【正文】 ?????????通過類似計(jì)算可得另外 2個(gè)能級(jí)能量分別為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0002 2 1 30 0 03 3 1 2,22222iiii??? ? ? ?????? ? ? ???? ? ?? ? ?2230, 2EE???? ? ?相應(yīng)的本征態(tài)為 ? ? ? ? ? ?? ?? ?0 0 01 1 2 31 2 212222 221 3 2 2iiiii????? ? ? ? ? ?? ????????? ? ? ? ? ????????相應(yīng)的本征態(tài)為 （ 6） 2 1 01 2 0003??????????例 9. 考慮一個(gè)系統(tǒng)的 哈密頓量 ，在選定的一組正交歸一基下的矩陣形式為： （ 1）當(dāng)測量系統(tǒng)的能量時(shí)，可能的結(jié)果是什么？ 求 13iii????????????（ 2）一個(gè)粒子處于態(tài) ，在這組基的表象下表示為 。對(duì)于 能級(jí)可用非簡并微擾論： 1? 2? (0) 2E ? (0)1E(1 )1 1 1 0EH???2 2 2 21 2 1 3 1( 2 ) 21 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ),1 1 1 2 1 340 41 2 1 2mmm mH H HEE E E E E E? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??( 1 ) ( 0 )1 3 1211 1 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ),1 1 1 2 1 310020 2 1 21200mmmm mHH HE E E E E E? ? ? ??? ? ???? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) 21 1 1 1 14E E E E ?? ? ? ? ?( 0 ) ( 1 )1 1 1120? ? ? ?????? ? ? ???????對(duì)于 和 能級(jí)，要用簡并微擾論。 1??? ?2? ? 不簡并， 和 構(gòu)成一個(gè)二重簡并能級(jí)。零級(jí)近似能量為 0H 0HH( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 2 31 , 2E E E? ? ?其中 。 這里 是一個(gè)實(shí)數(shù)， 。 所以 t 0 時(shí)能量的取值概率及平均值與 t = 0 時(shí)相同。 ( , 0 ) 。 解：非對(duì)稱一維無限深方勢阱中粒子的本征解為 22 22 ( 1 , 2 , 3 , )2nE n na????2 s innn xaa?? ??? ????(阱內(nèi) ) (1) 首先將 ( ,0 )x? 歸一化，由 2 2 221 1 1 12 4 4 c??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???可知?dú)w一化常數(shù)為 83c?于是歸一化后的波函數(shù)為 1 2 32 1 1( , 0 ) ( ) ( ) ( )3 6 6x x x x? ? ? ?? ? ?能量的取值概率為 能量取其它值的概率皆為零。 B?2222 1 12 3 6 6 3z z z z zBe e eM L S L Se e e? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????從而題給態(tài)下的電流密度為 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 2 222 1 1 1 1 1..21. . 02 s in12s in 3eJ r r c cieer r r r c c eireR r Y Y er?????? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ????? ? ?????? ? ? ? ? ? ????（ 5）根據(jù)帶 自旋粒子的薛定諤方程（也即 Pauli方程），相應(yīng)于波函數(shù) 的電子幾率流密度為 ?21 ?? ? ? ? ..2 r r c ci ??? ??????? ? ? ? ?? ?2*ln2r rJir? ???????????11s inre e er r r??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 0 2 1 2 2 1 1 1 2 11 1 3 2 2 3c o s , s i n3 3 4 3 3 8 iR r Y R r R r Y R r e ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?例 5. 質(zhì)量為 m 的粒子，在阱寬為 0t?的非對(duì)稱一維無限深方勢阱中運(yùn)動(dòng)，當(dāng) a時(shí)，粒子處于狀態(tài) 1 2 31 1 1( , 0 ) ( ) ( ) ( )2 4 4x x x x? ? ? ?? ? ?其中， ()n x?為粒子的第 n 個(gè)能量本征態(tài)。 ?21??zz SL zzz SLJ ?? ?21? ? ? ?3 23zzL d r r L r??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 02 1 1 12 1 1 110,?0 32?,0 2, 33zzzR r YLLR r YLR r Y??????????????? ???????? ????? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 0 2 1 1 02 1 1 1 2 1 1 111,1011 330122 22,33zR r Y R r YSR r Y R r Y? