概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)_第三章-文庫(kù)吧資料
2025-03-28 04:09本頁(yè)面
【正文】 ?????2),(}{ 2xyd x d yyxfXYP ????Dyd x d ye 221dyedxx y????2021021dxe xy????10022| dxex????102 )1(2? ?)0()1(21 ?????? ?? ? ????? □ 例 2續(xù) 2 ? 均勻分布的概率密度； ? 當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，可由邊緣概率 密度確定聯(lián)合概率密度； ? 由聯(lián)合概率密度求事件 “ 二維隨機(jī)變量取值落 在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi) ” 概率的積分公式； ? 二重積分的計(jì)算； ? 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)計(jì)算有關(guān)概率積 分值； ? 一元二次方程有實(shí)根的條件，等。 □ ??? ?????,0,11|,|1)(其它yyyf Y??? ???,0,10,2)(其它xxxf X所以在聯(lián)合概率密度非零區(qū)域內(nèi) 例 1續(xù) 2 【 例 2】 (典型題） 設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立 ,且 X服從 (0,1)上的均勻分 布 ,Y的概率密度為 ????????,0,0,21)(2其它yeyfyY(1)求 X與 Y的聯(lián)合概率密度 。 一般，要判定 X與 Y的獨(dú)立性，可先求邊緣分布 , 再依據(jù)上述條件之一判定 . 【 例 1】 設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度為 ??? ????,0,10,||,1),(其它xxyyxf(1)求 (X,Y)的邊緣概率密度 。 離散型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量 (X,Y)的分布律、邊緣分布律 分別為 }{,}{,},{ jiiijji yYPpxXPpyYxXP ??????則 X與 Y相互獨(dú)立的 充要條件 是 :對(duì) (X,Y)的 所有 可能 取得值 ,均有 ),( ji yx}{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP ????? 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度、邊緣概率 密度分別為 )(),(),( yfxfyxf YX則 X與 Y相互獨(dú)立的 充要條件 是 :在全平面上 幾乎處處 成立 )()(),( yfxfyxf YX ??連續(xù)型隨機(jī)變量 總之，聯(lián)合分布可確定邊緣分布 。(21)( 21212)(1?????????xexfxX???? 不難求得 二維正態(tài)分布隨機(jī)變量的邊緣概率密 度 為 : 由此可知 :二維正態(tài)分布的邊緣分布均為一維正 態(tài)分布 ,且與參數(shù) ρ無(wú)關(guān) . ).(21)( 22222)(2?????????yeyfxY???? 表明 :由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布 ,但由邊緣 分布未必能確定聯(lián)合分布 . 167。 ? 參量 x(y)在 實(shí)數(shù) 范圍 內(nèi)取值 。 3] 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù)為 ,邊緣分 布函數(shù) [即 X與 Y的分布函數(shù) ]為 ，則有 ),( yxF)(),( yFxF YX 因此，由聯(lián)合分布函數(shù)可 求得邊緣分布函數(shù)： ),()(),()(yFyFxFxFYX??????).,(},{}{)( yFyYXPyYPyF Y ??????????),(},{}{)( ?????????? xFYxXPxXPxF X即可通過(guò) 聯(lián)合分布函數(shù)求極限 來(lái)確定邊緣分布函數(shù) 。 □ 就 :例 3來(lái)共同考慮如何分段 ?應(yīng)分幾段 ?怎 樣計(jì)算各段值 ?(板書 ) 二維均勻分布 設(shè) G為一個(gè)平面有界區(qū)域 ,其 面積為 (X,Y)的概率密 度為 ???????,0,),(,1),(其它GyxAyxf則稱 (X,Y)服從區(qū)域 G上的均勻分布 ,記為 (X,Y)~U(G). 二維均勻分布 兩種常見的二維連續(xù)型分布 二維正態(tài)分布 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X,Y) 的概率密度為 二維正態(tài)分布 ???? ????????? 21212221)()1(21e x p121),(???????xyxf???????????22222121 )())((2??????? yyx 其中 均為常數(shù) ,稱 (X,Y) 為服從參數(shù)為 的二維正態(tài)分布 ,記為 )11,0,(, 212121 ???? ????????????? , 2121).,(~),( 2121 ?????NYX167。 利用重積分對(duì)積分區(qū)域的可加性 ,只保留非零積分 例 2續(xù) 3 (3)求概率 P{Y≤X}. ? 只需在 概率密度 f的非零 區(qū)域 與 事件區(qū)域 G={(x,y)|y≤x} 的 交集 D上積分 . 由公式 .),(}),{( ????Gd x d yyxfGYXP 得 : .),(),(}{ ?? ??????xy Dd x d yyxfd x d yyxfXYPdxeedyedxe xyxxyx002002 |)1(22 ???????? ???? ???例 2續(xù) 4 .31321|]32[)1(203202 ???????? ????????? xxxx eedxee 本例是一個(gè) 典型題 .大家應(yīng)熟練掌握分析與計(jì)算 的方法。 ? 點(diǎn) (x,y)在全平面范圍 內(nèi)取值 。(2)求 (X,Y)的分布函數(shù) 。),((0),( 2Ryxyxf ???? ?????????? 。 },{}),{(),(jGyxi yYxXPGYXPji???? ??請(qǐng)自學(xué) :例 2。 P{X=3,Y=3}=1/8. [HHH] 古典概率 例 1續(xù) X與 Y的聯(lián)合分布律為： □ 二維離散型隨機(jī)變量的分布列形象化解釋 設(shè)想將一單位質(zhì)量的物質(zhì)分配在（ X， Y）所 有可能取值的點(diǎn)處，相應(yīng)分配的量就是對(duì)應(yīng)的概 率值。 [HHT,HTH,THH] P{X=2,Y=3}=P(φ)=0。 [HTT,THT,TTH] P{X=1,Y=3}=P(φ)=0。 P{X=0,Y=3}=1/8。,2,1,(0 ??? jip ij? ? [概率的非負(fù)性 ] [概率的規(guī)范性 ] 【 例 1】 [] 將一枚硬幣連拋三次 ,以 X表示在 “ 三次中出現(xiàn)正面的次數(shù) ” ,Y表示 “ 三次中正、反面次數(shù)差的絕對(duì)值 ” ,求 X與 Y的聯(lián)合分布律 . 〖 解 〗 X取值 0,1,2,3。1),(0 ??????? FyxF。0),(),(),(),( 12212211 ????? yxFyxFyxFyxF ? 。河南理工大學(xué)精品課程
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