分別是橢圓 E： ＋ ＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過 F1 斜率x2a2 y2b2為 1 的直線 l 與 E 相交于 A， B 兩點(diǎn)，且 |AF2|，| AB|，| BF2|成等差數(shù)列.(1)求 E 的離心率；(2)設(shè)點(diǎn) P(0，－1)滿足|PA|＝|PB| ，求 E 的方程.(1) .(2 )為 ＋ ＝1.22 x218 y29【變式訓(xùn)練 3】已知橢圓 ＋ ＝1(a＞b＞0) 的離心率為 e，兩焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn) 2，拋物線以 F1 為頂點(diǎn)，x2a2 y2b2F2 為焦點(diǎn)，P 為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若 ＝e，則 e 的值是( )|PF1||PF2|A. B. C. D. 【解析】選 B32 33 22 63題型思 有關(guān)橢圓與直線綜合問題【例 4】 【2022 高考浙江理 21】如圖，橢圓 C： (a＞b＞0) 的離心率為 ，其左焦點(diǎn)到點(diǎn) P(2，1)的2+1xy?12距離為 ．不過原點(diǎn) O 的直線 l 與 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，且線段 AB 被直線 OP 平分．10(Ⅰ)求橢圓 C 的方程；(Ⅱ) 求 ABP 的面積取最大時(shí)直線 l 的方程．?.3 【變式訓(xùn)練 4】 【2022 高考廣東理 20】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢圓 C1： 的離心率 e= ，且橢圓 C 上的點(diǎn)到21(0)xyab???23Q（0，2）的距離的最大值為 3.（1）求橢圓 C 的方程；（2）在橢圓 C 上，是否存在點(diǎn) M（m,n ）使得直線 ：mx+ny=1 與圓 O：x 2+y2=1 相交于不同的兩點(diǎn)lA、B，且△OAB 的面積最大？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的△OAB 的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．總結(jié)提高，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，形式對(duì)稱且系數(shù)的幾何意義明確，定橢圓需要三個(gè)條件，要確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上(即定位 )，還要確定 a、 b 的值(即定量)，若定位條件不足應(yīng)分類討論，或設(shè)方程為 mx2＋ny 2＝1(m＞0，n＞0，m≠n) 求解.，一方面，會(huì)根據(jù)定義判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，另一方面，會(huì)利用橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為常數(shù)進(jìn)行計(jì)算推理.，解題時(shí)要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的范圍.練習(xí)1（2022 全國(guó)卷Ⅰ理）已知橢圓2:1xCy??的右焦
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