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?（ 4）由上面（ 1）、（ 2）兩式，并注意歸一化系數(shù)得 ? ? ? ?31136zzS d r r S r???? ? ??電流密度為繞 z軸的環(huán)電流。 zM? ? ? ?? ?102111,2,YRrY???????? ?????解： 先求題給態(tài)的歸一化系數(shù)，由于 的歸一化， ? ? ? ? ? ?2 1 1 0 1 1, , , ,R r Y Y? ? ? ?故將題給態(tài)歸一化為 （ 2）電子在 方向上的立體角元 中被測到的幾率為 ? ?,?? ?d? ? ? ? ? ?2*3 11 2 1 3c r c r d r c c??? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 0122 1 1 11,32,3R r YR r Y??????????????? ???? ?????（ 1）電子自旋向上的幾率為 。 123E1E例 4. 已知?dú)湓犹幱谟扇缦虏ê瘮?shù)描述的狀態(tài) 其中 為歸一化徑向波函數(shù)（量子數(shù) ）。 ? ?1 2 2 3si n si n2xxa a a a??????????? ? ? ?1312 xx????????其中， 為無限深勢阱中粒子能量的本征函數(shù)。 可以把 分解如下 ? ?x? ? ? 24 s i n c o sxxxaaa??? ?4 1 2s i n 1 c o s2xxaaa?????? ????2 2 2s i n s i n c o sx x xa a aaa? ? ???2 1 3s i n s i n s i nx x xa a aaa? ? ???? ? ?????1 1 3s i n s i nxxaaaa????解： 一個(gè)算符 F在態(tài) 中可能的測量值，即為將 用 F的本征態(tài)展開時(shí)，各本征態(tài)相應(yīng)的本征值。 0 / 2xa????? c oss in2)2s in( ?解： (1)首先對(duì)波函數(shù)歸一化得 ( ) ( )x A x???? ? 22 200 4 1 c o s s i n 15aa xxA x d x A d xa a a??? ??????? ? ??????????? 2A?所以此系統(tǒng)得歸一化波函數(shù)為 ： 8( ) 1 c o s s in5xxxa a a??? ??? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ???22 22 , 1 , 2 ,2nE n na????是定態(tài)波函數(shù) ? ? ? ?,? xExH nnn ?? ?所以， 粒子處在 的概率 ： P0 / 2xa??2 2 2 22221 2 1 20 0 0 04 1 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5a a a aP x d x x d x x d x x x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 s i n ( 2 ) s i n c o s c o s 3? ? ? ???a / 2121 1 1P = + ψ (x) ψ ( x ) d x = + s i n ( 2 ξ ) s i n ξ d ξ =2 5 2 5 π 2 1 5 π/2004 8 1 6? ????1221( ) ( ) ( )5 1 0x A x A x? ? ?? ? ? ?/2 220 / 2( ) ( ) 1 / 2aannax d x x d x?? ????2( ) s in , 0 ,nnxx x aaa ?? ??? ? ?????其中 因?yàn)?： 1221( ) ( ) ( )55x x x? ? ??? 20( ) 1a n x dx? ??(2) 能量的平均值為 ： 21155???????222 22E a???概率為 ： 2 2 2 2 2 212 2 2 24 1 4 1 4+25 5 5 2 5 5E E E a a a? ? ?? ? ?? ? ? ? ?概率為 ： 224。 ? ?,? ? ? 2?L ? ?221 2 3Ll?? ? ?,? ? ?2?L ? ?31 ,Y ?? ?zL zL ??zL? ?,? ? ? 2?L ? ?221 2 3Ll?? 13 ? ?,? ? ??zL 13（ 4）在狀態(tài) 上測量 后，使得狀態(tài)變到一個(gè)新的狀態(tài) ? ?,? ? ?zL ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 1 2 0 3 12 1 3 15 1 1, , , ,33 351, , ,3 3Y Y YYY? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?為了求出在 上 的可能取值及相應(yīng)的取值概率，必須將 歸一化，即令 2?L? ?,? ? ? ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?21 3151, , ,3 3A Y Y? ? ? ? ? ? ?????????于是由 2 51 193A????????歸一化后的 為 ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?2 1 3 153, , ,88YY? ? ? ? ? ? ???知 98A?在狀態(tài) 上測量 的可能取值為 和 的取值概率分別為 ? ?,? ? ? 2?L 26 212? ?22 56 8WL? ??? ?22 312 8WL? ??而從狀態(tài) 出發(fā)，相應(yīng)的取值概率分別為 ? ?,? ? ?? ?22 8