【正文】 ????duddrudddudrdur???0)1(41 222??????? ???? ulld ud ????（ 2）求解 (I) 解的漸近行為 04122 ?? ud ud?ρ→∞ 時，方 程變?yōu)? 2/2/ ?? eAAeu ??? ?? 2/??? ? Aeu0)()1()()( 2 ??????? ??????? ?????? fllff 2/)( ?? ?? efu所以可 取 解 為 有限性條件要求 A39。于是方程可改寫為： ???? ErZerLrrrr ??????? ??????? 222222 2 ?)(2 ?V=Ze2/r 考慮一電子在一帶正電的核 所產(chǎn)生的電場中運動，電子 質量為 μ ，電荷為 e，核電 荷為 +Ze。 3 電子在庫侖場中的運動 （一）有心力場下的 Schr214。 lmYYlmePNYmlmlmimmllmmlm???????????,3,2,1),()1(),(,2,1,0)( c os)1(),(*????????? ?球函數(shù) （ 4）角動量升降階算符 (I) 定義 ?????????????????LLLLiLLiLLiLLyxyxyx???????)??(?所以，這兩個算符 不是厄密算符。因此當 ? 確定后，尚有 (2 ? +1)個磁量子狀態(tài)不確定。 3, ..., 177。 1, 177。 有限性條件要求： ? = ?（ ? + 1), 其中 ? = 0, 1, 2, ... lmYYlmePNYmlmlmimmllmmlm???????????,3,2,1),()1(),(,2,1,0)( c os)1(),(*??????????? ? ?? ? ???????20 *0 1s i n),(),( ddYY lmlm| ) !|(4)12(| ) !|(mllmlNlm ?????表達式： 歸一化系數(shù)，由歸一化條件確定 其正交歸一 條件為： ? ? ???? ?? ? ?????????20 *0 s i n),(),( mmllmllm ddYY(III) 本征值的簡并度 由于量子數(shù) ? 表征了角動量的大小， 所以稱為角量子數(shù)； m 稱為磁量子數(shù)。）（本征值，對可知，由???????????0zzlli ?)2()0()0(2(0)0()0()2()2(****???????????????）或 1?)0()2( ??? ?(II) L2的本征值問題 ),(),(]s i n1)( s i ns i n1[),(),(]s i n1)( s i ns i n1[),(),(?2222222222???????????????????????????YYYYYYL???????????????????或：???其中 Y(?,?) 是 L2 屬于本征值 ?2 的本征函數(shù)。 二 、 角動量算符 （ 1）角動量算符的形式 prL ??? ?? ?????? riprL ????? ???(I) 直角坐標系 ??????????????????????????????????)(???)(???)(???xyxyzzxzxyyzyzxyxipypxLxzipxpzLzyipzpyL???22222222222)()()[()??()??()??(????xyzxyzxyzxyzzyxyxxzzypypxpxpzpzpyLLLL???????????? ?????????????????角動量平方算符 經(jīng)典力學中， ]?,?[]?,?[ zyxz pxpzpzpy ??角動量算符的對易關系 ]??,??[]?,?[ zxyzyx pxpzpzpyLL ???證： yxzxzyLiLLLiLL?]?,?[?]?,?[????同理]??,?[]??,?[ zxyzxz pxpzpzpxpzpy ????]?,?[]?,?[]?,?[]?,?[ zyxyzzxz pxpzpzpzpxpypzpy ????zyx LiLL ?]?,?[ ??yzzyzxxz ppxzpxpzppzypzpy ?]?,[]?,?[?]?,[]?,?[ ????yzxz ppxzpzpy ?]?,[]?,?[ ??yzyzxzxz ppxzppzxpzpyppyz ??],[?]?,[?],?[]?,?[ ????yx pixpiy ?)(?)( ?? ???]??[ xy pypxi ?? ?zLi ???zyxLiLL,3211?]?,?[1 2 3或，其中其意義如下：合記之：???????????????? ? ?? ? ?? ? ??? ? ????作業(yè)： 由于角動量平方算符中含有關于 x， y， z 偏導數(shù)的交叉項 ,所以直角坐標下角動量平方算符的本征方程不能分離變量 ,難于求解 ,為此我們采用球坐標較為方便 . ??????????????????)3(/t an)2(/c os)1(c oss i ns i nc oss i n 2222xyrzzyxrrzryrx???????II 球坐標 直角坐標與球坐標之間的變換關系 表明： r = r(x,y,z)； x = x(r,θ,φ) ； 對于任意函數(shù) f (r, θ, φ) （其中， r, θ, φ都是 x, y, z 的函數(shù)）則有： zyxxxxxfxfxrrfxfiiii, 321 ??????????????????其中????????????????????????????????????????????????????????????????zzzrrzyyyrryxxxrrx????????????或???????????????????????c oss i ns i nc oss i nzrsyrxr???????????????????????????s i n1s i nc os1c osc os1rzryrx???????????????????0s i nc o s1s i ns i n1zryrx???????zyxxxxxfxfxrrfxfiiii, 321 ??????????????????其中????????????????????????????????????????????iLiLiLzyx?]s i nc ot[ c os?]c osc ot[ s i n?????????????????????????????????????????0s i n1c o ss i nc o s1s i nc o s1s i ns i ns i ns i n1c o sc o s1c o ss i n???????????????????rrzrrryrrrx將上面結果代回原式得： 則角動量算符在球坐標中的表達式為： ]s i n 1)( s i ns i n1[? 22222?????? ????????? ?L（ 2）本征方程 ??????????zi lzzcelddiL??????)()()()(?解得：(I) Lz的本征方程 )2()( ????? ?? )2( ??? ??? zizi ll cece ??1]/2s i n []/2c o s [2 ??? ??? zzl lile zi ????? ,2,1,022 ???? mml z ??于是?? ,2,1,0 ????? mml z???????2112|| 2202220????? ??ccdcd)(021 20mndee inim ???? ?????mninim dee ?????? ??? 2021歸一化系數(shù) 正交性 正交歸一性 本征函數(shù)和本征值： ??,2,1,021)(??????????memlimmz????是粒子的任意兩個態(tài)。當 L 選的足夠大時，本征值間隔可任意小，當 L ? ? 時，本征值變成為連續(xù)譜。 周期性邊界條件 ]2[]2[ zpypLpizpypLpi zyxzyx cece ????? ? ??????,2,1,02211][???????xxxxxLpinLnpnLpex??于是有：由此得：加上周期性邊界條件后， 連續(xù)譜變成了分立譜。 但是，如果我們加上適當?shù)倪吔鐥l件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方法稱為箱歸一化。 2 動量算符和角動量算符 一、動量算符 （ 1）動量算符的厄密性 （ 2）動量本征方程 )()( rpripp???? ?? ?? ??????????????????????)()()()()()(rprirprirpripzpzpypypxpx?????????????????????證 ： 求解： ，令： )()()()( zyxrp ???? ???代入，且等式兩邊除以該式，得： ?????????????zdzzdziydyydyixdxxdxippp)()()()()()(?????????rpzpypxpppppiziyixizyxceecececzyxzyxr?????????????321)()()()()()()(????????????????????)()()()()()(321zeczyecyxecxzziyyixxipzppyppxp?????????)()2(||||||)()(32)(22*ppcdecdeecdrrrpprprpppiii??????????????????