【正文】 A1B1BA ∴CD⊥DE∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1,∴DE是異面直線AB1與CD的公垂線段∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴；（3）連結(jié)B1C，易證B1C⊥AC，又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600∴， ∴,∴ , ∴.說明：作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當(dāng)然, 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴格的邏輯推理作為基石.例 如圖，在三棱錐中，平面，D為BC的中點.（1）判斷AD與SB能否垂直，并說明理由； （2）若三棱錐的體積為，且為 鈍角，求二面角的平面角的正切值；（3）在（Ⅱ）的條件下，求點A到平面SBC的距離. 解：（1）因為SB在底面ABC上的射影AB與AD不垂直，否則與AB=AC且D為BC的中點矛盾，所以AD與SB不垂直；（2）設(shè)，則 解得 ，所以（舍），.平面ABC，AB=AC，D為BC的中點，則是二面角S—BC—A的平面角.在中，,故二面角的正切值為４；（3）由（2）知，平面SDA，所以平面SBC平面SDA，過點A作AESD，則AE平面SBC，于是點A到平面SBC的距離為AE,從而即A到平面SBC的距離為.例如圖a—l—是120176。tan60176。解:（1）正方形ABCD是四棱錐P—ABCD的底面, 其面積為從而只要算出四棱錐的高就行了.面ABCD,∴⊥AB， ∴PA⊥DA， ∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角， ∠PAB=60176。例 四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD. （1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60176。其中一條正是角的平分線.⑷①如果它是棱錐，則是七棱錐，有14條棱，8個面②如果它是棱柱，則是四棱柱，有12條棱，6個面.說明： 本組新題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位直關(guān)系，考查空間想象和轉(zhuǎn)化能力，以及周密的分析問題和解決問題例如圖1，設(shè)ABCABC是直三棱柱，F(xiàn)是AB的中點，且 (1)求證：AF⊥AC； (2)求二面角CAFB的大小．分析：先來看第1問，我們“倒過來”分析．如果已經(jīng)證得AF⊥AC，則注意到因為AB=2AA=2a，ABCABC是直三棱柱，從而若設(shè)E是AB的中點，就有AE⊥AF，即AF⊥平面ACE．那么，如果我們能夠先證明AF⊥平面ACE，則就可以證得AF⊥AC，而這由CE⊥平面AABB立得．再來看第2問．為計算二面角CAFB的大小，我們需要找到二面角CAFB的平面角．由前面的分析知，CE⊥平面AABB，而AF⊥AE，所以，若設(shè)G是AF與AE的中點，則∠CGE即為二面角CAFB的平面角，再計算△CGE各邊的長度即可求出所求二面角的大?。猓?1)如圖2，設(shè)E是AB的中點，連接CE，EA．由ABCABC是直三棱柱，知AA⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA，∵AB=2AA=2a，∴AA=a，AA⊥AE，知AAFE是正方形，從而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AF⊥AC；(2)設(shè)G是AB與A1E的中點，連接CG．因為CE⊥平面AABB，AF⊥AE，由三垂線定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角CAFB的平面角．∵AAFE是正方形，AA=a，∴， ∴，∴tan∠CGE=，∠CGE＝，從而二面角CAFB的大小為。如果=90，則，那么過點 O有四 　　　　　　　　　　　　　　　條直線與所成角都為60。 ∵=110，∴∴將兩對對頂角的平分線繞　　　　　　　　　圖１O(jiān)點分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，總能得到與 都成 60角的直線。4．（2004年高考浙江文科（19））如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是線段EF的中點.（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；（Ⅱ）求證AM⊥平面BDF；（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大??； 方法一解: (Ⅰ)設(shè)AC∩BD=0，連結(jié)OE， ∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE.∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE.(Ⅱ)∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，∴BD⊥平面AE，又因為AM平面AE，∴BD⊥AM.∴AD=,AF=1,OA=1,∴AOMF是正方形，∴AM⊥OF，又AM⊥BD，且OF∩BD=0∴AM⊥平面BDF.（Ⅲ）設(shè)AM∩OF=H，過H作HG⊥DF于G，連結(jié)AG，由三垂線定理得AG⊥DF，∴∠AGH是二面角A—DF—B的平面角.方法二 （Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，連接NE， 則點N、E的坐標(biāo)分別是（、（0,0,1）, ∴NE=(, 又點A、M的坐標(biāo)分別是 （）、（. ∴ AM=（∴NE=AM且NE與AM不共線，∴NE∥AM.又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDF.（Ⅱ） （Ⅲ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，∴AB⊥平面ADF.說明：本題主要考查空間線面關(guān)系及空間向量等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和邏輯推理、運算能力。在中，∴.所以，二面角C—PB—D的大小為.方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，設(shè).（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG.依題意得.∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標(biāo)為且.∴，這表明PA//EG.而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB.（2）證明；依題意得。 ∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點 在中，EO是中位線，∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA // 平面EDB（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴. ①同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。2．（2004年高考湖北卷理科（18））如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點.（I）試確定點F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）當(dāng)D1E⊥平面AB1F時，求二面角C1—EF—A的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）. 解法一：（I）連結(jié)A1B，則A1B是D1E在面ABB1A；內(nèi)的射影 ∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1， 于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF. 連結(jié)DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影. ∴D1E⊥AFDE⊥AF. ∵ABCD是正方形，E是BC的中點. ∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點時，DE⊥AF， 即當(dāng)點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F.…………6分 （II）當(dāng)D1E⊥平面AB1F時，由（I）知點F是CD的中點. 又已知點E是BC的中點，連結(jié)EF，則EF∥BD. 連結(jié)AC， 設(shè)AC與EF交于點H，則CH⊥EF，連結(jié)C1H，則CH是 C1H在底面ABCD內(nèi)的射影. C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角. 在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=， ∴tan∠C1HC=. ∴∠C1HC=arctan，從而∠AHC1=. 故二面角C1—EF—A的大小為. 解法二：以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 （1）設(shè)DF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0）， A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F(xiàn)（x，1，0） （1）當(dāng)D1E⊥平面AB1F時，F(xiàn)是CD的中點，又E是BC的中點，連結(jié)EF，則EF∥BD. 連結(jié)AC，設(shè)AC與EF交于點H，則AH⊥EF. 連結(jié)C1H，則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影. ∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1—EF—A的平面角. 說明：本題主要考查線面關(guān)系和正方體等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理運算能力。⑺有七種距離，即點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點與點、點與直線、點到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點到平面的距離有時用“體積法”來求。平面與平面所成二面角。⑸在明確“兩個平行平面的公垂線”、“兩個平行平面的公垂線段”、“兩個平行平面的距離”的概念后，應(yīng)該注意到，兩平行平面間的公垂線段有無數(shù)條，但其長度都相等——是唯一確定的值，且兩平行平面間的公垂線段，是夾在兩平行平面間的所有線段中最短的線段，此外還須注意到，兩平行平面間的距離可能化為“其中一個平面內(nèi)的直線到另一個平面的距離”又可轉(zhuǎn)化為“其中一個面內(nèi)的一個點到另一個平面的距離。兩個平面平行的寫法與線、線平行，線、面平行的寫法一議，即將“平面平行于平面”，記為“∥”。要善于運用平面與平面平行的定義所給定的兩平面平行的最基本的判定方法和性質(zhì)。⑵與“直線與直線平行”、“直線與平面平行”的概念一樣“平面與平面平行”是指“二平面沒有公共點”。解題方法：求球面距離一般作出相應(yīng)的大圓，轉(zhuǎn)化為平面圖形求解。⑵利用歐拉公式求解多面體頂點個數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)。R＝πR3. ⑵在應(yīng)用球體積公式時要注意公式中給出的是球半徑R，而在實際問題中常給出球的外徑（直徑）.⑶球與其它幾何體的切接問題，要仔細觀察、分析、弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問題平面化。R＝⌒例如，可以循著如下的程序求A、P兩點的球面距離。（線面角）。我們可以作出過P的經(jīng)線NPS交赤道于B，過P的緯線圈圓O1交NAS于A，那么則應(yīng)有：∠AO1P=120176。經(jīng)線，若某地P是在東經(jīng)120176。8．經(jīng)緯度及球面距離⌒⑴根據(jù)經(jīng)線和緯線的意義可知，某地的經(jīng)度是一個二面角的度數(shù)，某地的緯度是一個線面角的度數(shù)，設(shè)球O的地軸為NS，圓O是0176。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對應(yīng)的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\用平行四邊形的性質(zhì)及解題思路去解平行六面體的問題是一常用的解題方法。⑶須從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第一章的相關(guān)定理對棱柱的基本性質(zhì)進行分析推導(dǎo)，以求更好地理解、掌握并能正確地運用這些性質(zhì)。則cosq＝. 圖 1 圖