【正文】 ①的平均值；　　②勢能的平均值。 解： 令 ，得 ， ， ∴ 為幾率最小處。 為幾率最大處。 當 時， ∴為幾率最小位置。 ∴為幾率最大處。 解： 方程（分區(qū)域）： Ⅰ： ∴ Ⅲ： ∴ Ⅱ： 令 標準條件： ∴ ∵ ∴ 取 ， 即 ∴ ∴ ∴ 粒子的波函數(shù)為 粒子的能級為 由歸一化條件，得 ∴ ∴ 粒子的歸一化波函數(shù)為 證明：處于1s、2p和3d態(tài)的氫原子中的電子，當它處于距原子核的距離分別為的球殼處的幾率最（為第一玻爾軌道半徑）。 試求算符的本征函數(shù)。④ ∴ 是的本征函數(shù)，其對應的本征值為－1。 ② ∴ 不是的本征函數(shù)，其對應的本征值為1。 ① ； ② ； ③ 解：①是線性算符 ②不是線性算符 ③是線性算符 6．指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。則透射系數(shù)為 式中為電子能量。 4. 當無磁場時，在金屬中的電子的勢能可近似視為 其中 ，求電子在均勻場外電場作用下穿過金屬表面的透射系數(shù)。 ③對于3d態(tài)的電子 令 易見 ，當為幾率最小位置。 ②對2p態(tài)的電子 令 易見 ，當為最小值。 證：①對1s態(tài)， 令 易見 ，當不是最大值。 在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在～之間。 解： ∴ 的電子，其 ∴當時 為最大值。 可見， 可見，是的本征函數(shù)。當粒子的動量平均值，并計算測不準關系 解：①先把歸一化，由歸一化條件，得 ∴　　 / ∴ 是歸一化的 ② 動量平均值為 ③ （奇被積函數(shù)） 。即粒子的幾率分布與角度無關，是各向同性的，因此，粒子的波函數(shù)只與有關，而與無關。 解：據(jù)題意，在的區(qū)域，所以粒子不可能運動到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數(shù) () 由于在的區(qū)域內。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為 動量的幾率分布函數(shù)為 先把歸一化，由歸一化條件， ∴ ∴ ∴ 求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學量的平均值。 解：(1)先求歸一化常數(shù)，由 ∴ 動量幾率分布函數(shù)為 (2) ，勢阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù) 描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。 設t=0時，粒子的狀態(tài)為 求此時粒子的平均動量和平均動能。 定態(tài)波函數(shù)為 A為歸一化常數(shù)，由歸一化條件 ∴ 轉子的歸一化波函數(shù)為 綜上所述，除m=0外，能級是二重簡并的。1，177。1，177。 (2)證明氫原子磁矩為 原子磁矩與角動量之比為 這個比值稱為回轉磁比率。 ∴ 可見， 由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。 解：(1) (3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內出現(xiàn)的幾率為 令 當為幾率最小位置 ∴ 是最可幾半徑。解：(1) n = 3 ，是線性諧振子的波函數(shù)，其對應的能量為。 試證明是線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對應的能量。 式中為正態(tài)分布函數(shù) 當。=+=242。 解：基態(tài)能量為 設基態(tài)的經(jīng)典界限的位置為，則有 ∴ 在界限外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為 )( 220220220xaxaxedxedxeaaapaypapaw165。 此即為所求方程。 附：從方程⑩之后也可以直接用行列式求解。 解：勢能曲線如圖示，分成四個區(qū)域求解。解法二：接（13）式 解法三：(11)(13)(10)+(12)(11)+(13)(12)(10) （b）kactgkk )10()12()13()11(122=222。 一粒子在一維勢阱中 運動，求束縛態(tài)()的能級所滿足的方程。方程①、③可相互進行空間反演 而得其對方，由①經(jīng)反演，可得③， ④ 由③再經(jīng)反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。 證：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài)S方程為 ① 將式中的代換，得 　?、? 利用，得 ③ 比較①、③式可知，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。 可見是所求幾率最大的位置。 解： 令，得 由的表達式可知，時。 方程(2)可變?yōu)? 令，得 其解為 ④ 根據(jù)波函數(shù)的標準條件確定系數(shù)A，B，由連續(xù)性條件，得 ⑤ 　?、蕖　　　? ⑤　 ⑥　 ∴ 由歸一化條件 得 由 可見E是量子化的。解：無關，是定態(tài)問題。 其相對位置幾率分布函