專題：解析幾何中的動點(diǎn)軌跡問題-文庫吧資料
2025-03-30 05:55本頁面
【正文】 解3 (轉(zhuǎn)換觀點(diǎn)) 視點(diǎn)M為定點(diǎn),令M( x0,y0), 由OM⊥AB可得直線AB的方程為, 與拋物線y2=4px聯(lián)立消去y 得,設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2) 則又因?yàn)镺A⊥OB 所以 故=即 所以M點(diǎn)的軌跡方程為 例13 設(shè)橢圓中心為原點(diǎn)O，一個焦點(diǎn)為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在該直線上，且，當(dāng)t變化時，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．解：（1）設(shè)所求橢圓方程為由題意得解得 所以橢圓方程為．(2)設(shè)點(diǎn)解方程組得 由和得其中t＞1．消去t，得點(diǎn)P軌跡方程為和．其軌跡為拋物線在直線右側(cè)的部分和拋物線在直線在側(cè)的部分．例14 過點(diǎn)M(2, 0)作直線L交雙曲線x－y = 1于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB。 例9 如圖，給出定點(diǎn)A（a,0）(a0)和直線L：x=－1, B是直線L上的動點(diǎn)，∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系。 例8 已知以P（2，2）為圓心的圓與橢圓x2+2y2=m交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。 例6 已知P是以FF2為焦點(diǎn)的雙曲線上的動點(diǎn)，求ΔF1F2P的重心G的軌跡方程。此法一般用于求圓錐曲線的方程，在高考中常填空題的形式出現(xiàn)． 例3 在相距離1400米的A、B兩哨所上，哨兵聽到炮彈爆炸聲的時間相差3秒，已知聲速是340米/秒，問炮彈爆炸點(diǎn)在怎樣的曲線上？ 解 因?yàn)榕趶棻c(diǎn)到A、B兩哨所的距離差為3340=1020米，若以A、B兩點(diǎn)所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系，由雙曲線的定義知炮彈爆炸點(diǎn)在雙曲線 上．例4 若動圓與圓外切且與直線x=2相切，則動圓圓心的軌跡方程是_____________________解 設(shè)動圓圓心為M，由題意，動點(diǎn)M到定圓圓心（－2，0）的距離等于它到定直線x=4的距離，故所求軌跡是以（－2，0）為焦點(diǎn)，直線x=4為準(zhǔn)線的拋物線，并且p=6，頂點(diǎn)是（1，0），開口向左，所以方程是例5 一動圓與兩圓和都外切，則動圓圓心軌跡為（ ）（A）拋物線 （B）圓（C）雙曲線的一支 （D）橢圓解 設(shè)動圓圓心為M，半徑為r，則有所以動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)的距離之差為1，由雙曲線定義知，其軌跡是以O(shè)、C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，選（C）． 三、轉(zhuǎn)移法（重中之重） 若軌跡點(diǎn)P（x ,y）依賴于某一已知曲線上的動點(diǎn)Q（x0, y0），則可先列出關(guān)于x、y, x0、y0的方程組，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0 代入已知曲線方程便得動點(diǎn)P的軌跡方程。OYxNMA 例1 已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)A（1，0）與到定直線L：x=3的距離之和等于4，求動點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？解 設(shè)M（x,y）是軌跡上任意一點(diǎn)，作MN⊥L于N，由?。麺A｜＋｜MN｜＝4，得 當(dāng)x≧3時上式化簡為 y2=－12(x4)當(dāng)x≦3時上式化簡為 y2=4x所以點(diǎn)M的軌跡方程為 y2=－12(x4) (3≦x≦4)和y2=4x (0≦x≦3). 其軌跡是兩條拋物線弧。；例2 已知定點(diǎn)A(3,1),動點(diǎn)B在圓O上,點(diǎn)P在線段AB上,且BP:PA=1:2,求點(diǎn)P的軌跡的方程.所以點(diǎn)P的軌跡為 兩條動直線的交點(diǎn)問題例3 已知兩點(diǎn)P（1,3），Q（1,3）以及一條直線，設(shè)長為的線段AB在上移動（點(diǎn)A在B的左下方），求直線PA、QB交點(diǎn)M的軌跡的方程例4 已知是雙曲線的兩個頂點(diǎn)，線段MN為垂直于實(shí)軸的弦，求直線與的交點(diǎn)P的軌跡 動圓圓心軌跡問題例5 已知動圓M與定圓相切，并且與x軸也相切，求動圓圓心M的軌跡例6 已知圓，圓M與圓和圓都相切，求動圓圓心M的軌跡 動圓錐曲線中相關(guān)點(diǎn)的軌跡例7 已知雙曲線過和，它的一個焦點(diǎn)是，求它的另一個焦點(diǎn)的軌跡
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